数学・解题指南 例谈两种向量运算法在平面几何中的应用 湖南双峰县第二ｑ－学（４１７７０１）刘预华 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由 于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为 中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁 与纽带．向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函 数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年 分析：（１）抓住题眼“平行四边形ＡＢＣＤ”；（２）合理 建立平面直角坐标系；（３）转化为二次函数求值域问题． 解法：如图３，以点Ａ为 ）， ． 坐标原点，ＡＢ所在直线为．ｚ Ｄ Ｎ Ｃ 轴建立平面直角坐标系，则 Ｍ 高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强．下面我们 来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几 何中的应用． Ｂ（２，ｏ），ｃ（５， ）＇Ｄ（专， （ｚ 一２））， Ｄ （Ａ） Ｂ Ａ ４ ５－），【例１】 如图１，在ＡＡＢＣ 中， ｃ一９０。，且ＣＡ＝ＣＢ＝３，点 ．一一一／ Ｍ满足痢一２劢，则 ． Ｍ 一 ． 聂 ／Ｒ Ｍ（ 图３ Ｎ（ｚｚ， ），由条件可得 图１ ２ Ｉｇ－￣ｌ—ｌ ｌ，代入坐标化简得４ ＋ｚ 一 ，得３２２一 解法一（基底法）：由旃一２砌的中点，如图１所示． 知，Ａ是线段ＭＢ ４ ，所以 ． 一（ ，４５（ｚ 一２））．（ 。， ）：：： 由题意可知，ＡＣ上ＢＣ，且ＣＡ＝ＣＢ＝３， （ ＋ ． 一（ ＋赢）．蔬 （蔬＋ 一蔬）． 一（２蔬一蔬）．蔬一２蔬ｚ一 蔬．蔬一２×３２—１８． ・・ 一．． ｌｚ１（等－－４ｘ１）＋昔（ ｌ一２）＝一４ｘ ＋１２ｘ】一３，ｚ１∈［２， 一昔］．由二次函数的图像可知， 一一４ｘ ＋１２ｘ 一３在区 点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的 基底．该题选 、蔬作为基底，把 用基向量表示出 来，然后转化成基向量的运算．这种方法一般需要知道 两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运 间［２，要］上是减函数，所以 ・ 的取值范围是［２，５］． 点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有 关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利 用坐标运算题目会变得容易得多． 算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理． 解法二（坐标法）：如图２所 其实，本题用基底法来求解更容易．设 一ｎ， 一 ‘示，建立平面直角坐标系，则Ｃ（Ｏ， ０），Ｂ（３，Ｏ），Ａ（Ｏ，３）． Ｉ设Ｍ（ｘ， ），贝０百 一（ｚ一３， ◇ Ａ Ｄ （Ｃ）Ｂ 鼹一高 知 一ｎ Ａ）ａ＋ｂ，于是劢・ 一 一（ｎ＋ ）・［（１一 ）ｎ＋胡一（１－－ ），劢一（ｘ，ｙ－－３）． 由砌一２劢，可得 ）ｎ ＋［（１～ ） ＋１］口・６＋２ｂ 一４（１－－Ａ）＋［（１－－２）２＋ ｛ 一２ｘ －一３２ ＝ （ 一３２一ｘ３ ，）’解得｛ ３ 一６ ，即 Ｍ（～３。６）． ‘．．图２ １］＋ 一一．＝【 一２ ＋５， ∈［ｏ，１］．由二次函数的图像可知 ＿ｙ一一 。一２Ａ＋５在区间［０，１］上是减函数，所以 ・ Ａ 的取值范围是［２，５］． 总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点． 在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同 可 一（～３，６），．・。可 ．蕊一１８． 点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立 适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向 的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何 问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决 问题． 量的运算转化成坐标运算．这种方法一般在建立坐标系 后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种 关系式时考虑采用． 【例２】 （２０１２・上海）在平行四边形ＡＢＣＤ中， 参考文献 王朝银．２０１４高考总复习创新设计系列丛书数学 （理科）［Ｍ］．西安：陕西人民出版社，２０１３． Ａ一 ，边ＡＢ，ＡＤ的长分别为２，１．若Ｍ，Ｎ分别是 （责任编辑钟伟芳） ￣２ ＢＣ，ＣＤ上 且满足 一恩删劢． 的取值范围是
