2022-2023学年广东省惠州市惠城区重点中学九年级(下)期中数学试卷(含解析)

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 2023的相反数是( )A. 20231B. −20231C. 2023D. −2023

2. 搭载神舟十五号载人飞船的长征二号火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，该火箭的起飞

推力约600000𝑘𝑔，目前，神舟十五号航天员乘组状态良好，计划于2023年6月返回地面.将“600000”用科学记数法表示为( )

A. 0.6×106B. 60×104C. 6×105D. 6×1063. 如图，直线𝑎，𝑏被直线𝑐所截，𝑎//𝑏，若∠1=80°，则∠2=( )A. 10°B. 80°C. 100°D. 120°

4. 一组数据3，6，1，5的中位数是( )A. 6

B. 4

C. 3.5

D. 1

5. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷为𝐴𝐵的中点，

若𝐶𝐷=3，则𝐴𝐵=( )

A. 1B. 3.5C. 4D. 6

6. 下列计算正确的是( )A. (𝑎2)3=𝑎8B. (𝑎𝑏)3=𝑎𝑏3C. 𝑎3+𝑎3=𝑎6D. 𝑎3⋅𝑎2=𝑎5将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷放置在平面直角坐标系中，其中点𝐴的坐标为(−7. 如图，

1,2)，点𝐷的坐标为(2,2)，则点𝐶的坐标为( )

A. (−1,2)B. (2,1)

第1页，共20页

C. (2,−1)D. (−1,−1)

8. 下列数值不是不等式组−𝑥≥−1的整数解的是( )A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

{2𝑥+4>0

9. 关于二次函数𝑦=(𝑥−3)2−1，以下说法错误的是( )A. 开口向上C. 有最小值−1

B. 对称轴为直线𝑥=−3D. 与𝑦轴交点为(0,8)

10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，以点𝐵为圆心，𝐵𝐶长

为半径画弧，交线段𝐴𝐵于点𝐷；以点𝐴为圆心，𝐴𝐷长为半径画弧，交线段𝐴𝐶于点𝐸.若𝐴𝐸=2𝐸𝐶，则

𝐵𝐶=( )𝐴𝐶A. 43B.

5−12C. 21D. 125二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：𝑚−2(𝑚−𝑛)= ______ ．

12. 已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是______ ．

13. 小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高1.7𝑚的自己在

阳光下的影长是0.34𝑚，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是4𝑚，则旗杆高为______ ．

14. 若(𝑎−3)2+|𝑏+1|=0，则𝑎𝑏= ______ ．

15. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形,𝐴𝐵=2,𝐴𝐷=2 3，𝐸为平面内一点，

且∠𝐴𝐸𝐷=30°，连接𝐵𝐸，则𝐵𝐸的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (本小题8.0分)

先化简，再求值：(

𝑥2−4+1)÷𝑥，其中𝑥=3．

𝑥2+4𝑥+4第2页，共20页

17. (本小题8.0分)

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐷，求∠𝐵的度数．

18. (本小题8.0分)

为配合国家“全面推进乡村振兴重点工作”的，某农户在线上平台开设了网店销售荔枝和龙眼两种水果.如下表是两种水果的销售信息：(荔枝2𝑘𝑔/箱，龙眼2.5𝑘𝑔/箱) 商品成本(元/箱)售价(元/箱)

荔枝3048

龙眼4060

开始线上销售一个星期后，网店销售荔枝和龙眼共1150𝑘𝑔，获利9600元，这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱？

19. (本小题9.0分)

已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流𝐼(单位：𝐴)与电阻𝑅(单位：𝛺)是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求该品牌电动车电池的电压；

(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在7.2𝐴−8𝐴的范围，请你帮该小组确定这时电阻值的范围．

20. (本小题9.0分)

“双减”要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担.某初中为七年级学生规划了各科书面作业时间，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图所提供的信息，

