第３７卷第４期 ２０１３年７月 江西师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖ０１．３７ Ｎｏ．４ Ｊｕ１．２０１３ 文章编号：１０００－５８６２（２０１３）０４－０４１１－０５ 求解３维泊松方程的一种新方法 陈建华，赵飞，葛永斌 ７５００２１） （宁夏大学数学计算机学院，宁夏银川摘要：采用截断误差修正方法，改进了３维泊松方程的传统中心差分格式．首先通过算子估算出了 粗网格上的截断误差，然后结合插值算子，将其还原到细网格上，修正原差分方程，得到了具有４阶精度 的新格式．该方法不但继承了传统中心差分格式计算板型简单的优点，而且具有较高的精度，是一种提高 低阶格式精度的新方法．最后通过数值实验，验证了该方法的精确性和优越性． 关键词：３维？白松方程；截断误差修正；插值算子；算子；中心差分格式 中图分类号：ｏ ２４１．８２ 文献标志码：Ａ 解？自松方程的紧致修正法．上述方法，虽然都起到了 ０ 引言 泊松方程是一种重要的偏微分方程．在数学、物 理和工程领域中有着极其广泛的应用．近年来，学者 提高精度的作用，但是差分格式较为复杂，编程困难 不易实现．文献［１０］提出了非均匀网格上的数值求 解泊松方程的差分方法． 本文通过改进３维泊松方程传统的中心差分格 对其数值解法的研究一直没有停止过．传统的中心 差分格式虽然使用较少的网格点，但其只有２阶计 式（ＣＤＳ） ㈨ 来提高格式的计算精度．在求解中还 是应用传统的７点计算板型，通过插值算子和 算精度．因此发展高精度且高效的求解方法，已经成 为研究的主要趋势． 算子的使用反复估算截断误差，进而修正差分方程． 在不用增加网格节点数的情况下，使计算达到４阶 精度． ． 为此，本文考虑如下３维Ｐｏｉｓｓｏｎ方程的 文献［１］提出了２维 自松方程的９点优化差分 方法．文献［２］建立了１组３维？白松方程的高阶紧 致差分格式，包括１９点计算板型的４阶紧致格式和 ２７点计算板型的６阶紧致格式．文献［３］采用３次 样条插值法，得到了２维泊松方程４阶精度的差分 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题： 』 ＋ ＋ ｌｕ（ｘ，Ｙ ｚ）＝ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）， ｚ） ， （１） （ ，ｙ， ）∈ａ ， 格式．文献［４］基于Ｈｅｒｍｉｔ插值的基本思想，利用待 定系数法提出了求解２维泊松方程的高阶紧致差分 方法．文献［５］采用待定系数法和对称性，得到了２ 其中 为求解区域，ａ 为边界区域，ｆ（ ，Ｙ，ｚ）和 ｇ（ ，ｙ，ｚ）为已知函数，ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）为待求函数，假设它 们均充分光滑． 维泊松方程的高阶紧致差分格式．文献［６］利用对 称性和微分算子的推导方法，得到数值求解３维泊 松方程的４阶和６阶精度紧致差分格式．文献［７］ １ 中心差分格式及误差分析 现取计算区域为［０，ｚ ］Ｘ［０，２ ］×［０，ｚ ］，将区 间［０，Ｕ作 等分，记ｈ ＝ｌｘ／Ｎ，， ＝ｉｈ ，０≤ｉ≤ ；将区间［０，ｚ ］作 等分，记ｈ ＝ｌｙ／Ｎｙ， ＝ｊｈ ， 针对３维Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程提出了２个新的高阶紧致 差分格式．