陕西省西安中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷(解析版)

安中学2018-2019学年度第一学期期末考试

高一数学试题

一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.） ．．

1.过两点A.

B.

的直线的倾斜角为 C.

D. 1

，则

（ ）

【答案】C 【解析】

由题意知直线AB的斜率为所以解得

，

．选C．

，

2.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）

A. 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新 【答案】A 【解析】 【分析】

根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论． 【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，

故选：A．

【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题. 3.已知A. C.

，点在轴上， B. 或

D.

，则点的坐标是（ ）

【答案】C 【解析】 依题意设4.已知直线

，根据

与直线

，解得

，所以选.

，则

的值为（ ）

互相垂直，垂足为

A. 20 B. －4 C. 0 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】

结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可。 【详解】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知将垂足坐标代入直线方程，得到

，故选B。

【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等。 5.设①若③若

是两条不同的直线，，，

，则，则

是三个不同的平面，给出下列四个命题：

，，

，，则

，则.

；

，代入直线方程，得到

，

，所以

；②若；④若

其中正确命题的序号是（ ） A. ① B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】 【分析】

结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可。

【详解】1选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；2选项，m可能属于，故错误；3选项，m,n可能异面，故错误；4选项，该两平面可能相交，故错误，故选A。

【点睛】考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等。 6.平行于直线A. C. 【答案】A 【解析】 设所求直线为由直线与圆相切得，

，

解得

。所以直线方程为

或

。选A.

，

或或

且与圆

B. D.

或

相切的直线的方程是（ ）

或

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. B. 3π C. 【答案】B 【解析】

D. 6π

本试题主要是考查了运用三视图还原几何体，并求解几何体的体积的运用。 由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1，高为6的圆柱，被截的一部分，如图

2

所求几何体的体积为：×π×1×6=3π．故选B。

解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．

8.已知点A(1,3)、B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 ( ) A. C.

B. 或

D.

【答案】D 【解析】

由已知直线恒过定点

，如图．

若与线段相交，则，∵

的底面为正方形，

，底面

，∴，故选D.

9.如图，四棱锥，则下列结论中不正确的是（ ）

A. B.

平面

平面

与

所成的角

C. 平面D.

与

所成的角等于

【答案】D 【解析】 【分析】

结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可。 【详解】A选项，可知

B选项，AB平行CD，故正确； C选项，

，故平面

平面

，正确；

，故错误，故选D。

可知

，故

，正确；

D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为

【点睛】考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等。

10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线

，

的取值范围为（ ） A. C.

B. D.

与圆

的位置关系是“平行相交”，则实数

【答案】D 【解析】

圆C的标准方程为(x＋1)＋y＝b.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得由l2与圆C相切，得

.当l1、l2与圆C都外离时，

，

222

.所以，当l1、l2与圆C“平行相交”

时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)．故选D.

二、填空题（本大题包括5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.）

11.已知圆________. 【答案】【解析】 【分析】

结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算a，即可。 【详解】结合题意可知圆心到直线的距离可得

，结合

，所以

。

，所以结合点到直线距离公式

及直线

，当直线被圆截得的弦长为

时，的值等于

【点睛】考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等。

12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ． 【答案】【解析】

试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为所以正四棱柱体对角线的长度为所以球的表面积为

考点：正四棱柱外接球表面积． 13.方程【答案】【解析】 【分析】

结合题意，构造函数，转化为函数交点问题。

或

有惟一解，则实数的范围是________.

．

，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为

，，

【详解】构造函数，绘制图形，可知

直线位于1号位置和2,3号位置之间， 当直线位于1号位置时，当直线位于2号位置时，k的范围为

，当直线位于3号位置时，

，故

【点睛】考查了数形结合思想，关键抓住唯一解时直线的位置，即可，难度中等。 14.正方体【答案】 【解析】 【分析】

结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可。

中，

分别是

，

的中点，则直线

与

所成角的余弦值是_______.

