张恭庆 泛函分析上册答案

1。1.5 1。1。6 1.1.7

1。2。2

1.2。3

1.2。4 1.3.3

1.3。4

1。3.5

1。3。7

1。3.8

1.3。9

1.4。1

1。4。5—6

1.4.9

1。4.11

1.4。12

1。4.13

1。4。14 1。4。15 1。4.17

1.5.1证明：(1） () 若xint(E），存在 〉 0，使得B (x)  E． 注意到x + x/n  x （ n   ）,故存在N 

+，使得

x + x/N  B （x）  E．

即x/( N/( 1 + N ) ） E．因此P（x）  N/（ 1 + N ) < 1．

（） 若P（x) < 1．则存在a > 1，使得y = a xE．因int(E），故存在 > 0，使得B （)  E．令 =  (a  1)/a，zB (x）,令w = （a z  y ）/(a  1)， 则｜｜ w ｜｜ = ｜| （a z  y )/(a  1) ｜| = |｜ a z  y ｜|/（a  1) = ｜| a z  a x ||/（a  1) = a |｜ z  x ｜｜/（a  1） < a/（a  1) = ． 故wB （)  E．故z = （（a  1)w + y )/a  E，因此，B （x)  E．所以xint(E）． (2) 因int(E） = E，故有cl(int（E）)  cl（E)．下面证明相反的包含关系． 若xcl(E)，则 〉 0,存在yE，使得|| x  y |｜ < /2． 因ny/(n + 1)  y （ n   )．故存在N 

+,使得｜｜

Ny/(N + 1)  y || 〈 /2．

令z = Ny/(N + 1），则zE，且P（z）  N/（N + 1) < 1， 由（1）知z int(E）．而|｜ z  x ||  |｜ z  y || + ｜｜ y  x |｜ < /2 + /2 = ． 故xcl（int(E）),因此cl（E）  cl（int(E))所以cl（int(E)) = cl(E）．

1.5。3证明：因为C是紧集，所以C是闭集．

因为C是紧集，故C的任意子集都列紧． 而T（C）  C,故T(C)列紧．

于是,由Schauder不动点定理,T在C上有一个不动点．

＊

[Schauder定理:B空间中闭凸集C上使T（C)列紧的连续自映射T必有不动点] 1。5。4

1.5.5证明：设C = {x = (x1， x2, 。。.， xn）

n

｜  1  i  n xi = 1，xi  0 （ i = 1，

2， ..。, n) }．

则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．

因为xC，xi 不全为0，而aij 〉 0，故Ax的各分量也非负但不全为零． xC，设f （x） = (Ax）/（  1  i  n (Ax）i )，则f (x）C． 容易验证f ： C  C还是连续的．

由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0C．

即f (x0） = x0，也就是（Ax0)/(  1  i  n (Ax0）i ） = x0． 令 =  1  i  n （Ax0）i，则有Ax0 =  x0．

1。5.6证明：设B = { uC［0, 1] ｜ ［0, 1］ u（x） dx = 1,u(x)  0 ｝，

则B是C[0, 1]中闭凸集．

设max （x， y)［0， 1]［0, 1］ K（x， y) = M，min （x, y）[0, 1］［0， 1］ K（x, y） = m, ［0， 1］ (［0， 1] K（x, y） dy) dx = N,max x[0, 1］ | [0, 1］ K（x, y） dy |= P． 令(S u)（x） = ([0, 1] K(x， y) u(y) dy)/([0, 1] （［0， 1] K(x, y） u(y） dy) dx ) 则[0, 1］ （S u)(x) dx = 1,u（x)  0；

即S uB．因此S是从B到B内的映射． u, vB，

|｜ ［0, 1] K（x， y） u（y） dy  ［0, 1] K(x， y) v（y) dy |｜ = ｜｜ [0， 1] K（x, y） （u（y）  v(y）) dy ｜| = max x［0, 1］ | ［0， 1] K（x, y) （u(y）  v（y)) dy ｜  M · ｜| u  v ｜|；

