解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版

（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题

1．已知在ABC中，ABAC，射线BM、BN在ABC内部，分别交线段AC于点G、

H．

（1）如图1，若ABC60，过点A作AEBN于点D，分别交BC、∠MBN30，

BM于点E、F；

①求证：CEAG；

①若BF2AF，连接CF，求CFE的度数；

（2）如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF．若

BFEBAC2CFE，请直接写出

【答案】（1）①见解析；①30°；（2）2 【分析】

SSABFACF________．

（1）①根据题意可得BFD60，ABC为等边三角形，从而综合三角形的外角定理得到ABFCAF，最终运用“角边角”证明△ABG≌△CAE即可； ①取BF的中点K，连接AK，由BF2AF推出性质得到FAKFKA，并求出FKAFAK是等腰三角形，根据等腰三角形的

1BFD30，然后结合①的结论证明2△GAK≌△EFC，从而得到CFEAKF30；

（2）在BF上取BK=AF，连接AK，推出①EAC=①FBA，根据全等三角形的性质得到

SABKS△ACF，①AKB=①AFC，证得①FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到

AF=FK，即可得到结论． 【详解】

1

（1）①①AEBN，∠MBN30， ①BFD60，

即：ABFBAF60， ①ABC60，ABAC， ①ABC为等边三角形，

则BAFCAFBAC60，BAGC60， ①ABFCAF， 在ABG和CAE中，

ABFCAF ABACBAGC△CAEASA， ①△ABG≌①CEAG；

①如图所示，取BF的中点K，连接AK， ①BF2AF， ①AFBKFK①

1BF， 2FAK是等腰三角形，

①FAKFKA，

①BFDFAKFKA2FKA， ①FKA1BFD30， 2由①可得：AGCE，BGAE，AGBAEC， ①KGBGBKAEAFFE， 在GAK与EFC中，

AGCEAGBAEC KGFE△EFCSAS， ①△GAK≌①CFEAKF30；

2

（2）如图所示，在BF上取BK=AF，连接AK， ①①BFE=①BAF+①ABF，①BFE=①BAC， ①①BAF+①EAC=①BAF+①ABF， ①①EAC=①FBA， 在①ABK和①ACF中，

ABACABKFAC BKAF①①ABK①①ACF(SAS)， ①SABKS△ACF，①AKB=①AFC，

①①BFE=2①CFE， ①①BFE=2①AKF，

①①BFE=2①AKF=①AKF+①KAF， ①①AKF=①KAF，①FAK是等腰三角形， ①AF=FK， ①BK=AF=FK， ①S①SABKS△AFK， SABKABFS△AFK2SABK2SACF，

①

SSABFACF2，

3

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，正确结合题意作出辅助线是解题关键．

2．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km行程的出租车价格），超过3km行程后，其中除3km的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km按1km计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距xkm（x12）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两种往返方案：

方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）； 方案二：4人乘同一辆出租车往返． 问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）

【答案】当x小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x大于5且不大于12时时，方案一省钱 【分析】

先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小． 【详解】 方案一的费用：

7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2 =7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8

4

=7.8+2.4x， 方案二的费用： 7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6 =7+1.6x-4.8+1.6x+1.6 =3.8+3.2x， ①费用相同时x的值 7.8+2.4x=3.8+3.2x， 解得x=5，

所以当x=5km时费用相同； ①方案一费用高时x的值 7.8+2.4x＞3.8+3.2x， 解得x＜5，

所以当x＜5km方案二省钱； ①方案二费用高时x的值 7.8+2.4x＜3.8+3.2x， 解得x＞5，

所以当x＞5km方案一省钱． 【点睛】

此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．

3．已知：如图，①AOB=α，OC平分①AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），连接MN，①OMN=β． （1）请在图1中根据题意补全图形；

（2）求①MNE的度数（用含α，β的式子表示）；

F不重合）（3）点G在线段OF上（与O，，连接GN并延长交OA于点T，且满足2①NGO＋①OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究①ENM与①ENG的数量关系．

