第五节 直线与圆的综合问题

考点一 与圆有关的最值问题 考法(一) 斜率型最值问题

y

[典例] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

x

y－byy－0

[解题技法]：形如μ＝型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题x＝表x－ax－0示过坐标原点的直线的斜率．

考法(二) 截距型最值问题

[典例] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．

[解题技法]：形如μ＝ax＋by型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由

x－2＝3cos θ，x＝3cos θ＋2，

于圆的方程可整理为(x－2)＋y＝3，故可令即从而y－x＝3sin θ－3cos

y＝3sin θ，y＝3sin θ，

2

2

π

θ－－2，进而求出y－x的最大值和最小值． θ－2＝6sin4考法(三) 距离型最值问题

[典例] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．

[解题技法]

形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值．如本题中x2

＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方．

[题组训练]

y－2

1．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任意一点，则的最大值为________．

x－1

―→―→

2．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则PA·PB的最大值为________． 考点二 直线与圆的综合问题

[典例] 已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(－1，－1)．(1)求直线l与圆C的方程．

(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ

的斜率为1.

[解题技法] 直线与圆的综合问题的求解策略

(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．

(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．

[题组训练]

1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A．[2,6]

B．[4,8] C．[2，32] D．[22，32]

2. (2019·湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)． (1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；

(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA2|＋|PB2|＝12？若存在，求出点P的个数；若不存在，说明理由．

达标检测：直线与圆的综合问题

1．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定

1

2．直线ax＋ay＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则圆的半径最大时，a的值是( )

A．1 B．－1 C．±1 D．a可为任意非零实数

3．与圆x2＋y2＋22y＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为( )

A．2 B．3 C．4

D．6

4．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )

A．3 B.

21

C．22 2

D．2

5．(2019·赣州七校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线3x－y＋3＝0上，且圆C上的点到直线 3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，则a2＋b2的值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么x2＋y2的最小值为________． 7．已知P(x，y)为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|3x＋4y－3|的最大值为________．

π8．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，

3则实数a＝________.

111

－1，和直线a：y＝－的距离相等，圆D：(x－1)2＋y－2＝r2(r＞0)． 9．已知曲线C上任一点M(x，y)到点E424

(1)求曲线C的方程； (2)过点A(－2,1)作曲线C的切线b，并与圆D相切，求半径r.

10．已知过点A(1,0)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

―→―→

(1)求k的取值范围； (2)OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

11．已知圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆N：x2＋(y－8)2＝40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k.

(1)求k的取值范围； (2)若四边形ABCD为梯形，求k的值．

12．(2019·成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1，－2)的距离与到点B(2，－4)的距离之比均为

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P(1，－3)，过点P作两条相异的直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF的最大值．

2

. 2