江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试数学试题(精品解析)

江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情检测

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1.已知集合【答案】【解析】 试题分析：【考点】集合运算

【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2.“

”是“

”的________条件.

．故答案应填：

则

.

【答案】充分不必要 【解析】 【分析】

x>2,或x<0.得“x＞2”是“

x>2,或x<0.

” 充分不必要.

” 充分不必要.

【详解】

根据充分不必要的定义，判断出“x＞2”是“故答案为：充分不必要

【点睛】本题考查的是不等式的解法和充分不必要的判断，属于基础题. 3.命题“若【答案】若【解析】

试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若考点：四种命题及其相互关系．

，则

．

，则，则

”的否命题为____________．

4.函数【答案】【解析】 【分析】

的定义域为_______．

根据根式的被开方式非负和对数的真数大于0，列出不等式求出即可； 【详解】

,

故答案为：

【点睛】本题考查了求函数的定义域，就是使各个式子有意义即可，属于基础题. 5.函数【答案】【解析】 试题分析：∵

为奇函数，

时，，即

考点：函数解析式的求解及常用方法. 6.曲线【答案】 【解析】

分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。 详解：则所以

在点

处的切线的斜率为，则

________．

时，

，∴当

时，，故答案为：

，

.

在上为奇函数，且

时，

，则当

时，

________.

故答案为-3.

点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。 7.已知倾斜角为的直线l的斜率等于双曲线【答案】 【解析】

的离心率，则

＝_______．

【分析】 由题意知;tan=【详解】

双曲线

,

＝sin,利用三角函数关系得出结果即可. 的离心率

，

，因为为直线的倾斜角，所以

∴

=

＝sin=2sin

故答案为： .

【点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan，再利用三角函数的倍角公式得出结果即可，属于基础题. 8.在正四棱锥【答案】 【解析】 【分析】

根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO=

=2

中，点是底面中心，

，侧棱

，则该棱锥的体积为________.

2

因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB=16

16×2=． 该棱锥的体积为V=SABCD•SO=×故答案为：．

【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9.对于任意实数

，定义

的最大值是________.

【答案】1 【解析】 【分析】

设函数

，

，则函数

分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．

【详解】∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x

的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知， h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，

在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值． 解方程组

得

，

∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了函数的最值及其数形结合的方法，利用对数函数的单调性与特殊点求出结果，属于基础题．

10.如图，已知点O（0,0）,A（1,0）,B（0,−1）,P是曲线围是 .

上一个动点，则

的取值范

【答案】【解析】

试题分析：由题意，设,.

，则，又, 所以

【考点】数量积的运算、数形结合思想

【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到

的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、

基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. 11.

【答案】 【解析】 因

，故

，应填答案

。

_________________.

点睛：解答本题的关键是观察出欲求表达式中的角与已知条件中的角之间的关系，巧妙、灵活地运用诱导公式、余弦二倍角公式等工具，使得问题的求解简捷、巧妙。 12.椭圆

上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝，

，，则椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】【解析】 【分析】

设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围． 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′ 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴=

即e==

∵a∈[，]，∴≤α+≤

∴≤sin（α+）≤1 ∴≤e≤ 故答案为：[，]

【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，要特别利用好椭圆的定义，是中档题． 13.在平面直角坐标系直线

上存在一点，使

中，圆

与圆

成立，则的取值范围为________.

相交于

两点，若在

【答案】【解析】 【分析】

根据题意可知O，M在直线AB两侧，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围． 【详解】圆O的圆心为O（0，0），半径为r，圆M的圆心为M（2，2），半径为2． ∴|OM|=

=4，

∵圆O与圆M相交， ∴2＜r＜6．

∵对于直线AB上任意一点P，均有∴O，M在直线AB两侧．

又OM⊥AB，∴当直线AB过点M时，OA=∴2 ＜r＜6． 故答案为:

．

=2 ．

成立，

【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，圆与圆的位置关系，属于中档题． 14.已知函数到大分别为

的图象与直线，则

________.

恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小

【答案】 【解析】 【分析】 求解直线

恒过定点（，0），k＞0恰有三个公共点，其直线必过f（x）的对称

由导函数几何意义：f′（2x）

点（，0），其它两点是直线与f（x）的切点，那么x1+x3=，

=-sin2=k，再由切线方程即可求出. 【详解】由题意，直线∵k＞0恰有三个公共点，

其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（，0）对称，所以x1+x3=． ∴

，导函数几何意义：f′（2x）=-sin2=k

过（，0）

可得y=k(x-)恒过定点（，0），即x2=

所以切线方程：y-

所以 ，= =

故答案为：

【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.如图，在四棱锥点.

中，

平面

，底面

是平行四边形，

为

的两个三等分

（1）求证（2）若平面

平面； 平面

，求证：

.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）连结BD，AC相交于O，证明BE∥OF，即可证明BE∥平面ACF；（2）过A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性质证明AH⊥平面PCD，从而证明AH⊥CD，然后利用线面垂直的性质证明

PC⊥CD．

【详解】（Ⅰ）连接BD、AC，两线交于O，

∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分）， ∵F是DE的中点（由三等分点得到）， ∴OF是△DEB的中位线，∴BE∥OF， ∵OF⊂面ACF，BE⊄面ACF， ∴BE平行平面ACF．

（Ⅱ）过A作AH⊥PC于H，∵平面PAC⊥平面PCD， ∴AH⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AH⊥CD， ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD．又∵PA∩AH=A，∴CD⊥平面PAC， ∵PC⊂平面PAC， ∴PC⊥CD．

【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂

直的性质应用，注意把判定定理和性质定理条件写全，综合性较强． 16.已知向量（1）求向量； （2）设向量【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且

=﹣1．根据向

，向量或

（2）

，其中

，若

，试求

的取值范围.

