中考数学专题练习二次函数(含解析)

2019中考数学专题练习-二次函数（含解析）

一、单选题

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( ) A. （1，0） B. （0，1） C. （0，

-1） D. （-1，0） 2.与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A. y=1+x2 B. y=（2x+1）2 C. y=（x﹣1）2 D. y=2x2 3.已知二次函数的解析式为

，则该二次函数图象的顶点坐标是

（ ） A. (－2，

1) B. (2，

1) C. (2，－

1) D. (1，2)

4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图所示，给出以下四个结论： ①abc=0，②a+b+c>0，③b=3a, ④4ac—b2<0；其中正确的结论有（ ）

A. 1

个 B. 2

个 C. 3

个

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D. 4个

5.如图，已知二次函数y1= x2﹣ x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2 ， 则x的取值范围

是（ ）

A. 0＜x＜2 B. 0＜x＜3 C. 2＜x＜3 D. x＜0或x＞3

6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于(-1，0)、(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（ ）

A. 图象的对称轴是直线x＝

1 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小

C. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1和3 D. 当－1＜x＜3时，y＜0

7.对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是( ) A. 与x轴有两个交点 B. 开口向上 C. 与y轴交点坐标是(0，3) D. 顶点坐标是(1，-2)

8.在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )．

A. (1，

0) B. (0，

0) C. （0，

-1) D. （1，I)

9.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图像，那么下列结论错误的是

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（ ）

A. 当y＜0时，x＞

0 B. 当-3＜x＜0时，y＞0 C. 当x＜

时，y随x的增大而增

大 D. 抛物线可由抛物线y=-x2平移得到

10.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ） A. y=（x﹣1）2+2 B. y=（x﹣1）2+3 C. y=（x﹣2）2+2 D. y=（x﹣2）2+4 二、填空题

11.已知抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是________

12.将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为y=x2﹣4x，那么原来抛物线的解析式是________

13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b2＞4ac； ②abc＞0； ③2a﹣b=0； ④8a+c＜0； ⑤9a+3b+c＜0．

其中结论正确的是________．（填正确结论的序号）

14.二次函数y=2（x﹣）2+3，当x________ 时，y随x的增大而增大 15.如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ________ ．

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16.抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n时，y的值为________．

17.若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为________．

18.如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为________．

19.如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ． 三、解答题

20.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

21.已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，2）三点，求函数解析式．

22.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？

23.若二次函数y=ax2+bx+c的图像最高点为（1，3）经过（﹣1，0）两点，求此二次函数的解析式． 四、综合题

24.某旅行社推出一条成本价位500元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=﹣x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间．

（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，求该旅游线路报价的取值范围；

（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本； （3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 25.商场进了一批家用空气净化器，成本为1200元/台．经调查发现，这种空气净化器每周的销售量y（台）与售价x（元/台）之间的关系如图所示：

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（1）请写出这种空气净化器每周的销售量y与 售价x的函数关系式（不写自变量的范围）；

（2）若空气净化器每周的销售利润为W（元），则当售价为多少时，可获得最大利润，此时的最大利润是多少？

26.某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：

（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=5m+600，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

答案解析部分 一、单选题

1.【答案】C

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【解析】

【分析】抛物线与y轴的交点横坐标为0，令x=0求y，可得抛物线与y轴交点的纵坐标．

【解答】把x=0代入y=x2-1中，得y=-1， ∴抛物线y轴的交点坐标（0，-1)． 故本题答案为C．

【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．在抛物线解析式中，令x=0可求抛物线与y轴的交点坐标，令y=0可求抛物线与x轴的交点坐标

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2.【答案】D

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故选D．

【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同． 3.【答案】B

【考点】二次函数的性质，二次函数的三种形式

【解析】【分析】直接根据二次函数的的顶点式写出顶点坐标(2，1). 故选B.

