河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷(文科) Word版含解析

河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．（5分）若集合A={0，4}，B={2，a}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

2．（5分）已知复数z1=1﹣2i，则 A． i

3．（5分）若 A．

4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的取值为（） A． ﹣

5．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（） A．

B．

C．

D．

3

2

的虚部是（） C． 1

D．﹣1

B． ﹣i

，且α是第二象限角，则tanα的值为（） B．

C．

D．

B． C． ﹣3 D．3

6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）

A． 8

B． 7 C． 2 D． 1

内，则输入的实数x的取

7．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间值范围是（）

A． （﹣∞，﹣2] B． C． D． A． （﹣∞，﹣2] B． （﹣∞，﹣1] C． 12．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（）

A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣1，1） C． （﹣3，﹣1）∪（0，1） D． （﹣1，0）∪（1，3）

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为．

14．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为S．若a1＞0，S20=0，则使an＞0成立的n的最大值是．

15．（5分）函数y=

sin2x+cosx的最小正周期为．

2

16．（5分）已知函数f（x）=（）﹣lnx，a＞b＞c＞0，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断： ①d＜a； ②d＞b； ③d＜c； ④d＞c； 其中有可能成立的判断的序号为．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分） 17．（10分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和． 18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0， （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若

，

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

x

19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且

，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD； （Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=

，三棱锥P﹣ABD的体积V=

，求A到平面PBC的距离．

21．（12分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|， （1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程

（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

22．（12分）设函数f（x）=x+ax﹣ax+5（a＞0） （1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值； （2）若a∈，当x∈时，求函数f（x）的最大值．

3

2

2

河北省邯郸市永年二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．（5分）若集合A={0，4}，B={2，a}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．

分析： 判断“a=2”成立时是否有A∩B={4}成立；判断A∩B={4}成立时是否有“a=2”成立；利用充分、必要条件的定义判断出答案．

解答： 解：当“a=2”成立时，B={2，4}，∴A∩B={4}成立

反之，当A∩B={4}”成立时，∴4∈B∴a=4∴a=±2即“a=2“不一定成立 ∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件 故选A

点评： 本题考查如何判断一个命题是另一个命题的什么条件、考查利用交集的定义解决集合的交集运算．

2

2．（5分）已知复数z1=1﹣2i，则

的虚部是（）

D．﹣1

A． i B． ﹣i C． 1

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题： 计算题．

分析： 利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简 据复数的虚部的定义求出其虚部． 解答： 解：∵复数z1=1﹣2i，则

=

=

=

=1+i，

，依

虚部等于1， 故选C．

点评： 本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 复数的徐不得定义．

3．（5分）若 A．

，且α是第二象限角，则tanα的值为（） B．

C．

D．

考点： 同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．

分析： 由α是第二象限角，得到sinα的值大于0，可由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，再由sinα及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，即可求出tanα的值．

解答： 解：∵∴sinα=则tanα=

=，

=﹣．

，且α是第二象限角，

故选C

点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．

4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的取值为（）

A． ﹣ B． C． ﹣3 D．3

考点： 平行向量与共线向量；平面向量坐标表示的应用． 专题： 平面向量及应用．

分析： 根据题目给出的两个向量的坐标，运用向量的数乘和加法运算求然后运用向量共线的坐标表示列式求k的值． 解答： 解：由=（1，2），=（﹣3，2），得2k+2），

=（10，﹣4），

则由

和，

=（k﹣3，

，得（k﹣3）×（﹣4）﹣10×（2k+2）=0，所以k=﹣．

故选A．

点评： 本题考查了平行向量及平面向量坐标表示的应用，解答的关键是掌握向量共线的坐标表示，即

5．（5分）已知函数f（x）=x﹣2x+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（） A．

B．

C．

D．

3

2

，，则

⇔x1y2﹣x2y1=0．

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题．

32

分析： 根据函数的解析式f（x）=x﹣2x+2，结合零点存在定理，我们可以分别判断四个答案中的四区间，如果区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点．

32

解答： 解：∵f（x）=x﹣2x+2

32

∴f（﹣1）=（﹣1）﹣2（﹣1）+2=﹣1﹣2+2=﹣1＜0

f（﹣）=（﹣）﹣2（﹣）+2=﹣﹣+2=∴f（﹣1）•f（﹣）＜0 故函数f（x）=x﹣2x+2在区间

3

2

32

＞0

必有零点

故选：C

点评： 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．

6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）

A． 8

考点： 专题： 分析： 解答：

B． 7 C． 2 D．1

简单线性规划．

不等式的解法及应用．

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解：作出不等式对应的平面区域，

由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣

，

，由图象可知当直线y=﹣

经过点A时，直线y=﹣

的截距

最大，此时z最大． 由

，得

，

即A（3，2），

此时z的最大值为z=3+2×2=7， 故选：B．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

7．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间值范围是（）

内，则输入的实数x的取

A． （﹣∞，﹣2] B．

C． D．

故选B

点评： 本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键． 8．（5分）下列命题正确的是（） A． 函数y=sin（2x+

