上海市浦东新区川沙中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

卷

一、填空题（共12小题）.

1．设全集U={x|﹣2＜x＜4}，集合A={x|﹣1＜x＜4}，则∁UA= ． 2．命题“如果x∈A或x∈B，那么x∈（A∪B）”的逆否命题是 ． 3．不等式

的解集为 ．

4．满足{0，1}⊆P⊆{0，1，2，3，4，5}的集合P的个数是 ．

5．若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是 ．

6．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．

7．若关于x的不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a的值等于 ． 8．若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是 ． 9．已知集合A={x|围是 ．

10．已知函数f（x）=

是R上的减函数，则a的取值范围是 ．

＜1}，集合B={x|mx﹣1＞0}，若A∪B=A，则实数m的取值范

11．已知a，b均为正数，且a2+b2=1，则a

的最大值为 ．

2ax212． 若关于x的不等式（2x﹣1）＜的解集中整数解恰有3个，则实数a的取值范围是 ．

二、选择题（3×4=12） 13．“x+1＞0”是“x＞0”成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．下面四组函数中f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ） A．f（x）=1，g（x）=x0 B．f（x）=x，g（x）=

2

C．f（x）=x，g（x）=（）

D．f（x）=|x|，g（t）=

15．已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（ ）

A．a+b≥2 B． +≥2 C．|+|≥2

D．a2+b2＞2ab

16．在整数集Z中，被5所除得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4；给出四个结论：

（1）2015∈[0]；（2）﹣3∈[3]；（3）Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；（4）“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”． 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题（8+8+10+12+14=52）

17．设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，若A∩B={9}，求实数a的值． 18．设函数y=

的定义域为集合A，集合B={x||x﹣3|＜a，x∈R}，其中a∈R．

（1）若a=4，求B∩∁UA；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

19．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22

，

证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2=2x2﹣2x+a12+a22

因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

20．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x

，

（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若

多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用． （1）当一次投放a=4个单位的洗衣液时，求在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度． （2）在（1）的情况下，即一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）与时间x（分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污． 21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；

（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x2＜x2），则

①试判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上是否具有单调性，并说明理由；

②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4）求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．

，

2015-2016学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中

数学试卷

参与试题解析

一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．设全集U={x|﹣2＜x＜4}，集合A={x|﹣1＜x＜4}，则∁UA= {x|﹣2＜x≤﹣1} ． 【考点】补集及其运算．

【分析】由全集U，以及A，求出A的补集即可．

解：全集U={x|﹣2＜x＜4}，集合A={x|﹣1＜x＜4}，则∁UA={x|﹣2＜x≤﹣1}， 故答案为：{x|﹣2＜x≤﹣1}．

2．命题“如果x∈A或x∈B，那么x∈（A∪B）”的逆否命题是 “如果x∉（A∪B），那么x∉A且x∉B” ． 【考点】四种命题．

【分析】由原命题和逆否命题的关系可得．

解：∵原命题为“如果x∈A或x∈B，那么x∈（A∪B）”， ∴其逆否命题为“如果x∉（A∪B），那么x∉A且x∉B”． 故答案为：“如果x∉（A∪B），那么x∉A且x∉B” 3．不等式

的解集为 （﹣∞，0）∪[1，+∞） ．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可． 解：不等式

，可化为

，即：x（1﹣x）≤0且x≠0

解得x＜0或x≥1

故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）

4．满足{0，1}⊆P⊆{0，1，2，3，4，5}的集合P的个数是 16 ．

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】易知0，1∈P，2，3，4，5可在或不在集合P中，从而求P的个数． 解：∵{0，1}⊆P⊆{0，1，2，3，4，5}， ∴0，1∈P，2，3，4，5可在或不在集合P中， ∴集合P的个数是24=16， 故答案为：16．

5．若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是 ﹣1或﹣ ． 【考点】子集与真子集．

【分析】只要集合A只含有一个元素，即（k+1）x2+x﹣k=0只有一个根或两个重根即可． 需要分类讨论：①当k+1=0时，原方程化为一次方程．②当k+1≠0时，原方 程是一元二次方程．

解：∵A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，∴集合A中只有一个元素 ①当k+1=0时，k=﹣1，∴方程（k+1）x2+x﹣k=0化为x+1=0， ∴x=﹣1，∴A={﹣1} 满足题意

②当k+1≠0时，对于方程（k+1）x2+x﹣k=0有两个相同的根， ∴△=1﹣4（k+1）（﹣k）=0 ∴k=﹣， 故k=﹣1或﹣

6．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 （﹣1，3） ．

【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．

解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2）， 即f（|x﹣1|）＞f（2），

∴|x﹣1|＜2， 解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3）

7．若关于x的不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a的值等于 ﹣4 ． 【考点】绝对值不等式．