5

【答案】（1）见解析；（2）①MNE=β＋α，（3）见解析，①ENM=180°﹣2①ENG 【分析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；

（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】

解：（1）图形如图所示．

（2）①DE①OB， ①①MDN=①AOB，

①①MNE=①OMN＋①MDN=β＋α． （3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG． 理由：如图，设①NGO=γ． ①2①NGO＋①OMN=180°， ①2γ+β=180°，即β=180°-2γ，

①①ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ， ①①ENG=①DNT=①MTN﹣①ADF =①AOC＋①NGO﹣①ADF

6

1α＋γ﹣α 21=γ﹣α，

2=

即2γ=2①ENG+α，

①①ENM=180°＋α﹣(2①ENG+α)= 180°﹣2①ENG． 【点睛】

本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．综合与实践

如图①，已知直线y3x3与x轴，y轴分别交于B，A两点以B为直角顶点在第二象限内部作等腰RtABC，完成下列任务：

（1）点C的坐标为______________； （2）求直线AC的关系式；

（3）如图①，直线AC交x轴于M，点P3,a是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C(4,1)；（2）yAC【分析】

（1）如图1，作CQ①x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明①ABO①①BCQ（AAS），根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标； （2）由待定系数法，即可求出答案；

（3）依题意确定P点坐标，可知①BPN中BN边上的高，再由S①PBN=进而得出ON．

7

119x3；（3）存在，N(,0) 241S①BCM，求BN，2【详解】

解：（1）①y3x3,

令x=0，则y=3，令y=0，则x=1， ①点A为（0，3），点B为（1，0）， ①OA=3，OB=1；

如图，作CQ①x轴，垂足为Q，

①①OBA+①OAB=90°，①OBA+①QBC=90°， ①①OAB=①QBC，

又①AB=BC，①AOB=①Q=90°， ①①ABO①①BCQ（AAS），

①BQ=AO=3，OQ=BQ+BO=4，CQ=OB=1， ①C（-4，1）；

（2）设直线AC的解析式为：yACkxb， 由A（0，3），C（4，1）可知，

1b3k，解得2， 4kb1b3①直线AC：yAC（3）如图，

1x3； 2 8

①点B（1，0），点C（-4，1）， 直线BC：y11x， 33①P3,a是线段BC上一点， ①P3,，

231x3知，点M为（-6，0）， 25①BM=5，则S①BCM=．

2由yAC设点N（n，0），且点N在线段BM上，则BN=1n， 假设存在点N使①BPN面积等于①BCM面积的一半， 则①

115BN•yP=×， 222125(1n)， 23419解得：n，

4①点N的坐标为（【点睛】

本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．

5．小南根据学习函数的经验，对函数ya|x2|b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：

19，0）； 4x … … －4 3 －3 2 －2 1 －1 0 0 －1 1 －2 2 3 －2 4 －1 … … y n 9

请按要求完成下列各小题：

（1）该函数的解析式为 ，自变量 x 的取值范围为 ； （2）n的值为 ；点11, 该函数图象上；（填“在”或“不在”） 22（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为 坐标的点，并画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质： ； ①如图，在同一坐标系中是一次函数y11x的图象，根据象回答，当3311a|x2|bx时，自变量 x 的取值范围为 ．

33【答案】（1）yx23；全体实数；（2）-3；不在；（3）见解析；（4）①函数有最小值为-3；①2x4 【分析】

y=3；x=-3，y=2代入yax2b得到二元一次方程组，（1）把x=-4，解方程组求出a、b的值，即可求出解析式；自变量 x没有，为全体实数； （2）把x=2代入（1）中的解析式，可求出n的值；把x=