4

4

）在区间内单调递增

B． 函数y=cosx﹣sinx的最小正周期为2π C． 函数y=cos（x+ D． 函数y=tan（x+

）的图象是关于点（）的图象是关于直线x=

，0）成中心对称的图形 成轴对称的图形

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性；正切函数的奇偶性与对称性． 专题： 分析法．

分析： 先根据x的范围求出2x+的范围，再由正弦函数的单调性可判断A；根据同角

4

4

三角函数的基本关系和二倍角公式将y=cosx﹣sinx为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可判断B；根据对称中心的函数值等于0可判断C，从而确定答案． 解答： 解：∵x∈

∴2x+

∈（﹣

，

），∴y=sin（2x+

）在区间

内是先增后减，排除A；

∵y=cosx﹣sinx=cosx﹣sinx=cos2x，T=令x=

代入得到cos（

+

）=cos

4

4

2

2

，排除B；

，0）是函数y=cos（x+

）的图象

=0，∴点（

的对称中心，满足条件． 故选C．

点评： 本题主要考查正弦函数的单调性、二倍角公式和单调性的应用．三角函数部分公式比较多，要强化记忆．

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=8，a3a4a5=，则a2a3a4=（） A． 512

B． 64

C． 1

D．

考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题．

分析： 利用等比数列的性质可得a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5成等比数列，利用等比数列的性质可求

解答： 解：∵数列{an}中等比数列，a1a2a3=8，a3a4a5=，且an＞0 由等比数列的性质可得，a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5成等比数列 ∴a2a3a4=

=1

故选C

点评： 本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 10．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣2] B． （﹣∞，﹣1] C． 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．

分析： f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． 解出即可．

解答： 解：f′（x）=k﹣，

∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． ∴

，

而y=在区间（1，+∞）上单调递减，

∴k≥1．

∴k的取值范围是时不等式的解．

解答： 解：f（﹣x）•x＞0即﹣f（x）•x＞0，所以f（x）•x＜0， 由图象知，当x∈（0，3）时，可得0＜x＜1，

由奇函数性质得，当x∈（﹣3，0]时，可得﹣1＜x＜0，

综上，不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（﹣1，0）∪（0，1）， 故选A．

点评： 本题考查函数奇偶性的应用，考查数形结合思想，属基础题．

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱长是1，根据四棱锥的体积公式，写出四棱锥的体积． 解答： 解：由三视图知，几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱长是1，

∴四棱锥的体积是故答案为：

，

点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，本题是一个基础题，题目所给的图形和数字都比较简单，没有易错点．

14．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为S．若a1＞0，S20=0，则使an＞0成立的n的最大值是10．

考点： 等差数列的性质．

分析： 先由等差数列前n项和将列的性质求解． 解答： 解∵

∴a1+a20=0

由等差数列的性质得：

∴a1+a20=a2+a19=…=a11+a10=0 又∵a1＞0

∴a10＞0，a11＜0

∴使an＞0成立的n的最大值是10 故答案是10

点评： 本题主要考查等差数列的性质．

转化为∴a1+a20=0，再由等差数

15．（5分）函数y=

sin2x+cosx的最小正周期为π．

2

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为（fx）=sin（2x+从而求得函数的最小正周期 解答： 解：∵函数y=

sin2x+cosx=

2

），

sin2x+=π，

=sin（2x+）+，

故函数的最小正周期的最小正周期为

故答案为：π．

点评： 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．

16．（5分）已知函数f（x）=（）﹣lnx，a＞b＞c＞0，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断： ①d＜a； ②d＞b； ③d＜c； ④d＞c； 其中有可能成立的判断的序号为①②③④．

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；压轴题．

x

分析： 利用函数f（x）=（）﹣lnx 在（0，+∞）上是减函数及已知条件，分 f（a）＜0，f（c）＞f（b）＞0； 或 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0 二种情况，分别求得可能成立选项，从而得到答案．

解答： 解：∵已知函数f（x）=（）﹣lnx 在（0，+∞）上是减函数，a＞b＞c＞0，且 f（a）f（b）f（c）＜0， 故f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的两项为正的；或者三项都是负的． 即 f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）； 或 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0． 由于实数d是函数y=f（x）的一个零点，

当 f（a）＜0，f（c）＞f（b）＞0 时，b＜d＜a，此时 ①②④成立． 当 f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，d＜c，此时①③成立． 综上可得，有可能成立的判断的序号为①②③④， 故答案为 ①②③④．

点评： 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

x

x

17．（10分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和． 解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d===3．

∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）， 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q=

