三角函数与二次函数综合专题(含解析)71449

三角函数与二次函数综合卷2

1．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF=∠BCE； ②AF+BC＞CF； ③S△CEF=S△EAF+S△CBE； ④若

=

，则△CEF≌△CDF．

其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3（1）求tan∠ABD的值； （2）求AD的长.

C3，CD=23. BDA

3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝. （1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.

CABFDE

4．如图，在△ABC中，ACB90，ACBC，点P是△ABC内一点，且APBAPC135．

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AP

（1）求证：△CPA∽△APB； （2）试求tanPCB的值．

5．如图，在梯形ABCD中，AB90，AB52，点E在AB上，

CBAED45，DE6,CE7.

（1）求AE的长；

（2）求sinBCE的值．

6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=AD=4．

2，3

（1）求BC的长；

（2）求tan∠DAE的值．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数y内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若SBOD4，

k在第一象限x

(1)求反比例函数解析式； (2)求C点坐标．

8．如图,在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB22,BD求AC的长.

6,并且ABD1CBD.2 完美整理

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BCDA

9．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）

（1）求抛物线的关系式；

（2）求两盏景观灯之间的水平距离.

10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：

（1）这个二次函数关系式，

（2）求图象与x轴的另一个交点，

（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）

2

11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x＋1的图象在第一象限内相交于点C.

（1）求△AOC的面积；

（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．

2

12．抛物线y=－x＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标；

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（3）画出这条抛物线大致图象； （4）根据图象回答：

① 当x取什么值时，y＞0 ？

② 当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走

2

过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．

（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？

（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？ （3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？

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参考答案 1．①③④ 【解析】

试题分析：∵EF⊥EC， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正确； 又∵∠A=∠B=90°， ∴△AEF∽△BCE， ∴AFEF， BEEC∵点E是AB的中点， ∴AE=BE， ∴AFEF， AEEC又∵∠A=∠CEF=90°， ∴△AEF∽△ECF， ∴∠AFE=∠EFC，

过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，

在Rt△AEF和Rt△HEF中，

EFEF， AEEH∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL）， ∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE， ∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②错误；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE， ∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确； 若BC3BCBCBC2BC323， ，则tan∠BCE=CD2BE1AB1CDCD222∴∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°

∴∠DCF=∠ECF=30°，

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又∵∠D=∠CEF, CF=CF ∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确， 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④．

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形 2．（1）1；（2）13. 【解析】 试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.

（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF=2，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，2利用勾股定理列式计算即可得解． 试题解析：（1）如图， 作DEBC于点E. ∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，CD=23， ∴CE∵BC=33,DE3. 3，

∴BEBCCE3333. ∴DEBE3.

∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º. ∵AB⊥BC，∠ABC=90º， ∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º. ∴ tan∠ABD=1.

（2）如图，作AFBD于点F. 在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1， ∴BFAF2. 2∵在Rt△BDE 中，DEBE3， ∴BD32. ∴DFBDBF32252. 2222∴在Rt△AFD 中，ADDFAF13. 完美整理

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CEFDAB 考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值． 3．(1) 16.7（海里）．(2) 7． 25【解析】 试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；

222222

（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF=CB-BF=25-x=625-x．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值． （1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里， ∴cos∠D=DE3， CD5∴CE=40（海里），CD=50（海里）． ∵B点是CD的中点， ∴BE=1CD=25（海里） 2∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．

答：小岛两端A、B的距离为16.7海里． （2）设BF=x海里．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

222222

∴CF=CB-BF=25-x=625-x． 在Rt△CFE中，∠CFE=90°，

22222

∴CF+EF=CE，即625-x+（25+x）=1600． 解得x=7． ∴sin∠BCF=BF7． BC25考点: 解直角三角形的应用． 4．（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得. 试题解析：

（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC ∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º， 又在△APB中，∠APB=135º， ∴∠PBA+∠PAB=45º， ∴∠PAC=∠PBA， 又∠APB=∠APC，

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∴△CPA∽△APB.

（2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CA1, AB2又∵△CPA∽△APB， ∴CPPACA1， PAPBAB2令CP=k，则PA=2k，PB=2k，

又在△BCP中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º， ∴tanPCBPB2 PC考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义. 5．（1）AE32；（2）sinBCE22． 7【解析】 试题分析：（1）在RtDAE中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE；

（2）在RtBCE中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sinBCE的值．

试题解析：（1）在RtDAE中，A90,AED45,DE6 ∵cosAEDAE DE∴AEDEcosAED=6cos45=32 ； （2）∵BEABAE ∴BE523222 在RtBCE中，EC7,sinBCE考点：解直角三角形． 6．（1）254；（2）BE22=． 7CE52. 4【解析】 试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=25，然后根据BC=BD+DC即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 试题解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

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∴∠ADB=∠ADC=90°．

在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4， ∴DC=AD=4．

在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=∴AB=∴BD=2，AD=4， 3AD6 sinBAB2AD225，

∴BC=BD+DC=254 （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE=1BC=52， 2∴DE=CE-CD=52，

∴tan∠DAE=DE52． AD4考点: 解直角三角形. 7．（1）y【解析】

试题分析：(1)由SBOD4，且OB=4，可求BD的长，因此D点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.