4.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解 ：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点， ∴c=0，

∴abc=0，故①正确； ∵x=1时，y<0，

∴a+b+c<0，故②不正确； ∵抛物线开口向下， ∴a<0，

∵抛物线的对称轴是x=−， ∴−

=−，

∴b=3a，故③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点， ∴△>0， ∴b2−4ac>0,4ac−b2<0，故④正确； 综上，可得正确结论有3个：①③④。 故答案为 ：C . 【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y<0，可得a+b+c<0；根据抛物线的对称轴知b=3a；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△>0，所以b2-4ac>0，4ac-b2<0，据此解答即可 。 5.【答案】C

【考点】二次函数与不等式（组）

【解析】【解答】解：∵二次函数y1= x2﹣ x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0）， ∴由图象得：若0＜y1＜y2 ， 则x的取值范围是：2＜x＜3． 故选C．

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【分析】由二次函数y1= x2﹣ x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），然后观察图象，即可求得答案． 6.【答案】D

【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组） 【解析】【分析】根据抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于(-1，0)、(3，0)两点再结合图象特征依次分析即可。 【解答】A、图象的对称轴是直线x＝1，B、当x＞1时，y随x的增大而减小，C、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1和3，均正确，不符合题意； D、当－1＜x＜3时，y＞0，故错误，本选项符合题意。

【点评】解题的关键是熟练掌握x上方的部分对应的函数值大于0，x下方的部分对应的函数值小于0. 7.【答案】D

【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．

【解答】A、∵△=22-4×（-1)×（-3)=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；

B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；

C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3)，本选项错误；

D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1)2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2)，本选项正确． 故选D． 【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系． 8.【答案】A

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可．

【解答】∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0， 当x=0时，y=-x2+1=0+1=1，

抛物线过（1，0)或（0，1)两点． 故选A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式 9.【答案】A

【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，二次函数与不等式（组）

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【解析】【分析】先根据图象过原点及抛物线的开口方向求得a的值，从而得到抛物线的对称轴及图象与x轴的交点坐标，再根据二次函数的性质依次分析各选项即可作出判断。

【解答】∵二次函数y=ax2-3x+a2-1的图像过点（0，0) ∴a2-1=0，解得a= ∵抛物线开口向下 ∴a=-1

∴抛物线的对称轴为x=

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0) ∴当y<0时，x>0或x<

，故A错误；

当-30，故B正确； 当x＜

时，y随x的增大而增大，故C正确；

上述抛物线可由抛物线y=-x2平移得到，故D正确； 故选A.

【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的性质，即可完成。 10.【答案】B

【考点】二次函数的三种形式

【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得 y=（x﹣1）2+3， 故选：B．

【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式． 二、填空题

11.【答案】m＜1

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：∵抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1，

故答案为m＜1．

【分析】根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1＜0，即可得出答案． 12.【答案】y=x2+2x﹣1

【考点】二次函数图象与几何变换

【解析】【解答】解：由y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，得新抛物线的顶点为（2，﹣4），

∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），

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设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1， 故答案为y=x2+2x﹣1．

【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式． 13.【答案】①②⑤

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a＞0； 抛物线的对称轴为x=﹣

=1，b=﹣2a，故b＜0；

抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0； 所以abc＞0； 故②正确；

③∵抛物线的对称轴为x=﹣

=1，b=﹣2a，

∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；

④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；

由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误； ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确； 所以这结论正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 14.【答案】＞

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：∵y=2（x﹣）2+3， ∴二次函数开口向上，对称轴为x=， ∴当x＞时，y随x的增大而增大， 故答案为：＞．

【分析】根据二次函数的顶点式方程可得出其对称轴及增减性，可得出答案． 15.【答案】a＞1或a＜1 【考点】二次函数的定义

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【解析】【解答】解：由y=（a﹣1）x2是二次函数，得 a﹣1≠0．解得a≠1， 即a＞1或a＜1，

故答案为：a＞1或a＜1．

【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 16.【答案】3

【考点】抛物线与x轴的交点 【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0）， ∴该抛物线的对称轴方程为﹣ ∴x=m+n=0，

∴y=0+3=3，即y=3． 故答案是：3．

【分析】根据二次函数对称轴方程x=﹣

可以求得m+n，即x的值．然后将x =

，即m+n=0，

的值代入抛物线方程求得y的值． 17.【答案】m＞1

【考点】抛物线与x轴的交点

【解析】【解答】解：根据题意可知△＜0， ∴4﹣4m＜0， m＞1，

故答案为：m＞1，

【分析】根据题意可知△＜0，求出m的范围即可． 18.【答案】（

，

）

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，正方形的性质，二次函数与一次函数的交点问题

【解析】【解答】解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2 ， 把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1， 解得：a=1，

