高中数学_数列知识点汇总_新人教A版必修5

必修5 数列知识点小结

【等差数列】

1. 证明方法：①递推关系（定义）：an1and(d为常数，nN)

②等差中项法：2anan1an1 (n1)

判断方法：③通项公式

ana1(n1)dpnq（其中p,q为常数）

n(a ④前n项和S1an)n2an(n1)1n2dAn2Bn(A,B为常数）

2. 等差中项：a,A,b成等差数列，A称为a与b的等差中项（其中a与b为任意实数， A存在且唯一），

即A为a与b的等差中项Aab2 3. 等差数列性质：

aa（1）

任两项关系：dnmamannmmn（其中mn）

（2） 任两项关系：anam(nm)d（其中mn）

（3）

d0,数列{an}是递增数列；d0,数列{an}是递减数列； d0,数列{an}是常数列。

（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：

2anan1an1（其中n>1, 2ananan） 2anankank（其中n-k>0, 2ananan）

特别若mnpq,则amanapaq

mnspqk,则amanasapaqak

（5） 前

n项和性质：①：Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差数列②：Snn是等差数列。③：

an,bn为项数相同的等差数列(或无穷数列)，其前n项和分别是：Sann、Tn，则bS2n1T，

n2n1an(2m1)S2bn1n1)T（处理方法分别设Sn、TnAn2Bn）

。 m(22m1（6） 设数列{an}是等差数列，且公差为d

数学试题第 1 页 共 9 页 1

①

：若项数为偶数，设共有2n项，则①SSnd； ②

偶

奇

S奇anS偶an1

② ：若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇

Sana中；②

偶

S奇n S偶n14．最值问题：无穷等差数列中 (1)a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

；②若已知an，则Sn 最值时n的值（nN）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）

可如下确定an0an0或

an10an10(2) a10,d0时，Sn有最小值，且为S1；a10，d0时，Sn有最大值，且为S1；

2【等比数列】

1.证明方法：①递推关系（定义）：an1/anq(q为常数，nN)②等比中项法：anan1an1

(n1,an0)

判断方法：③通项公式ana1qn1a1qnAqn（其中A,q为等于0的常数）

q④前

na1anqa1(1qn)a1a项和Sn1qn

1q1q1q1qA-Aqn (A为常数,且A0,q0,q1）

注：（1）等比数列中an

0，q0，且相间项符号相同；

（2）既是等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列；前n项和Snna1 。

2.等比中项：a,G,b成等比数列，G称为a与b的等比中项，（其中有且只有ab唯一，存在互为相反数的两个数），即G为a与b的等比中项G3.等比数列性质：

nm任两项关系：q20时，a、b存在等比中项，一般不

ab。

（1）

anam（其中mn）任两项关系：

anamqnm（其中mn）

2（2） 两积式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：

aan1an1（其中n>1, ananan） anankank（其中n-k>0, ananan） n 特别若mn222pl,则amanapal

mnsplk,则amanasapalak

数学试题第 2 页 共 9 页

2

（3） 前

n项和性质： Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列（其中k为常数且Sk0）

必修5数列复习题

班级______ 姓名______ 学号_______

一、选择题

1、若数列{an}的通项公式是an=2(n＋1)＋3，则此数列 ( )

(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{an}中，a1=3,a100=36,则a3＋a98等于 ( ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)42 3、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)

2n1n1n1nn (B)n (C)1n (D)2n 4、设等差数列的首项为a,公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( (A)a＞0,d＞0 (B)a＞0,d＜0 (C)a＜0,d＞0 (D)a＜0,d＜0 5、在等差数列{an}中，公差为d，已知S10＝4S5，则a1d是 ( ) (A)

12 (B)2 (C)14 (D)4 6、设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1+ a4+ a7+……+ a97=50，则a3+ a6+ a9……+ a99= ( )

(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 7、等差数列{an} 中，S15=90，则a8= ( )

(A)3 (B)4 (C)6 (D)12

8、等差数列{a1n}中，前三项依次为x1,56x,1x，则a101= ( ) (A)5013 (B)1323 (C)24 (D)823

9、数列{an}的通项公式a1nn1n，已知它的前n项和为Sn=9，则项数( )