文献［８］通过解的线性叠加原理，得到了 求解？自松方程的２步预估校正格式．文献［９］通过 构造紧致格式的修正项，得到了非均匀网格上的求 收稿日期：２０１３－０４－１５ 基金项目：国家自然科学基金（１１０６１０２５），霍英东教育基金会高等院校青年教师基金（１２１１０５）和宁夏自然科学基金 （ＮＺ１２１２３）资助项目． 通信作者：葛永斌（１９７５．），男，宁夏青铜峡人，教授，博士，主要从事偏微分方程数值解和计算流体力学的研究． ４１２ 江西师范大学学报（自然科学版） ２０１３年 ０ ≤ ；将区问［０，ｚ ］作 等分，记ｈ：：１．ＩＮ￣， ：ｒｈ（ ｌ一１，Ｏ，ｋ１）＝ Ｉ Ｌｒ２ｈ ．２—１Ｏ，ｋ２）＋ｒ２ （ ２，Ｏ，ｋ２）］， ，ｋｈ ，０≤ ≤Ⅳ２，其中ｈ ，ｈ，和ｈ 分别为 ，Ｙ和ｚ ｒ方向的网格步长．中心差分格式（ＣＤＳ）可表示为 ｈ（ｉｌ，０，ｋ１）＝１－２ｈ（ｉ２，Ｏ，ｋ２）， ，兰 二！ ！ 二兰兰 』！ ±兰 ±！ ！ ＋ ｈ ＾ ． ＋ｒ （Ｏ√１—１，ｋ１）＝－＝１ Ｌｒ２ｈ ｕ ￣２—１后２）＋厂２＾（ｏＡ，ｋ２）］， ｈ ； ，ｒ （Ｏ， ｌ，ｋ１）＝ｒ２ｈ（０，Ｊ２，ｋ２）， （２） 兰 ！ ：！二 兰 ！ ±竺 ！ ！ ±！ ＋ｒｉ√ｈ ＝ √， ， ｒ （ 。一１， 一１，ｋ。）＝寺［ｒ２ｈ（ ｚ一１，Ｊ’２，ｋ ）＋ｒ （ — 其中丁 ， ＝一ｈＥ［ ｕ／０ｘ４＋Ｏ４＃０ｙ４＋０４＃ ］／１２＋ Ｏ（ｈ：＋＾；＋ ）． 因此ＣＤＳ的精度只有０（ｈ ），在继承ＣＤＳ原有 的简单７点计算板型的基础上，为提高格式精度，本 文提出截断误差修正方法．首先利用传统ＣＤＳ计算 出细网格上的 ，结合算子求出粗网格上的 ，再利用ＣＤＳ 估算出粗网格上的截断误差 然后结合插值算子求出细网格上的截断误差 ， 最后通过计算出的截断误差 对ＣＤＳ进行修正， 得到了具有４阶精度的新格式． ２截断误差修正方法 称以 为步长的求解区域为细网格区域，记为 ；称以２ 为步长的求解区域为粗网格区域，记为 ．算子 ：ｒ２ｈ ＝ｒ ＪＩ １插值算子 ：ｒ （ｏ， ０，０）＝ｒ （０，０，０）．在 ，，平面上做插值，当ｋ从０变 化到 时，即可实现对全部网格点进行插值． 当 ＝０时， ｒ （ｉ１—１，０，０）：÷［ｒ （ｉ２—１，０，０）＋ｒ２ （ ２，０，０）］， ｒ （ｉｌ，０，０）＝ｒ （ｉ２，０，０）， ｒｈ（ｏ√。一１，ｏ）＝÷［ｒ２ｈ（０，Ｊ２—１，０）＋ｒ （０，Ｊ２，０）］， ｒ （Ｏ ，Ｏ） ：ｒ２ｈ（Ｏ，Ｊ２，０）， ｒｈ（ ｌ一１Ｊｌ一１，Ｏ）＝ １一Ｌｒ２ｈ ｚ￣２—１ 一ｌ，０）＋ｒ２ｈ（ｉ２—１， ，０）＋ｒ （ｉ２， 一１，０）＋ｒ （ｉ２，Ｊ‘２，０）］， ｒｈ（ｉｌ Ｊｌ一１，０）＝ Ｉ Ｌｃｒ２ （ ２Ｊ２—１，０）＋ （ ２ ，０）］， ｒ （ｉｌ一１， 。