则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2；

∵B的坐标是（1，1），

设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x．

根据题意得： ，

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解得： （舍去），或 ．

则D的坐标是：（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

【分析】根据图形首先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后两函数解析式联立组成的方程组即可求解。 19.【答案】k＜﹣2

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：∵抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下， ∴2+k＜0，即k＜﹣2． 故答案为：k＜﹣2． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2+k＜0． 三、解答题

20.【答案】解：根据题意得： P=（﹣3x+108）（x﹣20） =﹣3x2+168x﹣2160

=﹣3（x﹣28）2+192． ∵a=﹣3＜0，

∴当x=28时，利润最大=192元；

答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元 【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】根据题意得出每天获得的利润P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格． 21.【答案】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）， 把C（1，2）代入得a•（1﹣3）•（1+1）=2，解得a=﹣

，

所以抛物线解析式为y=﹣ （x﹣3）（x+1），即y=﹣ x2+x+

【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，所以设交点式y=a（x﹣3）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可．

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22.【答案】解：由S=l（30﹣l）=﹣l2+30 l．（0＜l＜30）

当l= 时，S有最大值．

即当l=15m时，场地的面积最大 【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】根据矩形面积公式，需要确定矩形的长，宽分别是l、（30﹣l），由矩形面积公式列函数关系式，由二次函数的顶点坐标公式可求面积最大值．

23.【答案】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+3， 把（﹣1，0）代入得4a+3=0，解得a=﹣

，

所以抛物线解析式为y=﹣ （x﹣1）2+3

【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2+3，然后把（﹣1，0）代入求出a的值即可． 四、综合题

24.【答案】（1）解：∵由题意得 时，即 ， ∴解得

即要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，该旅游线路报价的取值范围为1100元/人~1200元/人之间 （2）解：

∵ ，∴当 （3）解：利润

，∴

时，z最低，即

当

时，

.

【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数的实际应用，二次函数的应用

【解析】【分析】(1）根据该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，即y< 200,整体代换即可得出关于x的不等式，求解得出x的取值，又旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人～1200元/人之间，取出他们的公共部分即可得出得出x的取值范围；

（2）设经营这条旅游线路每月所需要的成本为Z,由每个人的成本价乘以旅游人数等于经营这条旅游线路每月所需要的成本为Z，从而得出Z与x之间的函数关

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系，根据函数性质，即可得出答案；

（3）设经营这条旅游线路每月所获得的最大利润为W，根据W=每个游客身上获取的利润乘以旅游的人数，即可得出W与x之间的函数关系式，根据函数性质，即可得出答案。 25.【答案】（1）解：设销售量y与售价x的函数关系式为y=kx+b ∵当x=1500时，y=100，当x=1800时，y=40，

∴ ，

∴解得： ，

∴销售量y与售价x的函数关系式为y=﹣ x+400

（2）解：由题意可得：W=（x﹣1200）（﹣ x+400） =﹣ x2+640x﹣480000

=﹣ （x﹣1600）2+32019，

∴当售价为1600时，可获得最大利润，此时的最大利润是32019元 【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；（2）首先利用每件利润×销量=总利润，进而求出二次函数最值即可． 26.【答案】（1）解：设工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数解析式为：y=kx+b，∵该函数图象过点（0，300），（500，200），

∴ ，

解得 ．

所以y=﹣0.2x+300（x≥0），

当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y=﹣0.2×600+300=180（元/千度）

（2）解：设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：w=my=m（﹣0.2x+300） =m[﹣0.2（5m+600）+300] =﹣m2+180m

=﹣（m﹣90）2+8100，

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在m≤90时，w随m的增大而最大， 由题意，m≤60，

∴当m=60时，w最大=﹣（60﹣90）2+8100=7200，

即当工厂每天消耗60千度电时，工厂每天消耗电产生利润为最大，最大利润为7200元

【考点】一次函数的应用，二次函数的应用

【解析】【分析】（1）设y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）根据利润=每天的用电量×每千度电产生利润y，然后整理得到W与m的关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

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