因此映射u  [0, 1] K(x, y） u(y） dy在B上连续．

类似地，映射u  [0, 1] （[0, 1] K（x, y） u(y） dy） dx也在B上连续． 所以，S在B上连续． 下面证明S(B）列紧．

首先，证明S(B)是一致有界集．uB,

｜| S u ｜| = ｜｜ (［0， 1] K（x， y） u（y） dy ）/（［0， 1] ([0, 1] K(x， y） u（y) dy) dx ）｜|

= max x[0, 1］ | [0, 1］ K（x, y) u(y) dy ｜/（[0， 1] （［0, 1］ K（x， y） u（y） dy） dx ）  （M ·[0， 1］ u(y) dy ｜/（m [0， 1] （［0, 1] u(y) dy) dx ) = M/m， 故S（B)是一致有界集．

其次,证明S（B）等度连续．uB，t1, t2［0， 1］， ｜ （S u）（t1)  (S u)(t2) |

= ｜ [0, 1］ K(t1， y) u（y) dy  [0, 1］ K(t2， y) u(y） dy ｜/（[0， 1] (［0， 1］ K(x， y) u(y） dy) dx )

 ［0, 1］ | K（t1, y）  K(t2， y） ｜ u(y） dy /（m［0, 1］ ([0， 1］ u(y） dy) dx ）  （1/m） · max y［0, 1] ｜ K(t1, y)  K（t2, y) |

由K(x， y)在［0， 1］[0, 1］上的一致连续性,  〉 0，存在 > 0,使得(x1， y1）， (x2, y2)［0, 1]，只要|| （x1， y1）  (x2, y2) ｜｜ < ,

就有｜ K（x1， y1)  K（x2, y2) | < m ． 故只要｜ t1  t2 | 〈  时,y［0， 1］，都有｜ K（t1, y)  K（t2, y） | 〈 m ． 此时，| （S u)(t1）  (S u）（t2) |  （1/m） · max y[0, 1] | K(t1， y)  K（t2， y) |  (1/m) · m  = ．

故S（B）是等度连续的． 所以，S（B)是列紧集．

根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0． 令 = （[0， 1] ([0, 1] K(x, y) u0(y) dy) dx．

则(S u0)(x) = ([0, 1］ K(x， y) u0(y) dy）/ = （T u0)(x)/． 因此（T u0）（x）/ = u0（x），T u0 =  u0． 显然上述的和u0满足题目的要求．

1。6.1 (极化恒等式）证明：x， yX，q（x + y）  q（x  y） = a（x + y， x + y）  a（x  y, x  y)

= (a（x， x) + a（x， y) + a（y， x) + a（y, y))  (a（x， x）  a(x， y）  a（y, x) + a（y, y))

= 2 (a（x, y) + a(y， x））, 将i y代替上式中的y，有

q（x + i y）  q(x  i y） = 2 （a（x, i y) + a（i y, x)）= 2 （i a（x， y) + i a( y, x))， 将上式两边乘以i，得到i q(x + i y）  i q（x  i y） = 2 ( a（x， y)  a( y, x）), 将它与第一式相加即可得到极化恒等式．

1.6.2证明：若C［a, b]中范数|| · |｜是可由某内积（ · , · )诱导出的， 则范数｜｜ · |｜应满足平行四边形等式． 而事实上，C[a， b]中范数｜｜ · ｜|是不满足平行四边形等式的， 因此，不能引进内积( · , · )使其适合上述关系． 范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：

设f（x） = (x – a)/(b – a)，g(x) = (b – x）/（b – a）,则｜｜ f ｜| = ｜｜ g ｜｜ = |｜ f + g ｜| = ｜｜ f – g || = 1， 显然不满足平行四边形等式．

1.6.3证明：xL2［0， T]，若|｜ x || = 1，由Cauchy—Schwarz不等式，有

）（）

｜ ［0, T］ e  ( T   x（ ） d ｜2  （［0, T] （e  T   )2 d ） （［0, T］ （ x( )）

2 d )

（

）

= [0， T] (e  T   )2 d = e  2T [0， T] e 2 d = （1 e  2T ）/2． 因此,该函数的函数值不超过M = （(1 e  2T )/2)1/2． 前面的不等号成为等号的充要条件是存在