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解答下列问题：

(1)七年级学生各科书面作业的时间总长为______ 分钟，其中历史科目在扇形统计图中的圆心角度数为______ 度；(2)请将图1补充完整；

(3)现准备对707班和708班进行关于𝐵数学或𝐶英语科目的实际书面作业时长的调研，请用树状图或列表法求出两个班恰好都被抽中𝐵数学科目调研的概率．

21. (本小题9.0分)

如图，𝐵𝐷为▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐷，分别交𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐵𝐶于点𝐸，𝑀，𝐹，连接𝐵

𝐸，𝐷𝐹．

(1)求证：四边形𝐵𝐹𝐷𝐸为菱形；

(2)若𝐵𝐷=24，𝐸𝐹=12，求四边形𝐵𝐹𝐷𝐸的周长．

22. (本小题12.0分)

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径作⊙𝑂，交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为𝐸．

(1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；(2)若𝐶𝐸=6，𝐴𝐸=2．①求𝐵𝐶的长；

②点𝑃为𝐵𝐶上一点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐴+𝑃𝐵是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．

12第4页，共20页

23. (本小题12.0分)

如图，抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3交𝑥轴于𝐴，𝐵两点，交𝑦轴于点𝐶，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶．(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；

(2)点𝑀为𝑦轴上一点，是否存在点𝑀，使得△𝑀𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶相似？若存在，请求出点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点𝑃为抛物线上一点(点𝑃与点𝐵不重合)，且使得△𝑃𝐴𝐶中有一个角是45°，请直接写出点𝑃的坐标．

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答案和解析

1.【答案】𝐷

【解析】解：2023的相反数是−2023．故选：𝐷．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】𝐶

【解析】解：600000=6×105．故选：𝐶．

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，且𝑛比原来的整数位数少1，据此判断即可．

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1≤|𝑎|<10，确定𝑎与𝑛的值是解题的关键．

3.【答案】𝐶

【解析】解：如图，∵∠1=80°， ∴∠3=80°，∵𝑎//𝑏，

∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°−80°=100°．故选：𝐶．

先利用对顶角相等得到∠3=80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2=180°可计算出∠2的度数．

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

4.【答案】𝐵

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【解析】解：将这组数据从小到大排列为：1，3，5，6，中间两位数是3，5，所以中位数为故选：𝐵．

根据中位数的定答即可．

本题考查了中位数的定义等，解题的关键在于能够熟知中位数的定义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

3+5=4．25.【答案】𝐷

【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷为𝐴𝐵中点．𝐶𝐷=3，∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=2×3=6，故选：𝐷．

根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

6.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴、(𝑎2)3=𝑎6，故A不符合题意；B、(𝑎𝑏)3=𝑎3𝑏3，故B不符合题意；C、𝑎3+𝑎3=2𝑎3，故C不符合题意；D、𝑎3⋅𝑎2=𝑎5，故D符合题意；故选：𝐷．

利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

7.【答案】𝐶

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【解析】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐴的坐标为(−1,2)，点𝐷的坐标为(2,2)，∴𝑂𝐸=2，𝑂𝐹=1，∴𝐶(2,−1)．故选：𝐶．

依据正方形的性质，即可得到𝑂𝐸=2，𝑂𝐹=1，进而得出点𝐶的坐标．

本题主要考查了平面直角坐标系以及正方形的性质的运用，解题时注意：点到𝑥轴的距离与纵坐标有关，点到𝑦轴的距离与横坐标有关．

8.【答案】𝐴

2𝑥+4>0①【解析】解：不等式组−𝑥≥−1②，由①得：𝑥>−2，由②得：𝑥≤1，

∴不等式组的解集为−2<𝑥≤1，∴不等式组的整数解为−1，0，1，则−2不是不等式组的整数解．故选：𝐴．

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可作出判断．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

{9.【答案】𝐵

【解析】解：∵𝑦=(𝑥−3)2−1，

∴其对称轴为𝑥=3，开口向上，顶点坐标为(3,−1)，∴函数有最小值−1，

故A、C正确，不合题意；B错误符合题意；令𝑥=0可得𝑦=(0−3)2−1=9−1=8，∴与𝑦轴的交点坐标为(0,8)，故D正确，不合题意；故选：𝐵．

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由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标，函数的最值；令𝑥=0可求得与𝑦轴的交点坐标；则可得出答案．