【分析】关于x的不等式|ax+2|＜6的解集根据公式应该是﹣6＜ax+2＜6；再对a进行讨论，a=0时，显然不合题意；a＞0时，即满足=2且

＜x＜

，从而易得a=﹣4．

=﹣1，显然矛盾；当a＜0时，解为

解：关于x的不等式|ax+2|＜6的解集根据公式应该是﹣6＜ax+2＜6； 这时，当a=0时，显然不合题意； 当a＞0时，即满足=2且当a＜0时，解为即满足=﹣1且

＜x＜，根据不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2）， =﹣1，显然矛盾；

，根据不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），

=2，解得a=﹣4

综上所述，答案为：a=﹣4．

8．1） 若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是 [0， ．【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】mx2+6mx+m+8≤≤0的解集为空集⇔mx2+6mx+m+8＞0恒成立，对m分类讨论即可．

解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集， ∴mx2+6mx+m+8＞0恒成立， 当m=0时，有8＞0，恒成立； 当m≠0时，有

，解得0＜m＜1，

综上所述，实数k的取值范围是0≤m＜1． 故答案为：[0，1）．

9．已知集合A={x|围是 m≤ ．

【考点】集合的包含关系判断及应用． 【分析】由

＜1，化为：

＞0，即（x﹣1）（x﹣3）＞0，可得：集合A={x|x＜1

＜1}，集合B={x|mx﹣1＞0}，若A∪B=A，则实数m的取值范

或x＞3}，对于集合B={x|mx﹣1＞0}，对m分类讨论，利用A∪B=A即可得出． 解：由

＜1，化为：

＞0，即（x﹣1）（x﹣3）＞0，解得x＞3，或x＜1．∴集

合A={x|x＜1或x＞3}，

对于集合B={x|mx﹣1＞0}，当m=0时，B=∅，满足A∪B=A． 当m＞0时，解得x当m＜0时，解得x综上可得：m≤． 故答案为：m≤．

10．fx）=已知函数（

【考点】函数单调性的性质．

【分析】要满足题意，两段都要减，且当x=1时的值，第一段要不小于第二段，解不等式可得．

是R上的减函数，则a的取值范围是 0＜a＜2 ．

，∵A∪B=A，∴≥3，解得0＜m≤； ，∵A∪B=A，∴≤1，解得m＜0．

解：由题意可得，

解得0＜a＜2 故答案为：0＜a＜2

11．已知a，b均为正数，且a2+b2=1，则a

的最大值为

．

【考点】基本不等式．

【分析】得到4a2+b2=4，根据不等式的性质通过放大不等式求出最大值即可． 解：∵a，b均为正数，且a2+b2=1， ∴4a2+b2=4， ∴a

=•2a•

≤•，b=

=， 时“=”成立，

当且仅当4a2=b2+1即a=故答案为：．

12．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数解恰有3个，则实数a的取值范围是 （

，

] ．

【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】由题意，原不等式转化为[（

+2）x﹣1][（

﹣2）x+1]＞0，得到a的解集，

由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围． 解：由题知，a＞0 则

（2x﹣1）2＜ax2即为ax2﹣（2x﹣1）2＞0． 即（即[（由于故必有

x+2x﹣1）（+2）x﹣1][（

x﹣2x+1）＞0， ﹣2）x+1]＞0，

+2＞0，而不等式的解答中恰有3个整数解， ﹣2＜0，即必有a＜4，

+2）x﹣1][（2﹣，

）x﹣1]＜0，

所以不等式可变为[（解得又0＜可得3＜解得

＜a≤＜x＜

＜1，结合解集中恰有两个整数，即为1，2，3

≤4， ．

，]．

]．

所以a的取值范围为（故答案为：（

，

二、选择题（3×4=12） 13．“x+1＞0”是“x＞0”成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由x+1＞0，解得x＞﹣1，即可判断出结论． 解：由x+1＞0，解得x＞﹣1，

∴“x+1＞0”是“x＞0”成立必要不充分条件． 故选：B．

14．下面四组函数中f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ） A．f（x）=1，g（x）=x0 B．f（x）=x，g（x）=

2

C．f（x）=x，g（x）=（）

D．f（x）=|x|，g（t）=

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】可通过求f（x），g（x）的定义域，以及比较f（x），g（x）的对应法则，从而可判断f（x），g（x）是否为同一函数，从而找出正确选项．

解：A．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴f（x），g（x）不是同一函数；

B．f（x）=x，C.D.故选D．

15．已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（ ） A．a+b≥2

B． +≥2

C．|+|≥2

D．a2+b2＞2ab

，对应法则不同不是同一函数； ，对应法则不同，不是同一函数； ，定义域和对应法则都相同，是同一函数．

【考点】基本不等式．

【分析】利用基本不等式的性质即可得出．

解：对于A，B，没有给出a、b∈R+，因此不一定成立，故不正确； C．若同理

，则

．∴

=2，当且仅当a=b时取等号；

时也成立．因此正确．

D．∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2＞2ab不一定成立． 综上可知：只有C正确． 故选：C．