,使得x（ ） =  e 

（

T   ）

．

再注意｜| x || = 1，就有[0， T］ （ e  ( T   )）2 d = 1．解出 = ((1 e  2T ）/2）  1/2．

（）

故当单位球面上的点x( ) = ((1 e  2T ）/2）  1/2 · e  T   时， 该函数达到其在单位球面上的最大值（（1 e  2T ）/2)1/2．

1。6.4证明：若xN ，则yN，（x， y) = 0．而M  N，故yM，也有（x， y）

= 0．

因此xM ．所以，N   M ．

1。6.5

1。6。6解：设偶函数集为E，奇函数集为O．

显然,每个奇函数都与正交E．故奇函数集O  E ．

fE ，注意到f总可分解为f = g + h，其中g是奇函数,h是偶函数． 因此有0 = ( f， h） = （ g + h, h） = （ g, h) + （ h， h) = （ h, h)． 故h几乎处处为0．即f = g是奇函数．所以有 E   O． 这样就证明了偶函数集E的正交补E 是奇函数集O．

1。6.7

证明：首先直接验证，c集．

再将其标准化,得到一个规范正交集S1 = ｛n(x） = dn e 2 i n x | n其中的dn = |｜ e 2 i n x ｜｜ （n

}．

，S = {e 2 i n x ｜ n ｝是L2［c, c + 1]中的一个正交

),并且只与n有关，与c的选择无关．

(1) 当b – a =1时，根据实分析结论有S  = ｛}． 当b – a 〈1时，若uL2[a, b],且uS ，

我们将u延拓成［a， a + 1]上的函数v，使得v(x） = 0 (x(b, a + 1])． 则vL2[a， a + 1］． 同时把S = ｛e 2 i n x ｜ n

}也看成L2［a, a + 1]上的函数集．

那么，在L2［a, a + 1］中，有vS ． 根据前面的结论,v = ．

因此，在L2[a， b]中就有u = ． 故也有S  = ｛}；

（2) 分成两个区间[a， b – 1）和［b – 1, b］来看．

在[a, b – 1）上取定非零函数u(x） = 1 （ x［a, b – 1) ）． 记pn = [a， b – 1） u(x）n(x) dx．

我们再把u看成是[b – 2， b – 1］上的函数（u在［b – 2， a）上去值为0）． 那么pn就是u在L2[b – 2， b – 1］上关于正交集S1 = ｛n（x) ｜ n ｝的Fourier系数．

由Bessel不等式，n ｜ pn |2 〈 +．

再用Riesz—Fischer定理，在L2[b – 1， b]中，n pn n收敛． 并且,若令v =  n pn n，则（v， n)=  pn （ n

)．

设f : [a, b］  为：f（x） = u（x) (当x［a， b – 1）)，f（x） = v(x） （当x[b – 1, b]）．

则f L2[a, b]，f  ,

但( f， n) = [a， b – 1) f(x)n（x） dx + ［b – 1， b] f(x)n(x) dx = [a, b – 1) u（x）n（x) dx + ［b – 1， b］ v（x）n(x） dx = pn  pn = 0,

因此，f S1 = S ，故S   {｝．

＊

1.6。8证明：（ zn/（2)1/2， zn/（2）1/2 ) = （1/i)｜ z ｜ = 1 ( zn/(2）1/2 · (z）n/（2）

1/2 ）/z dz

= (1/(2i)）| z | = 1 zn· (z*）n/z dz = （1/(2i））| z ｜ = 1 1/z dz = 1． 若n > m，则n  m  1  0，从zn  m  1而解析．

（ zn/(2)1/2, zm/(2)1/2 ） = (1/i)｜ z | = 1 （ zn/(2）1/2 · （z*）m/(2）1/2 )/z dz = （1/(2i））| z ｜ = 1 zn· (z*）m/z dz = （1/（2i）)| z | = 1 zn  m  1 dz = 0． 因此，{ zn/(2）1/2 }n  0是正交规范集．

1。6。9

1。6.10证明：容易验证{en}{ fn｝是正交规范集，下面只证明{en}｛ fn｝是X的

基．

xX，由正交分解定理,存在x关于X0的正交分解

x = y + z，其中y X0，z X0．

因{en｝， ｛ fn｝分别是X0和X0的正交规范基， 故y =  n ( y, en ) en，z =  n ( z, fn ） fn．

因z X0，故(x, en) = ( y + z, en） = ( y， en) + ( z， en） = ( y， en）． 因y X0，故(x, fn） = ( y + z, fn) = （ y, fn） + （ z, fn) = （ z， fn)． 故x = y + z =  n （ y, en ） en +  n ( z, fn ) fn