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．

10.【答案】𝐷

【解析】解：设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，∵𝐴𝐸=2𝐸𝐶，∴𝐴𝐸=𝐴𝐶=𝑏，

由题意得：𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝑏，𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝑎，∴𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝑏+𝑎，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，∴𝑏2+𝑎2=(𝑏+𝑎)2，解得：𝑎=∴

5𝑏，1223232323235𝐵𝐶𝑎125𝑏=𝑏==，𝐴𝐶12𝑏故选：𝐷．

设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，根据已知可得𝐴𝐸=𝑏，根据题意可得：𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝑏，𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝑎，从而可得𝐴𝐵=𝑏+𝑎，然后在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

23232311.【答案】−𝑚+2𝑛

【解析】解：𝑚−2(𝑚−𝑛) =𝑚−2𝑚+2𝑛 =−𝑚+2𝑛，故答案为：−𝑚+2𝑛．

先去括号，再进行整式的加减运算．

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此题考查了整式加减和乘法的运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．

12.【答案】10

【解析】解：正多边形的边数是：360°÷36°=10．故答案为：10．

正多边形的一个外角为36°，且每个外角都相等，根据多边形外角和为360°，可直接求出边数．此题考查正多边形的外角和，解题关键是正多边形的边数为

360°．

一个外角13.【答案】20𝑚

【解析】解：根据题意可得：设旗杆高为𝑥 𝑚．根据在同一时刻身高与影长成比例可得：故𝑥=20．

答：旗杆高为20米，故答案为：20𝑚．

利用在同一时刻身高与影长成比例计算．

本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．

𝑥1.7=4，0.3414.【答案】3 【解析】解：∵(𝑎−3)2+|𝑏+1|=0，∴𝑎−3=0，𝑏+1=0，解得𝑎=3，𝑏=−1，∴原式=3−1=．故答案为：．

先根据非负数的性质求出𝑎、𝑏的值，再代入所求代数式进行计算即可．

本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方相加或绝对值的和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键．

1313115.【答案】4 3 第10页，共20页

【解析】解：作△𝐴𝐷𝐸的外接圆⊙𝑂，作直线𝐵𝑂，交⊙𝑂于点𝐸′，连接𝐴𝐸′，𝐷𝐸′，此时∠𝐴𝐸′𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=30°，当𝐸与𝐸′重合时，𝐵𝐸最大，最大值为𝐵𝐸′的长，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸′，∵𝐵𝐸′是直径，∴∠𝐵𝐶𝐸′=90°，∵∠𝐵𝐶𝐷=90°，∴𝐷在𝐶𝐸′上，

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中,𝐴𝐵=2,𝐴𝐷=2 3，𝐴𝐵 3∴tan∠𝐴𝐷𝐵==，𝐵𝐷=

𝐴𝐷3𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=4，

∴∠𝐴𝐷𝐵=30°，∴∠𝐵𝐸′𝐶=∠𝐵𝐷𝐴，∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸′=90°，∴△𝐵𝐶𝐸′∽△𝐵𝐴𝐷，

𝐵𝐸′𝐵𝐶𝐵𝐸′2 3∴=，即=，

𝐴𝐵4𝐵𝐷2∴𝐵𝐸′=4 3，∴𝐵𝐸的最大值是4 3．故答案为：4 3．作△𝐴𝐷𝐸的外接圆⊙𝑂，作直线𝐵𝑂，交⊙𝑂于点𝐸′，连接𝐴𝐸′，𝐷𝐸′，此时∠𝐴𝐸′𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=30°，当𝐸与𝐸′重合时，𝐵𝐸最大，最大值为𝐵𝐸′的长，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸′，根据圆周角定理得出∠𝐵𝐶𝐸′=90°，即可证得𝐷在𝐶𝐸′上，解直角三角形𝐴𝐵𝐷求得tan∠𝐴𝐷𝐵=