1代入（1）中的解析式，可求出2y的值，即可判断点11,在不在该函数图象上； 22（3）描点，顺次连接即可画出该函数的图象；

（4）①观察图象即可得到函数的最小值；①根据图象即可求出a|x2|b的取值范围．

10

11x时x33【详解】

解：（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入yax2b，

a42b3得，

a32b2a1解得，，

b3①该函数的解析式为yx23；自变量 x 的取值范围为全体实数； 故答案是：yx23；全体实数； （2）在yx23中，当x=2时，y3， ①n=-3． 当x=

13时，y， 22①点11,不在函数yx23的图象上； 22故答案为：-3；不在； （3）该函数的图象如图：

（4）①从图象可以看出，该函数有最小值为-3； 故答案为：函数有最小值为-3；

①从图象可以看出，当2x4时yx23的图象位于y①当a|x2|b11x的图象的下方， 3311x时，自变量 x 的取值范围为2x4． 33．

故答案为：2x4 11

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象求不等式的解集，正确画出函数的图象是解题的关键．

6．如图1，已知①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．

（1）求BD的长度；

（2）如图2，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'． ①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；

①连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．

（3）如图3，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．

【答案】（1）36﹣32；（2）①62﹣26；①45°或225°；（3）32﹣3≤MN≤62＋3 【分析】

（1）过点C作CH①AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝理求出DH，则可求出答案；

（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝62，①DCD'＝30°＝①CDA＝①CD'A'，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝32，EF＝6，CE＝2EF＝26，即可求解；

①分两种情况讨论，由“SSS”可证①A'CD①①BCD'，可得①A'CD＝①BCD'，即可求解； （3）当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，即可求解．

12

1AB，由勾股定2【详解】

解：（1）如图1，过点C作CH①AB于H，

①①ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH①AB， ①AB＝CD＝62，CH＝BH＝①DH＝CDCH221AB＝32，①CAB＝①CBA＝45°， 222623236，

①BD＝DH﹣BH＝36﹣32； （2）①如图2，过点E作EF①CD'于F，

①将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′， ①CD＝CD'＝62， ①图1中CD=2CH，

①①DCD'＝30°＝①CDA＝①CD'A'， ①CE＝D'E， 又①EF①CD'，

①CF＝D'F＝32，EF＝CF6，CE＝2EF＝26， 3①DE＝DC﹣CE＝62﹣26； ①如图2﹣1，

13

①①ABC＝45°，①ADC＝30°， ①①BCD＝15°， ①①ACD＝105°，

①将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′， ①AC＝A'C，CD＝CD'，①ACA'＝①DCD'＝α， ①CB＝CA'， 又①A′D＝BD′，

①①A'CD①①BCD'（SSS）， ①①A'CD＝①BCD'， ①105°﹣α＝15°＋α， ①α＝45°； 如图2﹣2，

同理可证：①A'CD①①BCD'， ①①A'CD＝①BCD'， ①α﹣105°＝360°﹣α﹣15°， ①α＝225°，

综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；

（3）如图3，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，

14

①①A'＝45°，A'D'①AC， ①①A'＝①NCA'＝45°， ①CN＝A'N＝32， ①点M为AC的中点， ①CM＝

1AC＝3， 2①MN的最小值＝NC﹣CM＝32﹣3；

如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，

此时MN＝CM＋CN＝62＋3，

①线段MN的取值范围是32﹣3≤MN≤62＋3． 【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．

7．如图，ABC中，CDAB于点 D，CDBD，点 E在CD上，DEDA，连接

BE．

15

（1）求证：BECA；

（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求CFD的度数；

（3）过点C作CMCA，CMCA，连接BM交CD于点N，若BD12，AD5，直接写出NBC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）①CFD=135°；（3）①NBC的面积为21． 【分析】

（1）由“SAS”可证①BDE①①CDA，可得BE=CA；

（2）过点D作DG①AC于G，DH①BF于H，由全等三角形的性质可得①DBE=①ACD，S①BDE=S①ADC，由面积关系可求DH=DG，由角平分线的性质可得①DFG=①DFH=45°，即可求解；

（3）在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由①BEN①①MCN，可得EN=CN，由三角形的面积公式可求解． 【详解】