（2）过点C作CE⊥OB于点E．在RtAOB中，利用锐角三角函数可求出CE和OE的长，从而求出C点坐标． 试题解析：（1）设D（x，y）， 则有OB=x，BD=y． 由 SBOD4，得8；（2）（2，4）． xOBBDxy4，4， xy=8． 22由yk可得，k=xy，∴k=8， x8 x∴y（2）过点C作CE⊥OB于点E．

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在RtAOB中，ABO90，OB4，AB8， ∴tan∠AOBAB2， BO∴CE2，CE=2EO， EO设C点坐标为（a，2a）， 把点C（a，2a）代入y8中，得 x2a28，解得a2，

∵点C在第一象限，∴a>0，取a=2． ∴C点坐标为（2，4）． 考点: 反比例函数综合题． 8．42. 【解析】

试题分析：在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD3,即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC为BD3直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长. 试题解析：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=22，BD=6 ∴tan∠ABD=AD3, BD3∴∠ABD=30°，∠A=60° ∵∠ABD=1∠CBD 2∴∠CBD=60°，∠ABC=90°

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在Rt△ABD中，ACAB42 cosA考点: 解直角三角形．

9．（1）y= （x-5）＋5（0≤x≤10）. （2）两景观灯间的距离为5米.

2

【解析】 试题分析：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）

2

设抛物线的解析式是y=A（x﹣5）+5

2

把（0，1）代入y=A（x﹣5）+5 得A=﹣

2

∴y=﹣（x﹣5）+5（0≤x≤10）； （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4 ∴4=﹣∴∴x1=

（x﹣5）+5

2

2

（x﹣5）=1 ，x2=

∴两景观灯间的距离为﹣=5米 考点：二次函数的应用

2

10．（1）二次函数关系式为y=2x-4x-6；（2）与x轴的另一个交点是（-1，0），（3）-1﹤x﹤3

【解析】 试题分析：（1）由图象可知，抛物线顶点为（1，-8）

2

所以可设二次函数为y=A（x-1）-8，则该二次函数过（3,0）这个点 所以4A-8=0；即A=2

22

所以二次函数关系式为：y=2（x-1）-8= y=2x-4x-6;

2

（2）当y=0时， 2x-4x-6=0 所以（x-3）（x+1）=0；得x=3或者x=-1 所以图像与x轴的另一个交点为（-1,0）； （3）根据图象可知：当-1＜x＜3时，y＜0 考点：二次函数的图象及性质 11．（1）3；（2）1 【解析】 试题分析：（1）由A（3,0），B（0,3）两点可求出一次函数的解析式为y＝－x＋3.

yx32yx1并根据图中点C的位置，得C点坐标为（1,2）联立．

∴S△AOC＝11·|OA|·|yC|＝×3×2＝3. 22 完美整理

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（2）二次函数y＝x＋1的顶点坐标为D（0,1）． ∴S△BCD＝2

11·|BD|·|xC|＝×|3－1|×1＝1. 22考点：1.函数图象的交点；2.二次函数性质

2

12．（1）抛物线的解析式为y=-x+2x+3；（2）抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；（3）详见解析；（4）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小． 【解析】

2

试题分析：（1）将（0，3）代入y=-x+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式； （2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标； （3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；

（4）当y＞0时，即图象在一、二象限内的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限内的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．

2

试题解析：（1）∵抛物线y=-x+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点， ∴m=3，

2

∴抛物线的解析式为y=-x+2x+3；

2

（2）令y=0，得x-2x-3=0， 解得x=-1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）； 令x=0，得y=3，

∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）； （3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，

（4）如图，①当-1＜x＜3时，y＞0； 当x＜-1或x＞3时，y＜0；

②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的图象；3．待定系数法求二次函数解析式． 13．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；

（2）小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高； （3）小明这一跳能得满分； 【解析】 试题分析：（1）由解析式即可得到；

（2）在解析式中令x=0,则可得到小明在起跳时重心离地面有高度； （3）在解析式中令y=0，解方程即可得到；

2

试题解析：（1）由解析式y=-0.2（x-1）+0.7可知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，0.7），所以小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1

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米；

2

（2）令x=0,则y=-0.2（x-1）+0.7=-0.2+0.7=0.5，即小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；

（3）令y=0，则有-0.2（x-1）+0.7=0，解得x1=去）

所以小明这一跳能得满分； 考点：二次函数的应用

2

214214≈2.87>2.4，x2=<0（舍22 完美整理