2014年考研数学三真题及答案

2014年考研数学三真题

一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设(A)(C)

【答案】A。 【解析】

【方法1】直接法： 由

且

≠0，则当

充分大时有

且≠0，则当充分大时有 (B) (D)

【方法2】排除法： 若取取

显然显然

,且(B)和(D)都不正确； ，且(C)不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A)

.

(B)

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(C)

【答案】C。 【解析】 【方法1】

(D)

由于 所以曲线 解法2 考虑曲线 则直线

是曲线

与直线

有斜渐近线

，故应选(C)

纵坐标之差在

时的极限

的一条斜渐近线，故应选(C)

综上所述，本题正确答案是(C)

【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近

线 (3)设

当

时，若

是比

高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 (A) (C)

.

(B) (D)

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【答案】D。 【解析】 【方法1】 当

时，

知，

的泰勒公式为

又 则

【方法2】 显然

由上式可知，与题设矛盾。 故

，

,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，

综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较 (4)设函数[0,1]上

.

具有二阶导数，,则在区间

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(A)当 (B)当 (C)当 (D)当 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于点

和(

时，时，时，时，

则直线

),当

时，曲线

应位于过两个端点的下方，即

过

在区间[0,1]上和

的弦

是凹的，曲线

【方法2】 令 当

时，

，

.

,则

,。则曲线

,

，又

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从而，当 【方法3】 令 则 = 当

时,,即

时，,即

, ,

单调增，

，从而，当

时，

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明

(5)行列式 (A) (C)

【答案】B。

(B) (D)

【解析】灵活使用拉普拉斯公式

.

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=

=

综上所述，本题正确答案是(B)

【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算 (6)设

均为三维向量，则对任意常数

线性无关是向量组

线性无关的

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A。 【解析】 记

，则

,向量组

若

线性无关，则

是3阶可逆矩阵，

故关。 反之，设

.

,即线性无

线性无关，，则对于则对任意常数

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,向量组 性相关， 所以

关的必要非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

线性无关，但线

线性无关是向量组线性无

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关 (7)设随机事件与相互独立，且

(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B。 【解析】

，,

独立，则

独立，

也独立,而

,则

可用独立性来计算。

可得

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率

.

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性质和五大公式 (8)设

为来自正态总体服从的分布为

(A)(C)

(B) (D)

的简单随机样本，则统计量

【答案】C。 【解析】

，所以

，

与

相互独立，故

与

也独立。

所以 ,而

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。） (9)设某商品的需求函数为的边际收益为 。

(为商品的价格)，则该商品

.

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【答案】

,则边际收益为

【解析】由题设知收益函数为

【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用 (10)设是由曲线

与直线

及

围成的有界区

域，则的面积为 。 【答案】【解析】 【方法1】 曲线

如下图，则

与直线的面积为

及

围成的有界区域

【方法2】

用二重积分计算面积，即

.

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【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用 (11)设【答案】【解析】

。

,则

。

可知

，则

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算 (12)二次积分【答案】【解析】

二次积分的积分区域为

.

= 。

。

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交换积分次序得

【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系 (13)设二次型

数为1，则的取值范围是 。 【答案】【解析】 由配方法

的负惯性指

负惯性指数为1，故

，解得

【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形 (14)设总体的概率密度为

.

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其中本，若

是未知参数，

为来自总体

的简单随机样

,则

【答案】【解析】

。

, 解得

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 三、解答题：

小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。 (15)求极限

【解析】

.

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【方法1】

(等价无穷小代换)

【方法2】

(洛必达法则)

(变量代换 (洛必达法则)

)

(等价无穷小代换)

(洛必达法则)

(泰勒公式)

【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开

.

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(16)设平面内区域,计算

【解析】 【方法1】令 又 所以【方法2】 显然积分区域D关于

有轮换对称性，于是

==

.

,

令

)

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=

【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 (17)设函数

具有连续导数，且

满足

若【解析】

利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。 因为

,求

的表达式。

所以

因此 从而函数

.

化为

满足方程

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一阶线性非齐次微分方程

可得方程通解为 由故

,解得

【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解 (18)求幂级数【解析】 【方法1】 因为几何级数又

,且收敛域为

的收敛域及和函数

由幂级数的逐项求导性质知

.

的收敛域为

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，和函数

【方法2】 幂级数又

的系数

,

所以收敛半径 当发散； 当

时，

发散；

故收敛域为设

则

时，

.

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故和函数

【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和 (19)设函数

在区间。证明：

(I)(II)【解析】 (Ⅰ)由得(Ⅱ)令显然

,只要证明

且

得

；

,

上连续，且

单调增加，

.

由(Ⅰ)的结论

即

.

知，

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又

单调增加，则 .

故

,因此，

. 【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题

(20)设

(I)求方程组(II)求满足【解析】 (Ⅰ)对矩阵

，为三阶单位矩阵 的一个基础解系； 的所有矩阵

。

做初等行变换，得

因

,令

故基础解系为

求出

（Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组

.

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由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令初等行变换

做

由此得三个方程组的通解：

故所求矩阵为

,

数。

为任意常

【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解

.

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(21)证明阶矩阵【解析】 证明：记

与相似

因为由

。

是实对称矩阵必与对角矩阵相似

,知

的特征值为

故又由

。

当

时，

, 知

的特征值为

那么

,即齐次方程组

有有

个线性无关的解，亦即

个线性无关的特征向量，从而矩阵

.

时，矩阵

必有对角矩阵相似，即

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从而

和

相似。

【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化 (22)设随机变量的概率密度为

对

进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时

为观测次数 的概率分布

停止，记(I)求(II)求【解析】 (Ⅰ)令显然记事件

{对进行一个观测得到的值大于3}。

,

发生的概率

,

的可能取值应为

所以

.

的分布为

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（Ⅱ）

记

【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望 (23)设随机变量

的概率分布相同，的概率分布为 ，且

(I)求(II)求【解析】

X Y 0 1

.

,

的相关系数

的概率分布；

0 1 c d b

,

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解得

由此可得 所以

X Y 0 0 1

1 （Ⅱ）

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，相关系数

.