，０）＝÷［ｒ （ｉ 一ｌ， ：一ｌ，０）＋ｒ （ｉ：一 １，Ｊ‘２，０）］， ｒ （ ｌ√ｌ，０）＝ｒ （ｉ２， ，０）． （ｉ）当ｋ为偶数时， ｒ （Ｏ，０，ｋ１）＝ｒ２ｈ（０，０，ｋ２）， ｆ ，｜ｉ｝２）＋ｒ２ｈ（ ２，Ｊ２—１，ｋ２）＋ｒ２ （ｉ２，Ｊ‘２，ｋ２）］， －１ｈ（ 一１， ）＝ ［ （ ： 一１，ｋ２）＋ｒ２＾（ ，ｋ２）］， ｒ （ｉ１—１， １，ｋ１）＝÷［１．２ （ｉ２—１，五，ｋ２）＋ｒ２ （ｉ２—１， Ｊ２，ｋ ）］， ｒｈ（ｉ１， １，ｋ１）＝ｒ２ （ｉ２√２，ｋ２）． （ｉｉ）当ｋ为奇数时， （０，０，ｋ１—１）＝ １ Ｌｒ２ｈ（０，０，ｋ２—１）＋ （０，０，ｋ ）］， ｒ （ １—１，０，Ｊｊ｝１一１）＝＿４Ｌ ｒ２ （ ２—１，０，ｋ２—１）＋ ｒ２ｈ（ｉ２，０，ｋ２—１）＋１－２ｈ（ｉ２—１，０，ｋ２）＋１．２ （ｉ２，０，ｋ２）］， ｒｈ（ｉ１，０，ｋ１）＝÷［．１２ｈ（ｉ２，０，ｋ２—１）＋ｒ２ｈ（ｉ２，０，ｋ２）］， 、 ｒ （０，＿『ｔ一１，ｋ一一１）＝ １ ｒ２ｈ（０，Ｊ２一ｌ－ｋ２）＋ｒ （０， ， ｋ２）＋ｒ （０， 一１，ｋ２—１）＋ｒ （０，Ｊ’２，｜ｉ｝２—１）］， ｒｈ（Ｏｊ。，ｋ。一１）＝１［ｒ２ｈ（Ｏ，ｊ＇２，ｋ２一１）＋ｒ２＾（０ ，ｋ２）］， ｒｈ（ｉｌ√。，ｊｃ。一１）＝÷［ （ｉ √２，ｋ２）＋ｒ她（ Ｊ２， 一１）］， ｒ （ －一１， ｋ一１）＝ １ １－２ｈ（ ２—１， 一１，ｋ２）＋ （ ２—１ ，ｋ２）＋ｒ （ ２Ｊ２，ｋ２）＋ （ ２ ，ｋ２—１）］， ｒ （ 。√ 一１，ｋ 一１）＝ １ ｒ２ｈ（ ，Ｊ ２，ｋ２）＋ｒ２ｈ（ ，Ｊ２， ｋ２—１）＋ｒ２ｈ（ｉ２，Ｊ‘２—１，ｋ２）＋１－２ｈ（ｉ２，Ｊ２—１，ｋ２—１）］， ｒ （ ｌ一１， 一１，ｋ１一１） ｜ ｒ２ （ ｚ一１， ～１，ｋ２）＋ －１２ｈ（ｉ２—１，Ｊ’２，ｋ２）＋ｒ２ｈ（ｉ２，Ｊ‘２，ｋ２）＋１．２ｈ（ｉ２，Ｊ’２，ｋ２—１）＋ Ｉ２ｈ（ｉ２，Ｊ２—１，ｋ２）＋ｒ２ （ｉ２，Ｊ’２—１，ｋ２—１）＋ｒ （ｉ２—１， Ｊ２—１， ２）＋１．２ （ｉ２—１， ２—１，ｋ２—１）］． 算法中ｕｈ。 ｎ １Ｉｈ ，ｎ ， ∈ ，ｕ２ ｈ．ｎ ２ ｈ，ｎ ，７， ， ∈ ， ， 表示迭代次数．算法如下： 步骤１ 通过（２）式可采用高斯－塞德 迭代 法，计算出“ｈ ，ｎ 当ｎ＝０时，令，ｉｈｊ０＝０． ， 第４期 陈建华，等：求解３维泊松方程的一种新方法 结合算子 ４ｌ３ 步骤２利用已计算出的 ，断迭代是否终止．若不满足该迭代法则，则跳至步骤 ２，开始新的循环． 求得“ ２ｈ，ｎ ． 步骤３利用ＣＤＳ和由步骤２得到的 ２： ｈ ，ｎ， ， 计算出 ２ｈ ，ｎ ￣．Ｌ ．３数值实验 一 ＋ｌｒ ｎ √， ．，２ｈ一＝ ，２ 厂 Ｊ， 一２ ： ＋ｕ２ｉ＋ｈ’１ｎＪ， ！ ＝ —： ，２ ｈ～ｎｌ一 ， 对于３维泊松方程（１），为了验证本文方法的 ， ２＾ 一２ ２ ：ｎ＋ ２ ｈＪ ，１，ｎｈ２ ｈ， ｎ２ ：：＋ ２ｈＪｎ精确性和可靠性，分别采用ＣＤＳ和本文方法，在求 ｕｉｊ一－Ｊ＋ｌ， Ｊ一１—，，＋１ （２ｈｙ） （２ｈ：） 。 解区域０≤ ，ｙ，ｚ≤１，取 ＝１０－１。，ｈ：ｈ ＝ｈ ＝ｈ ．考 步骤４用插值算子对细网格上的截断误差进 察如下２个有精确解的问题，边界条件由精确解 行修正（通过插值算子 和已计算出的丁２ｈ ，，ｎ “得到 给出． 