(A)9 (B)10 (C)99 (D)100

10、等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( )

(A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24

12、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

13、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 14、等差数列{an}的公差为

12，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值

数学试题第 3 页 共 9 页

) n= 3

15、等差数列{an}中，a1+a2+……a10=15，a11+a12+……a20=20，则a21+a22+……a30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45

16、等差数列{an}中，a1=3，a100=36，则a3+a98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)45

17、{an}是公差为2的等差数列，a1+a4+a7+……+a97=50，则a3+a6+……+ a99= ( ) (A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{an}中，S17=102，则a9= ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

19、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( )

(A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800

20、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么

a1x

yb3( )(A)

342 (B) (C) (D)值不确定 43321、一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列

的项数是 ( )

(A)4 (B)8 (C)12 (D)20

22、等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3= ( )

216 (C) (D)4 3921623、设{an}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an= ( )

39(A)3 (B)

1(A)62n111 (B)6 (C)622nn11 (D)62n1或

3 22ab= ( )

2cd111(A)1 (B) (C) (D)

24825、已知等比数列{an} 的公比为q，若an1=m（n为奇数），则a3n1= ( )

24、已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则

2n－1

n

2(A)mq (B) mq (C) mq (D)

18

26、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126

27、若{an}是等比数列，已知a4 a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是 ( )

(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512 28、数列{an}、{bn}都是等差数列，它们的前n项的和为( ) (A)

Sn3n1，则这两个数列的第5项的比为 Tn2n1493428 (B) (C) (D)以上结论都不对 291719数学试题第 4 页 共 9 页 4

29、已知lg2cab4lglg，则a，b，c ( ) abc(A)成等差数列 (B)成等比数列

(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列

30、若a+b+c，b+c－a，c+a－b，a+b－c成等比数列，且公比为q，则q3+q2+q的值为 ( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)2

31、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( )

(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项

32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( )

1111 (B)11或0 (C)10 (D)9

422211133、数列1，，，……，的前n项和为 ( )

1212312n2n12nn22n(A) (B) (C) (D)

n2n1n1n1(A)1334、设数列{an}各项均为正值，且前n项和Sn=( )

(A) an=n1n (B) an=nn1 (C) an=n2n1 (D) an=2n1

11（an+），则此数列的通项an应为 2an35、数列{an}为等比数列，若a1+ a8=387，a4 a5=1152，则此数列的通项an的表达式为

( )

(A) an =3×2n -1 (B) an =384×（(C) an =3×2n -1或an =384×（

1n -1） 21n -11） (D) an =3×（）n -1 2236、已知等差数{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则a1+ a9= ( )

(A)45 (B)75 (C)180 (D)300

37、已知等比数列{an}中，an＞0，公比q≠1，则 ( )

22222222(A)a3 (B)a3 a7a4a6a7a4a622222222(C)a3 (D)a3a7a4a6a7与a4a6的大小不确定

38、在等比数列中，首项

912，末项，公比，求项数 ( ) 833(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

39、等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21

40、某厂产量第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年增长率为x，则有 ( ) (A)xpqrpqr (B)x 33数学试题第 5 页 共 9 页

5

(C)xpqrpqr (D)x 33二、填空题

1、已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20=_______

2、数列{an}中，若a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成_______数列

3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令an=log2bn,则的前五项之和 S5′=_______ 4、已知数列

1111,,,,则其前n项和Sn=________. 61220(n1)(n2)5、数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于____________.

6、等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________. 7、已知等差数列{an}的公差d≠0, 且a1,a3,a9成等比数列,

a1a3a9的值是________.

a2a4a108、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn为前n项和), 则S15等于________.

9、等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________.

10、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且an=log2bn,则b1+b2+b3+b4+b5等于____________. 11、已知数列1,

n1n2n3,,, , 前n项的和为____________. nnn12、已知{an}是等差数列,且有a2+a3+a10+a11=48, 则a6+a7=____________.