【详解】

连接，而，所以直线与所成角即为，设正方体边长为1，则，

所以余弦值为。

与，

所成角即为的中点，四边形

，难度中等。

的面积为，则

【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线15.正三棱锥

的底面边长为1，

分别是

，

，

的取值范围是________．

【答案】【解析】 【分析】

结合题意,设出PC的长度,用其长度表示面积,计算PC长度的范围,即可. 【详解】取FG的中点M,连接PM，PF,PG，因为该三棱锥为正三棱锥，可知

PF=PG，故设PC=x，故

，故

，接下来计算a的范围，绘制图形，

，而AB平行FG，EF平行PC，可知，

当点P在平面ABC内，可知，故故的范围为

【点睛】考查了正三棱锥的面积的范围,关键得出PC的长度,计算结果,即可,难度偏难.

三、解答题（本大题包括5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.求满足下列条件的直线方程.

(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 【解析】

试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程. 试题解析：

(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ， 所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－， (－)＝－ 则所求直线的斜率k＝2×又直线经过点(－1，－3)，

因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0.

(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，

因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋3， 解得a＝±

所以所求直线的方程为

或

，

＋|a|＝12，

即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.

【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案. 17.有一圆与直线【答案】【解析】 【分析】

法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可。法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可。法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可。 【详解】法一：由题意可设所求的方程为

又因为此圆过点

，将坐标

代入圆的方程求得

.

，

，

,

，

，

相切于点

，且经过点

，求此圆的方程．

所以所求圆的方程为法二：设圆的方程为则圆心为

，由

，解得，

所以所求圆的方程为法三：设圆的方程为

. ，由

，

，

在圆上，

得，解得，

所以所求圆的方程为法四：设圆心为，则则即又因为所以解方程组所以圆心为

的中点

的方程为

.

，

，所以直线

的方程为，得，半径为

，所以

，又设，

.

与圆的另一交点为，

. ．

. .

所以所求圆的方程为

【点睛】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等。 18.正方形求证：(1) (2)

平面

和四边形平面.

；

所在的平面互相垂直，

，

，

.

【答案】详见解析 【解析】 【分析】

(1)由题意利用线面平行的判定定理证明题中的结论即可； (2)由题意结合线面垂直的判定定理证明题中的结论即可. 【详解】(1)如图设AC与BD交于点G．

因为EF∥AG，且EF＝1， AG＝AC＝1，

所以四边形AGEF为平行四边形． 所以AF∥EG．

因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE． (2)连接FG，

∵EF∥CG，EF＝CG＝1， ∴四边形CEFG为平行四边形， 又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形， ∴EG⊥CF．

在正方形ABCD中，AC⊥BD．

∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， ∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF． 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 19.已知点

及圆

.

(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； (2)设过点的直线与圆交于(3)设直线

与圆交于

两点，当

时，求以线段

为直径的圆的方程；

的直线垂直平分弦

？若存在，

两点，是否存在实数，使得过点

求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）【解析】 【分析】

或；（2）；（3）不存在.

（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可。（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可。

【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为

，半径

，由

，解得

.

，即

.又圆的圆心为

所以直线方程为，即

，经验证.

.

也满足条件．

当的斜率不存在时，的方程为即直线的方程为(2)由于所以所以恰为故以

，而弦心距. 的中点．

或

，

为直径的圆的方程为.

.

(3)把直线由于直线故即

，解得

代入圆的方程，消去，整理得交圆于

，

.

．

两点，

则实数的取值范围是设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦而所以

.由于

，

，故圆心 必在上．所以的斜率，

，

的直线垂直平分弦

.

故不存在实数，使得过点

【点睛】考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难。 20.如图1所示，在

中，

分别为

的中点，点为线段

上的一点，将

沿

折

起到的位置，使如图2所示.

（1）求证：（2）求证：（3）线段

//平面

；

上是否存在点，使

平面

；

？请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】

（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出 （2）可以先证∴(3)Q为

的中点，由上问∴

∴

，易知,又∵

∴

,取

中点P，连接DP和QP，不难证出

，

，得出

，∵

∴

【此处有视频，请去附件查看】