譬 ）： 问题１ ｇ（ ，Ｙ， ）＝ｓｉｎ（ ）ｓｉｎ（ ）ｓｉｎ（ ）， ，ｉｔｙ， ）：～３耵 ｓｉｎ（１Ｔ ）ｓｉｎ（１Ｔｙ）ｓｉｎ（ ）． ｉｌ，ｎ，Ｊｌ￣ ，＾１＾ｌ一＝ 寺，＾ｒ２ｈ ｉ２２ｈ，，Ｊｎ２ ＋，ｋ ２ｌ．’ 问题２ ｇ（ ， ，ｚ）＝ｓｉｎ（Ｔｒｙ）ｓｉｎ（ ）， ＝０； 步骤５通过新得到的丁嚣 ，对ＣＤＳ进行修正： ｇ（ ，ｙ，ｚ）＝２ｓｉｎ（，ｔｒｙ）ｓｉｎ（１１ ）， ：１；ｇ（ ，ｙ，ｚ）＝０， 二＝ ｈ ｎ＋ｌ＋ｈ ，ｎ＋ ｌ０，ｌ｝． ，Ｙ， ）＝一３订 ｓｉｎ（似）・ 兰 Ｙ＝｛０，１｝， ＝｛ｈ ＋兰 二 兰 。 ２ 。 ｓｉｎ（ ）ｓｉｎ（耵 ）． 华 ” ： 问题２的精确解为 ，ｚ）＝ ［２ｓｉｎｈ（盯 ＋ 这样就可以得到比ＣＤＳ更精确的解Ｍ ． Ｓｌｌ＇ｌ Ｊｌ 【竹√ Ｊ 步骤６通过迭代法则ｆｌ ｒ ” 一丁 ｌＩ＜ ，判 ｓｉｎｈ（仃 （１一 ））］． 表１问题１的数值结果比较 表３ 问题１与问题２的迭代次数和计算时间的比较 ４１４ 江西师范大学学报（自然科学版） ２０１３年 表１和表２分别给出了问题１和问题２取不同 的ｈ，ＣＤＳ和本文方法在误差 范数、￡ 范数和收 敛阶（Ｒａｔｅ）上比较．其中定义ｌｌ Ｅ ｌ ＝ｍａｘ Ｉｔ，ｊ・ 为１／６４时，即Ｎ ＝Ｎ ＝Ｎ ＝６４，Ｌ ，Ｌ 误差分别为 ２．００（一４）和７．１０（一５）．另一方面，由表３可以看 Ｉ， 出，采用本文方法只需计算７．９３ ｓ，１８９次就能达到 该结果；而采用传统的ＣＤＳ则需４７８．５ ｓ和８ ４９０次 才能达到同样效果．因此使用本文方法比ＣＤＳ在时 问上节约了近６０倍，在计算次数上减少了近４５倍． 对于问题２，计算结果的对比分析也可以得到相关 类似的结论． 图１（ａ）和图１（ｂ）分别表示问题１和问题２取 不同网格步长对应的ｌｏｇ（１ＴＥＩ）和迭代次数ｒｔ的关 厂］ ■——一 Ｉｆ ｌｆ ＝√ （ｅ ， ），收敛阶Ｒａｔｅ＝ Ｉｎ（１ ｌＥ（２ｈ）ｌ ’ｌ／ｌｌ Ｅ（ｈ）ｌ ）／ｌｌｎ２．表３给出了问 题１和问题２分别对应的ＣＤＳ和本文方法在计算 时间和迭代次数上的比较．由计算结果可以看出，对 于这２个问题，本文方法都达到了４阶精度，明显高 于传统２阶精度的ＣＤＳ．对于问题１，当步长为１／１６ 时，即Ｎ ＝Ｎ ＝Ｎ：＝１６，本文方法的，Ｊ ，，Ｊ 误差分 别为１．３３（一４）和４．８１（～５），而当采用ＣＤＳ步长 系，可以看出随着计算次数的增加，估算出的ｔｒ ， 越 来越小，也就是说计算解越来越逼近精确解． （ａ） （ｂ） ” 图１ 问题１（ａ）和问题２（ｂ）对于不同ｈ对应的ｌｏｇ（１饱Ｉ）和迭代次数ｎ的关系 ４ 结论 本文基于３维泊松方程传统的２阶中心差分格 ５参考文献 ［１］杨志峰，许协庆．泊松方程的高精度优化差分方法 ［Ｊ］．水动力学研究与进展：Ａ辑，１９９２，７（３）：２６３—２６９． ［２］Ｓｐｏｔｚ Ｗ Ｆ，Ｃａｒｅｙ Ｇ Ｆ．Ａ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｍｐａｃｔ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ 式，通过采用插值算子和算子，估算出了细网格 上的 ，结合ＣＤＳ得到了具有４阶精度的修正格 式．