13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为________. 14、三个数

11ac、1、成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列， 则2等于____________. acac215、已知lgx,1, lg成等比数列, 且x＞1,y＞1, 则x、y的最小值为________. 22an, 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前20项的和为________. 2an516、在数列{an}中, an117、若数列{an}, a121,且an1an (n∈N), 则通项an=________. 3(n2)(n1)18、已知数列{an}中, a4322,an1(21)an(n≥1), 则这个数列的通项公式an=________. 19、正数a、b、c成等比数列, x为a、b的等差中项, y为b、c的等差中项, 则

ac的值为________. xy20、等比数列{an}中, 已知a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=

7, 则a1为________. 4三、解答题

1、在等差数列{an}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和, (1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围； (Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

数学试题第 6 页 共 9 页

6

3、数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.

4、设数列{an}的前n项和Sn.已知首项a1=3,且Sn1+Sn=2an1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.

5、已知数列{an}的前n项和Sn

6、已知数列{an}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设aix22ai1xai2=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为mi,求证

27、如果数列{an}中,相邻两项an和an1是二次方程xn3nxncn=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100

11n(n＋1)(n＋2),试求数列{}的前n项和. 3an1111,,,…, ,…也成等差数列. m11m21m31mn1的值.

8、有两个无穷的等比数列{an}和{an},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有an1,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{an},{bn}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且an,bn,an1成等差数列, bn,an1,bn1成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中mn)，求数列{xn}的前m＋n项的和。

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数列复习题 〈答卷〉

一、选择题

1、 A 2、 C 3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 9、 C 10、 C 11、 D 12、 B 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D 19、 D 20、 B 21、 B 22、 A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 C 29、 B 30、 A 31、 A32、 B 33、 D34、 B 35、 C36、 C 37、 A 38、 B 39、 B 40、 C 二、填空题

1、 1802、 等比3、 2n－1,

1362n4、 5、 2n+2.6、 11.7、8、249、32 3162(n2)10、 68211、18、

n117112、2413、－4或2. 14、 1或15、10216、100. 17、 236n1n222119、2.20、 2或

3三、解答题

1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252

同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140

其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19 ∴{bn}的前19项之和S19(112)2、解： (Ⅰ)依题意,有 S12191814266. 212(121)12a1d0

2S1313a12a111d0(1)13(131)d0，即

2a16d0(2)由a3=12,得 a1=12－2d (3) 将(3)式分别代入(1),(2)式,得 247d024d3. ，∴73d0(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.

由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

3、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则

1Sn=n(50－4n),设Sn＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.

24、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)

(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1 即 an+2=3an+1

3,当n1时,此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an= n123,当n2时.此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×3＋…＋2×3

2

n – 1

23(3n11)n

=3＋=3.

318

数学试题第 8 页 共 9 页

5、an=Sn－Sn1=S1.

则

111n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= 333＝

n(n

＋

1)

是

此

数

列

的

通

项

公

式

。

∴

an1111111111111(1)()()＝1－

n1a1a2an122334n(n1)223nn1＝

n. n16、 (1)设公共根为p,则aip22ai1pai20①ai1p22ai2pai30②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为mi,则mi＋(－1)=

2ai1a12d12d1.∴mi+1= 即}是以－为公差的等差数列. 2i,易于证明{

2aimi1aiaimi12d7、解由根与系数关系, an＋an1=－3n,则(an1＋an2)－(an＋an1)=－3,即an2－an=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则a2k=－3k－2,∴a100=－152, a2k1=－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100 a101=22496

8、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有q1,r1.依据题设条件,有

ba=1,① =2,② aqn11r1q2brn1,

③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2q2n2=2(1－r)rn1.令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－

r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q=114,r =.因此可得a=1－q=,b=2(139316. 9416ab3和9经检验,满足a2b的要求. ∴nn11qr39－r)=

111bn(anan1)bn(bn1bn1).∵9、依据题设条件,有由此可得bn(bn1bnbnbn1)=222an1bnbn1bn＞0,则2bnbn1bn1n2(n1)2又 abn1bn222n(n1)2。∴{bn}是等差数列.∴bn=.

21n(n1)n(n1) =,∴=an22210、2m+n-1

数学试题第 9 页 共 9 页

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