证明（1）在①BDE和①CDA中，

BDCDBDECDA90， DEAD①①BDE①①CDA（SAS）， ①BE=CA；

（2）如图2，过点D作DG①AC于G，DH①BF于H，

①①BDE①①CDA，

16

①①DBE=①DCA，S①BDE=S①ADC， ①①DBE+①A=①ACD+①A=90°， ①①AFB=①CFB=90°， ①S①BDE=S①ADC， ①

11BEDHACDG， 22①DH=DG，

又①DG①AC，DH①BF， ①①DFG=①DFH=45°， ①①CFD=135°；

（3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，

由（1）、（2）可得BE=AC，BF①AC，BD=CD=12， ①CM①CA， ①BF①CM， ①①M=①FBN， ①CM=CA， ①CM=BE，

在①BEN和①MCN中，

FBNMBNEMNC， BECM①①BEN①①MCN（AAS）， ①EN=CN，

①EC=CD-DE=12-5=7， ①CN7， 2 17

①①NBC的面积117NCBD1221， 222故①NBC的面积为21． 【点睛】

本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运费 车型 运往甲地/（元/辆） 大货车 小货车

（1）求这两种货车各用多少辆；

（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．

【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 【分析】

（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；

（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；

（3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．

18

运往乙地/（元/辆） 800 650 720 500 【详解】

（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得： 14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10． 答：大货车用8辆，小货车用10辆．

（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）； （3）14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥又①0≤a≤8， ①3≤a≤8 且为整数．

①w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大，

①当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）．

答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 【点睛】

本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

9．（1）如图①，在直角ABC中，BAC90，ABAC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90，得到△ACE，那么CE,BD之间的位置关系为__________，数量关系为__________；

（2）如图①，在ABC中，BAC90，ABAC，D，E（点D，E不与点B，C重合）为BC上两动点，且DAE45．求证：BD2CE2DE2．

（3）如图①，在ABC中，CAB120，ABAC，DAE60，BC33，D，E（点D，E不与点B，C重合）为BC上两动点，若以BD,DE,EC为边长的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长．

8． 3 19

【答案】（1）CE①BD；CE=BD；（2）见解析；（3）BE23． 【分析】

（1）根据BADCAE，AD=AE，运用SAS证明

ABDACE，根据全等三角形

性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； （2）把

ACE绕点A顺时针旋转90，得到 ABG，连接DG，由SAS得到

ADGADE，可得DE=DG，即可把EF、BE、FC放到一个直角三角形中，从而根据

勾股定理即可证明； （3）把

AEC绕点A顺时针旋转120，得到AFB，可得AF=AE，ABFACB，

ADEADF，可得DF=DE，由以BD、DE、

EC=BF，EAF120，由SAS可证

EC为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】

解：（1）CE与BD位置关系是CE①BD，数量关系是CE=BD ①△ABD绕点A逆时针旋转90，得到△ACE ①BACDAE90

①BAD90DAC，CAE90DAC ①BADCAE ①BA=CA，AD=AE ①

ABDACE

①ACEB45且CE=BD ①ACBB45

①ECB=4545=90，即CE①BD 故答案为：CE①BD；CE=BD； （2）如图①，把

ACE绕点A顺时针旋转90，得到ABG，连接DG，

20

则

ACEABG

①AG=AE，BG=CE，ABGACF45 ①BAC90，GAE90 ①GADDAE45

AGAE在ADG和ADE中，GADDAE

ADAD①

ADGADE

①ED=GD ①GBD90 ①BD2BG2DG2 即BD2EC2DE2 （3）如图①，把

AEC绕点A顺时针旋转120，得到AFB，

①

AECAFB

①AF=AE，ABFACB，EC=BF，EAF120 ①CAB120，AB=AC ①ABCACBABF30 ①FBD60

①EAF120，EAD60

21

①DAEDAF60，且AF=AE，AD=AD ①

ADEADF

①DF=DE

①以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形 ①以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形 ①

BDF是直角三角形

若BDF90，且FBD60 ①BF=2BD=EC，DF3BDDE

①BCBDDEECBD2BD3BD33BD33 ①BD1 ①DE3 ①BEBDDE13 若BFD90，且FBD60 ①BD=2BF=2EC，DF3BFDE

①BCBDDEEC2BFBF3BF33BF33 ①BF1

①BD=2，DE3 ①BE23 【点睛】

此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

 22