16．在整数集Z中，被5所除得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4；给出四个结论：

（1）2015∈[0]；（2）﹣3∈[3]；（3）Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；（4）“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”． 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】根据新定义，对每一项进行判断即可． 解：∵2015÷5=403…0，∴2015∈[0]，故（1）正确； ∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故（2）错误；

∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故（3）正确；

∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故（4）正确． 故选C．

三、解答题（8+8+10+12+14=52）

17．设A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={9，a﹣5，1﹣a}，若A∩B={9}，求实数a的值． 【考点】交集及其运算．

【分析】由题意A∩B={9}，确定A中a的值，然后验证集合B即可． 解：由题意可知，2a﹣1=9或a2=9； 所以a=5或±3

并且a﹣5≠﹣4，1﹣a≠﹣4（要是等于的话，A交B就不仅是{9}了） a≠5，1

由集合的定义可知2a﹣1≠﹣4，a﹣5≠9，1﹣a≠9，a﹣5≠1﹣a，2a﹣1≠a2 故a≠﹣1.5，14，﹣8，3，1 所以a=﹣3

18．设函数y=

的定义域为集合A，集合B={x||x﹣3|＜a，x∈R}，其中a∈R．

（1）若a=4，求B∩∁UA；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）分别求出求出集合A、B，根据交集和补集的即可求出答案．

（2）由A∩B=B，得到B⊆A，分a≤0时，B=∅，满足B⊆A，a＞0，两种情况讨论，分别由子集的关系列出不等式求出a的范围． 解：（1）y=

的定义域为集合A，

∴﹣1＞0，

解得﹣4＜x＜5， ∴A=（﹣4，5），

∴∁UA=（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）， 当a=4时，|x﹣3|＜4，解得﹣1＜x＜7， ∴B=（﹣1，7）， ∴B∩∁UA=[5，7）； （2）∵A∩B=B， ∴B⊆A，

当a≤0时，B=∅，满足B⊆A，

当a＞0，|x﹣3|＜a，解得﹣a+3＜x＜a+3， ∴B=（﹣a+3，a+3）， ∴

，

解得0＜a≤2，

综上所述a的取值范围为（﹣∞，2]．

19．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22

，

证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2=2x2﹣2x+a12+a22

因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明． 【考点】归纳推理；不等式的证明．

【分析】（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22

，及

，

整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，则a12+a22+…+an2≥．（2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明． 解：（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1， 求证：a12+a22+…+an2≥ （2）证明：构造函数

f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣an）2 =nx2﹣2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2 =nx2﹣2x+a12+a22+…+an2

因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+an2）≤0 从而证得：a12+a22+…+an2≥

20．市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x

（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若

多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用． （1）当一次投放a=4个单位的洗衣液时，求在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度． （2）在（1）的情况下，即一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （3）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）与时间x（分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污． 【考点】分段函数的应用．

【分析】（1）根据条件建立函数关系即可得到结论． （2）根据（1）的表达式，解不等式即可．

（3）根据条件建立第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y（克/升）与时间x（分钟）的函数关系式，结合基本不等式的应用进行求解即可． 解：（1）∵a=4，∴y=4•f（x）=

．

当x=2时，y=﹣4=﹣4=

，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．

（2）则由（1）知，当0≤x≤4时，由

当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8．

综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟． （3）当6≤x≤10时，y=2×（5﹣∵14﹣x∈[4，8]， ∴y=（14﹣x）+当且仅当14﹣x=∴y有最小值8

﹣6≥2，即x=14﹣4﹣6≈5.2＞4，

﹣6=8

时取等号，

﹣6，

）+2[

]=（14﹣x）+

﹣6，

∴接下来的四分钟能够持续有效去污． 令8

21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=

，

﹣a﹣4≥4，解得24﹣16

≤a≤4．

（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；

（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x2＜x2），则

①试判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上是否具有单调性，并说明理由；

②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4）求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）若f（x）为偶函数，则b=0此时g（x）=函数；

（2）①由g（x）=x得有不等实根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其为一关于a，b的关系式，从中整理 得出对称轴的范围，知其不在区间（﹣1，1）上，故可证得函数在区间（﹣1，1）上具有单调性．

②方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x3，x4（x3＜x4），若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围 解：（1）若f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x）， 即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，解得：b=0， 此时g（x）=

满足g（﹣x）=﹣g（x），

满足g（﹣x）=﹣g（x）为奇

即g（x）为奇函数；

（2）①由g（x）=x得方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根 ∴△=b2﹣4a2＞0及a≠0得|﹣又f（x）的对称轴x=﹣

|＞1即﹣

＜﹣1或﹣

＞1

∉（﹣1，1）

故f（x）在（﹣1，1）上是单调函数 ②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0 ∴bx1=﹣a2x12﹣1，同理bx2=﹣a2x22﹣1 ∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12﹣a2x12=（a﹣a2）x12 同理f（x2）=（a﹣a2）x22

要使x3＜x1＜x2＜x4，只需

，

即，∴a＞1

或，

即，解集为φ

故a的取值范围a＞1