𝐴𝐵 3=，𝐵𝐷=4，即可得到∠𝐵𝐸′𝐶=∠𝐵𝐷𝐴𝐷3𝐴=30°，从而证得△𝐵𝐶𝐸′∽△𝐵𝐴𝐷，由相似三角形的性质求得𝐵𝐸′的长即可．

本题考查了圆周角定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形相似的判断和性质等，当𝐵、𝑂、𝐸在一条直线时，𝐵𝐸值最大是解题的关键．

𝑥−4+1)÷𝑥 16.【答案】解：(𝑥2+4𝑥+42=[(𝑥+2)2=(

(𝑥+2)(𝑥−2)+1]÷𝑥

𝑥−2+1)÷𝑥 𝑥+2第11页，共20页

===

𝑥−2+𝑥+2÷𝑥 𝑥+22𝑥÷𝑥 𝑥+22，𝑥+2当𝑥=3时，原式=

22=． 3+25【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

17.【答案】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴∠𝐵=∠𝐶．∵𝐴𝐶=𝐷𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴．∵𝐴𝐷=𝐵𝐷，∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐷．∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶=∠𝐵．

∵∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=2∠𝐵，∴∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵．

∵∠𝐶+∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐵+2∠𝐵+2∠𝐵=5∠𝐵=180°，∴∠𝐵=36°．

【解析】由等腰三角形的性质，分析各角之间的关系，进而求解．

本题难度不大，主要考查等腰三角形的性质，里面相等的角比较多，要注意区分．

：设这个星期网店销售荔枝𝑥箱，龙眼𝑦箱，则这个星期网店销售荔枝2𝑥 𝑘𝑔，龙眼2.518.【答案】解𝑦 𝑘𝑔，

2𝑥+2.5𝑦=1150

由题意得：(48−30)𝑥+(60−40)𝑦=9600，𝑥=200

解得：𝑦=300，

答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱．

{{第12页，共20页

【解析】设这个星期网店销售荔枝𝑥箱，龙眼𝑦箱，则这个星期网店销售荔枝2𝑥 𝑘𝑔，龙眼2.5𝑦 𝑘𝑔，根据网店销售荔枝和龙眼共1150𝑘𝑔，获利9600元，列出二元一次方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

19.【答案】解：(1)由电流𝐼(单位：𝐴)与电阻𝑅(单位：𝛺)是反比例函数关系，设𝐼=𝑅，

把(3,16)代入得：16=，解得𝑈=48，

∴该品牌电动车电池的电压为48𝑉；(2)由(1)知𝐼=

48，𝑅248=6，

37.2𝑈3𝑈当𝐼=7.2𝐴时，𝑅=当𝐼=8𝐴时，𝑅=

48=6，823∴电阻值的范围是6𝛺−6𝛺.

【解析】(1)由电流𝐼(单位：𝐴)与电阻𝑅(单位：𝛺)是反比例函数关系，设𝐼=，用待定系数法可得𝑈=48，即该品牌电动车电池的电压为48𝑉；(2)求出当𝐼=7.2𝐴时，𝑅=

24848=6，当𝐼=8𝐴时，𝑅==6，即可得到答案．

387.2𝑈𝑅本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．

20.【答案】80 22.5

【解析】解：(1)七年级学生各科书面作业的时间总长为：20÷25%=80(分)，历史科目在扇形统计图中的圆心角度数为：故答案为：80，22.5；

(2)𝐶组的人数为：80−25−20−5−5=25(人)，补全统计图：

5×360°=22.5°．80第13页，共20页

(3)列树状图如下：

由表可知总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个班恰好都被抽中𝐵数学科目调研的结果为1种，

∴两个班恰好都被抽中𝐵数学科目调研的概率为．(1)根据𝐵组的人数和所占的百分比，可以计算出各科书面作业的时间总长，然后计算𝐸组的百分比，再计算圆心角度数即可；

(2)利用总人数即可计算出𝐶组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)列出树状图解答即可．

此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

1421.【答案】(1)证明：∵𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐷，

∴𝐵𝑀=𝐷𝑀，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴𝐵𝐶//𝐴𝐷，∴∠𝐹𝐵𝑀=∠𝐸𝐷𝑀，在△𝐹𝐵𝑀和△𝐸𝐷𝑀中，