，向量与向量的夹角为，且

.

量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；（2）由向量=（1，0）向量，其中

(

，

)，其中

，，若

＝0，我们可以求出

2

的表达式，利用

三角函数的性质可得的取值范围．

【详解】（1）设向量=（x，y），∵向量=（1，1）， 则

=x+y=﹣1…①

=||•||•cos

=﹣1，

22

即x+y=1

解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0 故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），

（2）∵向量=（1，0），⊥，则=（0，﹣1），

2

又∵向量=（cosx，cos（﹣）），

∴+=（cosx，cos2（﹣）﹣1）=（cosx，

22则|+|=cosx+

），

，

=cos2x-sinx+=-，

|+|2

∵故

，，|+|≤

【点睛】本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，最后转化成二次函数在

上求最值是解答本题的关键，属于中档题.

17.梯形ABCD顶点B、C在以AD为直径的圆上，AD=2米，

(1)如图1，若电热丝由AB，BC，CD这三部分组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值； (2)如图2，若电热丝由弧

和弦BC这三部分组成，在弧

上每米可辐射1单位热量，在

弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．

（1）应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位．（2）应设计BC长为【答案】

米，电热丝辐射的总热量最大． 【解析】

试题分析：（1）取角为自变量: 设∠AOB＝θ，分别表示AB，sin,BC，CD,根据题意得函数4cosθ+4

利用二倍角余弦公式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB＝θ，利用弧长公式表示调性,并确定最值

试题解析：解：(1)设∠AOB＝θ，θ∈(0，)则AB＝2sin，BC＝2cosθ，

总热量单位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)＋4 sin＋4，当sin＝， 此时BC＝2cosθ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．

2

,得函数2θ＋4cosθ,利用导数求函数单

答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位．

(2)总热量单位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)

令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，） 当θ＝，g(θ)最大，此时BC＝2cosθ＝

答：应设计BC长为

米，电热丝辐射的总热量最大．

R.

(米)

18.设f(x)=\"xln\" x–ax2+(2a–1)x，a

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当单调递减区间为【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出

，然后讨论当

时，②当 ，

，

时，

时，

当

时， 时，

，函数

单调递增，

，函数

单调递增；

时，当

时的两种情况即得.

时，④当

时，综合即得.

时，函数

单调递增区间为

，当

时，函数

单调递增区间为

，

； （Ⅱ）

（Ⅱ）分以下情况讨论：①当试题解析：（Ⅰ）由可得则当

时，③当

时，

所以当当

时，

，函数单调递减.

；

，单调递减区间为

.

单调递增区间为单调递增区间为

. 单调递减. ，，

单调递减. 单调递增.

时，函数

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①当所以当当所以②当可得当当所以所以③当所以当④当当

时，即

时，时，

时，时，

，

在x=1处取得极小值，不合题意.

时，

时，

，由(Ⅰ)知

，

在

时，内单调递增，

内单调递增，

，

在(0,1)内单调递减，在

在x=1处取得极小值，不合题意. 时，即

时，时，

在(0,1)内单调递增，在，，当，

单调递减，不合题意.

时，

单调递减，

，

单调递增, 内单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为

.

【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.

19.已知椭圆

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，

的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2．

D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值． 【答案】（1）【解析】 【分析】

（Ⅰ）由离心率e=，短轴长为2．可得a，b，即可写出方程；（2）设出直线 ：圆联立,求出

，同理

，

与椭

（2）①

②

求出中点坐标M,N，再利用MN两点确定的直

线恒过定点和面积公式即可求出. 【详解】（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1， ∵

222

，a=b+c，∴a=

，c=1， ．

设 ： 设A（

）B(

)

∴椭圆的方程为

（2）由题意知k0，右焦点

因为l1，l2的斜率乘积为﹣1,所以

所以= +=3

过定点 可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．

在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1， 直线l的方程为：由（2）得，y= 故

，

，

），

，

，即M（

则N(， )…．（12分）

可得直线MN的方程：，

即，则

，即

y=

故直线MN过定点

（或令y=0，即得x=）

1时，结论仍成立． 易验证当k=0，k=±综上，直线MN过定点

所以S= =

所以面积最大

【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了两点确定的直线过定点问题，再转化为面积计算，运算能力，属于中档题． 20.已知函数（1）当

，

，时，求函数

，

. 的最小值；

（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；

（3）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）构造新函数y=，求导判断单调性，得出最小值e.（2）变量分离a=- =h（x），根据函数

（3）的单调性求出函数h（x）的最小值，利用a的范围证明在区间(0，2)上有唯一实数根；求出

，问题转化为证

，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根据函数

的单调性证明即可． 【详解】(1)当＝0，所以y在（-所以y(2)

=e

+

=0,所以a=- =h（x）

时，

= ，求导y’=

=0的根x=1

），（0,1）递减，在（1，+ ）递增，

H’(x)=- =0的根x=2

则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 所以h（2）是y=h（x）的极大值即最大值，即所以函数f（x）在区间（0，2）上有唯一实数根；

(3)F’(x)

= --2ax-a=0的两根是，

∵x1，x2是函数F（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

∴a＞0（若a≤0时，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函数，与已知矛盾）， 且F'（x1）=0，F'（x2）=0．∴

，

…

两式相减得：，…

于是要证明，即证明，两边同除以，

即证，即证，即证

，

令x1﹣x2=t，t＜0．即证不等式设

，

，当t＜0时恒成立．

∴=

设，∴，

当t＜0，h'（t）＜0，h（t）单调递减， 所以h（t）＞h（0）=0，即

，

∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数． ∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0． ∴φ（t）＞0，得证． ∴

．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查换元思想，是一道综合题．