2022年南开大学数学伯苓班选拔试题及解析

本试卷共七道试题，满分100分，测试时间为9月13日14：30-16:10

1.证明：

5=5−1 2π2sin5ysinπ2.设x∈(0,+∞),y∈y，且恒成立xlnx−x(y+a)+e≥0，求a的取值范围.

x2y23.设椭圆2+2=1(a>b>0)，上顶点为B，右焦点为F，

ab右准线交x轴于P，且离心率e=1，PF+BF=过P5，2点的直线与椭圆交于M,N两点. （1）求椭圆方程与直线斜率取值范围； （2）证明:

4. α1,α2,α3∈0,11为定值. +MNNFππ222，且，且，∈ααα,,0++sinαsinαsinα3=1，求1231222cosα1+cosα2+cosα3的最小值。

sinα1+sinα2+sinα3

5.1−11中取4个不同的数字，求4个数字互不相邻的概率。

6.设集合=S{aba,b∈,b≥2}，证明：对任意n∈*，均存在x1,,xn∈S构成公差不

为0的等差数列.

7.若a,b,c∈,

（1）若a+2b+3c=0，证明: a=b=c=0；

（2）若a,b,c均为绝对值小于10的整数，证明：存在a,b,c使得

a+2b+3c<

1+2+3

1112022年南开大学数学伯苓班选拔考试题解答

1.解：

注意到

5=1，从而考虑顶角为36的等腰三角形（黄金三角形），或者考虑 2ππsin2cos55sinπcosπ4π2π=−cos=1−2cos2， 555均不难解出cosπ5=5+1，即证. 4

2.解：考虑分离参数，即有恒成立

eya≤lnx−−y=f(x)

x从而可知f(x)=0⇒x=e。从而不难得到f(=x)min'yf=(ey)1，从而a≤1。

11x2y21，斜率取值范围为(−，) 3. 解：（1）椭圆方程为2+2=2243（2）以右焦点为极点，则可知椭圆的参数方程为ρ=3，则可知

2−cosθ114−cos∠MFP−cos∠NFP +=MNNF3

=MS2=MF,NT2NF，从而注意到 而如果我们作垂线，则有

PSPSsin∠MFP==2⋅=2tan∠MPS=sin∠NFP

MFMS从而结合图形不难得到两角互补，从而余弦和为0，也即和为定值

4。 3。

4.解：注意到cosα1=1−sin2α1=sin2α2+sin2α3≥sinα2+sinα32从而类似得到三个式子，即可得到最小值为2.易见取等为全相等.

445.解：考虑7个小球，中间有8个空，插入4个隔板，则共有C8=70种，一共有C11=330种，从而概率P=

7. 334⋅7，7即可； 6.解：我们考虑对正整数n进行归纳，n=1,2平凡，n=3时考虑7，假设命题对k=n时成立，即存在等差数列

bnb1,,=x1a=xa1nn

223''从而设=bIcm[b1,,bn],x=2xn−xn−1，则考虑数列x1',,xn,xnn+1+1，其中对任意

1≤i≤n+1有

xi'=(2xn−xn−1)b⋅xi

则显然有

bbibixi'=(2xn−xn−1)b⋅xi=ai(2xn−xn−1)从而可知这是符合题意的构造。

∈S 7.解：（1）由a+2b=−3c⇒a+2b−3c=−22b∈，可知b=0，同理c=0，进而c=0，即证.

（2）考虑

222=f(a,b,c)a+2b+3c,a,b,c∈{0,1,,9}

从而将所有的f(a,b,c)从小到大排成一列a1,,a1000，从而注意到

a1=0,a1000=9(1+2+3)

则注意到

(a1000−a999)++(a1−a0)=9(1+2+3),

从而由抽屉原理不难得到存在1≤i≤999使得

0≤ai+1−ai≤9(1+2+3)1+2+3 =999111

又由(1)可知等号不能成立，从而取a+2b+3c=ai+1−ai即可.