=  n （ x, en ) en +  n （ x, fn ） fn．因此｛en｝{ fn}是X的正交规范基．

1.6。11证明:首先，令 k (z） = （( k +1 )/)1/2 z k ( k  0 ），

则{  k }k  0是H 2（D)中的正交规范基．

那么,u（z）H 2(D），设u（z） =  k  0 a k z k，则k

＊

，有

(u，  k） = D u（z) ·  k（z) dxdy

＊

= D （ j  0 a j z j) ·  k（z） dxdy

=  j  0 a j (/（ j +1 ))1/2D (( j +1 ）/)1/2 z j ·  k(z）* dxdy =  j  0 a j （/（ j +1 )）1/2D  j（z） ·  k（z)* dxdy =  j  0 a j （/( j +1 )）1/2 ( j,  k) = a k (/( k +1 ））1/2．

即u(z)的关于正交规范基｛  k }k  0的Fourier系数为a k (/( k +1 ）)1/2 ( k  0 )． （1) 如果u(z）的Taylor展开式是u(z) =  k  0 b k z k， 则u(z）的Fourier系数为b k (/( k +1 ））1/2 （ k  0 ）．

由Bessel不等式， k  0| b k （/( k +1 ）)1/2 |2  |｜ u || < +， 于是有  k  0｜ b k ｜2/( k +1 ） < +． （2） 设u（z）， v（z)H 2(D），并且u(z) =  k  0 a k z k，v（z) =  k  0 b k z k． 则u（z） =  k  0 a k （/( k +1 ）)1/2 k (z)，v(z） =  j  0 b j （/（ j +1 ））1/2 j (z)， （u， v） = （  k  0 a k （/（ k +1 ))1/2 k (z),  j  0 b j (/( j +1 )）1/2 j （z） ) =  k  0 j  0 （a k (/( k +1 ))1/2 k (z), b j （/( j +1 )）1/2 j (z）)

＊

=  k  0 j  0 (a k (/( k +1 ）)1/2 · b j（/( j +1 ）)1/2） （ k （z)，  j (z）)

＊＊

=  k  0 （a k （/（ k +1 ))1/2 · b k （/( k +1 )）1/2） =   k  0 （a k · b k ）/（ k +1 )． (3） 设u（z)H 2（D），且u（z） =  k  0 a k z k．

因1/(1  z) =  k  0 z k，1/（1  z)2 =  k  0 （k +1) z k,其中| z | 〈 1． 故当｜ z ｜ < 1时,有1/（1  ｜ z ｜ ）2 =  k  0 （k +1） ｜ z | k．

＊

根据（2)，｜｜ u（z) ||2 =   k  0 (a k · a k ）/（ k +1 ) =   k  0 ｜ a k ｜2/( k +1 )． ｜｜ u |｜2/（1  | z ｜)2 = （  k  0 | a k |2/( k +1 )) · （  k  0 （k +1） | z ｜ k )

 （  k  0 | a k ｜2/( k +1 ) ｜ z | k） · （  k  0 (k +1) | z | k )   （  k  0 （ ｜ a k |/( k +1 )1/2 | z | k/2) · ((k +1)1/2 ｜ z ｜ k/2 ))2 (Cauchy—Schwarz不等式)

2

=  （  k  0 ｜ a k | · | z ｜ k )2  |  k  0 a k z k |2 =  ｜ u（z）| ，故｜ u(z） |  ｜｜ u ||/(1/2 ( 1  ｜ z ｜ ）)．

（4） 先介绍复分析中的Weierstrass定理：若{ fn ｝是区域U 

上的解析函数列,

且{ fn ｝在U上内闭一致收敛到 f，则f在U上解析．（见龚升《简明复分析》) 回到本题．设{ un ｝是H 2(D)中的基本列． 则zD，由(3）知｛ un（z) }是对