利用本文方法，在不改变ＣＤＳ的７点计算板型 的基础上，把ＣＤＳ的计算精度由０（ｈ ）提高到了 ０（ｈ ）．通过数值算例验证了本文方法的精确性和 可行性．可以看到本文方法既有比４阶紧致格式计 算板型简单易于编程计算的优点，又有比传统ＣＤＳ ｆｏｒ ｔｈｅ ３Ｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９６，１２（２）：２３５—２４３． ［３］田振夫．泊松方程的高精度３次样条差分方法［Ｊ］．西 北师范大学学报：自然科学版，１９９６，３２（２）：１３—１７． ［４］田振夫．求解泊松方程的紧致高阶差分方法［Ｊ］．西北 大学学报：自然科学版，１９９６，２６（２）：１０９—１１４． 计算精度高、计算时间少和存储空间小的优越性，是 种行之有效的计算方法．此外，采用此方法也可将 ４阶精度格式的计算结果提高到６阶精度，但需要 一［５］刘明会．２维泊松方程的高精度紧致差分方法［Ｊ］．福 建工程学院学报，２００６，４（３）：３７３—３７６． ［６］葛永斌，田振夫，马红磊．３维泊松方程的高精度多重 网格解法［Ｊ］．应用数学，２００６，１９（２）：３１３—３１８． 构造更高精度的插值算子，此项工作将进一步地 研究． ［７］曹莹，孔令华，王兰，等．３维Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的４阶紧致 有限差分格式［Ｊ］．江西师范大学学报：自然科学版， ２０１０，３４（６）：５９７－５９９． 第４期 陈建华，等：求解３维？白松方程的一种新方法 学研究与进展：Ａ辑，２０１１，２６（４）：４２２４２９． ４１５ ［８］孙亮，马东军，秦丰华，等．２维泊松方程的２步预估校 正格式［Ｊ］．力学与实践，２０１０，３２（１）：３７４０． ［９］张昆，杨茉．求解泊松方程的紧致修正法［Ｊ］．水动力 学研究与进展：Ａ辑，２０１１，２６（４）：４２２４２９． ［１ｏ］郭锐，黄雪芳，葛永斌．２维泊松方程非均匀网格上的 高精度紧致差分格式［Ｊ］．甘肃联合大学学报：自然科 学版，２０１２，２６（２）：１０—１３． ［１５］张勇．薛定谔一泊松方程组的数值计算和分析及其应用 ［Ｄ］．北京：清华大学，２０１２． ［１６］李小纲，袁冬芳，葛永斌．三维泊松方程基于Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ 外推的高精度多重网格解法［Ｊ］．兰州理工大学学报， ２０１１，３７（６）：１３１—１３５． ［１７］刘建新．三维泊松方程的一种解析解法［Ｊ］．华北电力 学院学报，１９８７（２）：６４－６９． ［１１］鲁晶津，吴小平，Ｓｐｉｔｚｅｒ Ｋ．三维泊松方程数值模拟的多 重网格方法［Ｊ］．地球物理学进展，２００９，２４（１）：１５４． １５８． ［１８］余晓辉．一类薛定谔一泊松方程解的存在性［Ｊ］．应用 数学，２０１０，２３（３）：６４８－６５２． ［１２］豆桂芳，吴振远，杜艳林．三维泊松方程的七点差分格 式［Ｊ］．工程地球物理学报，２００９，６（６）：８０２—８０５． ［１３］马月珍，葛永斌，王燕．三维？