傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数的复数形式

设周期2l 的周期函数()f x 的傅里叶级数为： 01(cos sin )2n n n a n x n x a b l l

ππ∞=++∑⑴ 其中系数,n n a b 为：

1()cos (0,1,2,...),1()sin (0,1,2,...).l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ--?====??

⑵ 利用欧拉公式可得： cos sin cos sin it it e t i t e

t i t -=+=-

两式相加可得： cos 2 it it

e e t -+=⑶ 两式相减可得： sin 2it it e e t i

--=⑷ 将公式(3)和(4)代入公式01(cos sin )2n n n a n x n x a b l l

ππ∞=++∑⑴可得： 0101[()()]222 []

222n x n x n x n x i i i i n n l l l l n n x n x i i n n n n l l n a a b e e e e a a ib a ib e e ππππππ∞--=∞-=++---+=++∑∑⑸ 记 00,,(1,2,3,...)222

n n n n n n a a ib a ib C C C n --+====⑹ 根据公式(6)可以将公式(5)写成：

01 01[]

()[]n x n x i i l l n n n n x n x n x i i i l l l n n n n n n x

i l n n C C e C e C e

C e C e C e ππππππ∞--=∞-=-=∞=-∞++=++= ∑∑∑⑺ 系数n C 的表达式为： 001()222 11[()cos ()sin ]21()(cos sin )21()21()2l l n l l l l l l n x i l l l

n x i l l n l a C f x dx l an ibn C n x i n x f x dx f x dx l l l l n x n x f x i dx l l l

f x e dx l C f x e dx l ππππππ--------==-==-=-==