中的基本列,因此是收敛列．设un(z）  u（z）．

中任意闭集F  D，存在0 < r 〈 1使得F  B(0， r)  D．

+,使得m， n 〉 N，都有|｜ un  um ｜｜ 〈  1/2 （ 1  r ）．

 > 0，存在N

再由(3）,zF，

| un(z）  um（z) |  || un  um ｜｜/（1/2 （ 1  ｜ z ｜ )）  |｜ un  um ｜|/（1/2 （ 1  r )) 〈 ．

令m  ，则｜ un（z）  u（z) ｜  ．这说明｛ un ｝在D上内闭一致收敛到 u． 由前面所说的Weierstrass定理，u在D上解析． 把{ un }看成是L2(D)中的基本列, 因L2(D），故{ un ｝是L2（D）中的收敛列．设{ un }在L2（D）中的收敛于v． 则v必然与u几乎处处相等．即{ un ｝在L2（D）中的收敛于u． 因此{ un }在H2(D）中也是收敛的,且收敛于u．所以，H2(D）完备．

1.6.12证明：由Cauchy—Schwarz不等式以及Bessel不等式，x， yX，有

＊

｜  n  1 （x， en） · (y， en）* ｜2  （ n  1 | (x， en） ｜· ｜ （y, en） ｜ ）2 = ( n  1 ｜ (x， en) |· | （y， en） | ）2  ( n  1 ｜ (x, en） |2) · （ n  1 | （y, en)|2) || x ｜｜2 · || y |｜2．

因此，｜  n  1 （x, en) · (y, en)* |  |｜ x ｜| · ｜｜ y ｜|．

1.6.13证明:（1） 因范数是连续函数,故C = { x  X ｜ ｜｜ x  x0 ||  r }是闭集． x， y C,因｜｜ x  x0 ||  r，｜| x  x0 ｜|  r ｝,故[0, 1]，

｜| （ x + （1 ） y ）  x0 |｜ = ||  ( x  x0 ） + (1 ) (y  x0） ｜|

 ||  ( x  x0 ） + （1 ） （y  x0） ｜|   |｜ x  x0 ｜| + （1 ） ｜｜ y  x0 ||   r + (1 ） r = r．

所以，C是X中的闭凸集．

(2） 当x  C时，y = x．显然y是x在C中的最佳逼近元． 当x  C时，y = x0 + r （x  x0）/｜| x  x0 ||．

zC，｜｜ x  y ｜| = ｜｜ ( x  x0  r （x  x0)/|| x  x0 |｜) || = |｜ (1  r/|| x  x0 ｜|） （x  x0） |｜ = |｜ x  x0 |｜  r． ｜｜ x  x0 ｜｜  ｜｜ z  x0 ｜|  |｜ x  z ||．

因此，y是x在C中的最佳逼近元．

1.6.14解：即是求e t 在span｛1, t, t 2}中的最佳逼近元 (按L2[0, 1]范数)． 将｛1, t, t 2}正交化为{1， t  1/2, （t  1/2)2  1/12 } （按L2[0, 1]内积） 再标准化为｛0（t）, 1(t)， 2(t)}，则所求的a k= （e t,  k（t）） = [0， 1］ e t k（t） dt，k = 0, 1， 2．

1。6。15证明：设g（x） = (x  a) （x  b)2，则g(a） = g （b） = 0，g’（a) = (b

 a）2,g’（b) = 0．

由Cauchy— Schwarz不等式，我们有 （［a, b］ ｜ f'’(x） |2 dx） · ([a， b] | g''（x) |2 dx)  ([a， b] f’'（x） ·g’'(x) dx )2．因g’'（x） = 3x  (a + 2b）,

故［a, b］ ｜ g'’(x） ｜2 dx = [a， b］ (3x  (a + 2b)）2 dx = (b  a)3； 又[a, b] f’'(x） ·g’’(x) dx = [a， b］ （3x  (a + 2b)) · f’’（x) dx = ［a， b] （3x  (a + 2b))d f'（x)

= （3x  (a + 2b）） · f’（x）｜ ［a， b］  3［a， b] f'（x） dx = 2（b  a)； 故（b  a）3 ·［a， b］ | f’'(x） |2 dx  （2（b  a））2 = 4(b  a)2． 所以［a， b] | f’’(x）|2 dx  4/(b  a）．