白松方程基于Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ ［１９］马廷福，金涛，曹福军，等．三维双调和方程的高阶紧致 差分格式及其多重网格方法［Ｊ］．兰州理工大学学报， ２０１０，３６（３）：１４２—１４７． ＋ 外推法的高阶紧致差分方法［Ｊ］．数学实践与认识， ２０１１，４１（８）：１４６—１５２． ［２０］谭新艳．非线性薛定谔泊松方程解的存在性［Ｄ］．长 沙：湖南师范大学，２０１０． ［１４］张昆，杨茉．求解泊松方程的紧致修正法［Ｊ］．水动力 Ｔｈｅ Ｎｅｗ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ３ Ｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＣＨＥＮ Ｊｉａｎ—ｈｕａ，ＺＨＡＯ Ｆｅｉ，ＧＥ Ｙｏｎｇ—ｂｉｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｉｎｇｘｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ Ｎｉｎｇｘｉａ ７５００２１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｃｅｎｔｒａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ３ Ｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔｌｙ ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏａｒｓｅ ｄ ｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ叩一 ｅｒａｔｏｒ．Ｔｈｅｎ ｃｏｍｂｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｔｏ ｔｈｅ ｉｆｎｅ ｇｒｉｄ ｉｓ ｒｅｓｔｏｒｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ．Ａ ｎｅｗ ｆｏｕｒｔｈ ｏｒｄｅｒ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎｈｅｒｉｔｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ，ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｉｔｓ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｎｅｗ ｗａｙ ｔｏ ｔｕｒｎ ａ ｌｏｗ ｏｒｄｅｒ ｓｃｈｅｍｅ ｉｎｔｏ ａ ｈｉｇｈ ｏｒｄｅｒ ｓｃｈｅｍｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：３ Ｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｃｅｎｔｒａｌ ｄｊ ｒｅｎｅｅ ｓｃｈｅｍｅ （责任编辑：曾剑锋）