{∠𝐹𝐵𝑀=∠𝐸𝐷𝑀𝐵𝑀=𝐷𝑀，∠𝐵𝑀𝐹=∠𝐷𝑀𝐸

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∴△𝐹𝐵𝑀≌△𝐸𝐷𝑀(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐹𝑀=𝐸𝑀，

∴四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是平行四边形，∵𝐵𝐹=𝐷𝐹，

∴四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形．(2)解：∵𝐵𝐷=24，𝐸𝐹=12，

∴𝐵𝑀=𝐷𝑀=𝐵𝐷=12，𝐹𝑀=𝐸𝑀=𝐸𝐹=6，∵∠𝐵𝑀𝐹=90°，

∴𝐵𝐹= 𝐵𝑀2+𝐹𝑀2= 122+62=6 5，∵四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形，

∴𝐵𝐹+𝐵𝐸+𝐷𝐹+𝐷𝐸=4𝐵𝐹=4×6 5=24 5，∴四边形𝐵𝐹𝐷𝐸的周长是24 5．

【解析】(1)由平行四边形的性质得∠𝐹𝐵𝑀=∠𝐸𝐷𝑀，可证明△𝐹𝐵𝑀≌△𝐸𝐷𝑀，得𝐹𝑀=𝐸𝑀，则四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是平行四边形，由线段的垂直平分线的性质得𝐵𝐹=𝐷𝐹，则四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形；(2)由𝐵𝐷=24，𝐸𝐹=12，得𝐵𝑀=𝐷𝑀=12，𝐹𝑀=𝐸𝑀=6，而∠𝐵𝑀𝐹=90°，则𝐵𝐹=

1212𝐵𝑀2+𝐹𝑀2=6 5，因为四边形𝐵𝐹𝐷𝐸是菱形，所以四边形𝐵𝐹𝐷𝐸的周长为4×6 5=24 5．

此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△𝐹𝐵𝑀≌△𝐸𝐷𝑀是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐷、𝐴𝐷，如图：

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，𝑂𝐴=𝑂𝐵，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，

第15页，共20页

∵𝑂𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中位线，∴𝑂𝐷//𝐴𝐶，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，∴𝐷𝐸⊥𝑂𝐷，∵𝑂𝐷是⊙𝑂的半径，∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；

(2)解：①若𝐶𝐸=6，𝐴𝐸=2，则𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，∵∠𝐴𝐷𝐵=90°，∴∠𝐴𝐷𝐶=90°，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，

∴∠𝐷𝐸𝐶=90°=∠𝐴𝐷𝐶，∵∠𝐶=∠𝐶，∴△𝐷𝐸𝐶∽△𝐴𝐷𝐶，∴

𝐷𝐶𝐶𝐸=，𝐴𝐶𝐶𝐷∴𝐶𝐷2=𝐶𝐸⋅𝐴𝐶=6×8=48，∵𝐶𝐷>0，∴𝐶𝐷=4 3，∴𝐵𝐶=2𝐶𝐷=8 3，即𝐵𝐶的长为8 3；②点𝑃为𝐵𝐶上一点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐴+𝑃𝐵有最小值，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷=𝐶𝐷=4 3，cos∠𝐵𝐴𝐶=

𝐵𝐷4 3 3==，𝐵𝐴8212∴∠𝐴𝐵𝐶=30°，

∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=4，∠𝐵𝐴𝐷=60°，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，则𝑃𝐺=𝑃𝐵，

延长𝐴𝐷到点𝐹，使𝐹𝐷=𝐴𝐷=4，则𝐵𝐶上任意一点𝑃到点𝐴与点𝐹的距离都相等，即总有𝑃𝐹=𝑃𝐴，由两点之间，线段最短可知：当点𝐹在直线𝑃𝐺上时，𝑃𝐹+𝑃𝐺的长最小，从而𝑃𝐴+𝑃𝐵的长最小，最小值为线段𝐹𝐺的长，