1。6。16 （变分不等式)证明:设f (x) = a（x, x)  Re（u0， x）．

则f （x） = a（x, x）  Re（u0, x）   || x ｜|2  ｜ (u0, x) ｜   |｜ x ｜|2  ｜| u0 ｜| · || x ||   ｜｜ u0 ||2/(4 ) 〉 ． 即f在X上有下界，因而f在C有下确界 = inf xC f (x)． 注意到a（x， y）实际上是X上的一个内积， 记它所诱导的范数为|| x |｜a = a(x， x）1/2，则|| · ||a与｜｜ · |｜是等价范数． 因此f (x） = a(x， x)  Re（u0, x) = |｜ x |｜a2  Re（u0, x）． 设C中的点列｛ xn ｝是一个极小化序列，满足  f （xn ） <  + 1/n （ n

+ ）．

则由平行四边形等式，

|| xn  xm |｜a2 = 2(｜｜ xn ｜｜a2 + || xm ||a2 ）  4|| (xn + xm)/2 ||a2

= 2( f （xn） + Re(u0, xn) + f （xm） + Re(u0， xm） ）  4（ f (（xn + xm)/2) + Re（u0， （xn + xm）/2)）

= 2( f (xn) + f （xm）)  4 f ((xn + xm)/2） + 2 Re（ (u0， xn) + (u0, xm）  （u0， xn + xm) )

= 2( f (xn) + f （xm））  4 f （（xn + xm）/2)  2（  + 1/n +  + 1/m ）  4  = 2(1/n + 1/m)  0 （ m, n   )．

因此|| xn  xm ｜｜2  （1/) |｜ xn  xm |｜a2  0 ( m， n   ）． 即｛ xn }为X中的基本列．

由于X完备，故{ xn ｝收敛．设xn x0 （ n   )． 则|| xn  x0 ||a2  M || xn  x0 ｜|2  0 （ m, n   ）． 而由内积a（ · ， · ， · )，( · ）的连续性,有 a( xn , xn ）  a（ x0 , x0 ），且(u0, xn)  (u0， x0），（ n   )．

因此f （xn） = a（xn， xn）  Re(u0， xn)  a（x0, x0）  Re(u0， x0) = f （x0），（ n   )．

由极限的唯一性，f （x0） =  = inf xC f (x）．

至此，我们证明了f 在C上有最小值．下面说明最小值点是唯一的． 若x0， y0都是最小值点，则交错的点列{ x0, y0， x0, y0， x0, .。。 }是极小化序列． 根据前面的证明，这个极小化序列必须是基本列， 因此，必然有x0 = y0．所以最小值点是唯一的． 最后我们要证明最小点x0C满足给出的不等式． xC,t［0, 1］，有x0 + t （ x  x0)C,因此有f （x0 + t （ x  x0)）  f (x0)． 即｜| x0 + t （ x  x0） ｜｜a2  Re（u0， x0 + t （ x  x0))  ｜｜ x0 |｜a2  Re(u0， x0)．

展开并整理得到t Re （ 2a(x0, x  x0）  （u0， x  x0） ）   t2 ｜｜ x  x0 ｜|a2． 故当t（0, 1］,有Re ( 2a(x0， x  x0)  (u0， x  x0） )   t ｜| x  x0 ｜｜a2． 令t  0就得到 Re ( 2a(x0, x  x0)  （u0， x  x0) ）  0．

2。1.2

2。1。3

2。1。4

2。1.5

2。1.6

2.1.7

2。1。8 2.1.9

2.2。2

2。2.5

2。3。1

2。3。3-2

2。3.4

2。3.5

2。3。7

2。3.8 2.3.9

2.3.11

2.3.12

2.3。13

2.3.14

2.4。4

2。4.5

2。4。6

2。4。7 2.4.8

2。4.9

2。4.10

2.4。11

2。4。12

2。4.13

2.4。14

2。5.4 2。5。5

2。5.7

2。5.8

2。5。10

2.5。12

2.5.18 2.5。20

2。5.22

2。6.1

2。6.2

2。6.3

2.6。4