3

==8，∴q=2，

n﹣1

n﹣1

∴bn﹣an=（b1﹣a1）q=2，

n﹣1

∴bn=3n+2（n=1，2，…）．

n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2（n=1，2，…）． ∵数列{an}的前n项和为n（n+1），数列{2

n

n﹣1

}的前n项和为1×=2﹣1，

n

∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2﹣1．

点评： 本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题． 18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0， （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若

，

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 计算题．

分析： （1）先利用正弦定理把（2b﹣c）cosA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求得cosA，进而求得A．

22

（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b+c进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形． 解答： 解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，

∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，

∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴∵0＜A＜π， ∴

．

，

（Ⅱ）∵即∴bc=3①

由余弦定理可知cosA=

2

2

，

=

∴b+c=6，② 由①②得， ∴△ABC为等边三角形．

点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力． 19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且

，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD； （Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积． 解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD， ∴PH⊥AB，

∵PH为△PAD中AD边上的高， ∴PH⊥AD，

又∵AB∩AD=A，

∴PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG， ∵E是PB的中点， ∴EG∥PH，

∵PH⊥平面ABCD， ∴EG⊥平面ABCD， 则EG=PH=，

∴VE﹣BCF=S△BCF•EG=••FC•AD•EG=

．

点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题． 20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=

，三棱锥P﹣ABD的体积V=

，求A到平面PBC的距离．

考点： 点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；

（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB

于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ∵ABCD是矩形， ∴O为BD的中点 ∵E为PD的中点， ∴EO∥PB．

EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ∴PB∥平面AEC； （Ⅱ）∵AP=1，AD=∴V=∴AB=，

作AH⊥PB交PB于H， 由题意可知BC⊥平面PAB ∴BC⊥AH，

故AH⊥平面PBC． 又

．

，三棱锥P﹣ABD的体积V==

，

，

A到平面PBC的距离

点评： 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 21．（12分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|， （1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程

（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

考点： 直线和圆的方程的应用；轨迹方程． 专题： 计算题；综合题．

分析： （1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；

（2）求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|QM|满足勾股定理，求出|QM|就是最小值．

解答： 解：（1）设P点的坐标为（x，y）， ∵两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，

22

∴（x+3）+y=4，

22

即（x﹣5）+y=16．

22

所以此曲线的方程为（x﹣5）+y=16．

22

（2）∵（x﹣5）+y=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l1的距离为：

=4

，

2

2

∵点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C（x﹣5）+y=16只有一个公共点M，

∴|QM|的最小值为：

=4．

点评： 考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于难题．

22．（12分）设函数f（x）=x+ax﹣ax+5（a＞0） （1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值； （2）若a∈，当x∈时，求函数f（x）的最大值．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；分类讨论．

322

分析： （1）由题意得f′（x）=3（x﹣）（x+a）（a＞0），所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣a），（，+∞），减区间为（﹣a，），所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（﹣a）=0或f（）=0，因为a＞0所以a=3．

（2）由题知﹣a∈，∈，当4≤a≤6时，因为函数f（x）在上单调递增，所以f（﹣4）﹣f（4）=8（a﹣16）≥0，所以f（x）max=f（﹣4）=4a2+16a﹣59，同理得当3≤a＜4时，f（x）max=f

2

（4）=﹣4a+16a+69；

解答： 解：（1）由题意得f′（x）=3x+2ax﹣a=3（x﹣）（x+a）（a＞0）， 由f′（x）＞0得x＜﹣a，或x＞，由f′（x）＜0得﹣a＜x＜，

所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣a），（，+∞），减区间为（﹣a，）， 即当x=﹣a时，函数取极大值f（﹣a）=a+5， 当x=时，函数取极小值f（）=﹣

3

32

2

2

+5，

3

又f（﹣2a）=﹣2a+5＜f（），f（2a）=10a+5＞f（﹣a）， 所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（﹣a）=0或f（）=0，

注意到a＞0，所以f（）=﹣故a的值是3．

（2）由题知﹣a∈，∈， 当﹣a≤﹣4即4≤a≤6时， 函数f（x）在上单调递增，

=0，即a=3．

注意到f（﹣4）﹣f（4）=8（a﹣16）≥0， 所以f（x）max=f（﹣4）=4a2+16a﹣59； 当﹣a＞﹣4即3≤a＜4时， 函数f（x）在上单调增，

注意到f（﹣a）﹣f（4）=a+4a﹣16a﹣64=（a+4）（a﹣4），

2

所以f（x）max=f（4）=﹣4a+16a+69； 综上，f（x）max=

．

3

2

2

2

点评： 本题考查利用导数解决极值问题通过极值求出参数，利用参数的范围与定义域的关系讨论函数的单调性，进而得到函数的最大值．本题利用了分类讨论的思想这是数学上的一个很主要的数学思想．