121212第16页，共20页

此时，在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺中，𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹=8，𝐹𝐺=𝐴𝐹⋅sin∠𝐵𝐴𝐷=8×

12 3=4 23，即𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值为4 3．

【解析】(1)连接𝑂𝐷、𝐴𝐷，由“直径所对的圆周角是直角”得∠𝐴𝐷𝐵=90°，即有𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得𝐵𝐷=𝐶𝐷，从而得出：𝑂𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中位线，由三角形中位线定理得𝑂𝐷//𝐴𝐶，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得𝐷𝐸⊥𝑂𝐷，根据切线的判定定理得证；

(2)①由题意证明△𝐷𝐸𝐶∽△𝐴𝐷𝐶，求出𝐶𝐷，从而得出结论；

②在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，由边角关系可以求出∠𝐴𝐵𝐶=30°，从而得出：𝐴𝐷=𝐴𝐵=4，∠𝐵𝐴𝐷=60°，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐴𝐵于点𝐺，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得𝑃𝐺=𝑃𝐵，延长𝐴𝐷到点𝐹，使𝐹𝐷=𝐴𝐷=4，则由线段垂直平分线的性质可知：𝐵𝑂上任意一点𝑃到点𝐴与点𝐹的距离都相等，即总有𝑃𝐹=𝑃𝐴，由“两点之间，线段最短”可知：当点𝐹在直线𝑃𝐺上时，𝑃𝐹+𝑃𝐺的长最小，从而𝑃𝐴+𝑃𝐵的长最小，最小值为线段𝐹𝐺的长，此时，在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺中，由边角关系即可求出最小值．

本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．

12121223.【答案】解：(1)对于𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，当𝑥=0时，𝑦=3，

令𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=0，则𝑥=−1或3，

即点𝐴、𝐵、𝐶的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)、(0,3)，则△𝐴𝐵𝐶的面积=×𝐴𝐵×𝑂𝐶=×4×3=6；

1212第17页，共20页

(2)存在，理由：

由点𝐴、𝐶、𝐵的坐标得，𝐴𝐶= 10，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3 2，如图1，当𝑀𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶相似时，则△𝐵𝐶𝐴∽△𝐶𝑀𝐵，

则

4𝐵𝐶𝐴𝐵2=，即3= 2，𝐶𝑀𝐵𝐶3𝐶𝑀则𝐶𝑀=，则𝑂𝑀=−3=，则点𝑀(0,−)；

32923292(3)点𝑃与点𝐵不重合，则∠𝐴𝑃𝐶不为45°，当∠𝑃𝐴𝐶为45°时，如图2，

设𝐴𝑃交𝑦轴于点𝐻，过点𝐻作𝐻𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁，由点𝐴、𝐶的坐标知，tan∠𝐴𝐶𝑂=

𝐴𝑂1=，𝐴𝐶= 𝐶𝑂310，故设𝐻𝑁=𝑁𝐴=𝑡，则𝐶𝑁=3𝑡，则𝐴𝐻= 2𝑡，

10则𝐴𝐶=4𝑡= 10，则𝑡=，

4则𝐴𝐻=

2𝑡=5，而𝑂𝐴=1，

21则𝑂𝐻= 𝐴𝐻2−𝑂𝐴2=，2第18页，共20页

则点𝐻(0,)，

由点𝐴、𝐻的坐标得，直线𝐴𝐻的表达式为：𝑦=𝑥+，联立上式和抛物线的表达式得：𝑥+=−𝑥2+2𝑥+3，解得：𝑥=−1(舍去)或，则点𝑃的坐标为：(,)；当∠𝐴𝐶𝑃=45°时，如图3，

即∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐴𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝑃=45°=∠𝑂𝐶𝑃+∠𝐵𝐶𝑃，即∠𝐵𝐶𝑃=∠𝐴𝐶𝑂，

则tan∠𝐵𝐶𝑃=tan∠𝐴𝐶𝑂=，

设直线𝐶𝑃交𝑥轴于点𝑇，过点𝑇作𝑇𝐾⊥𝐵𝐶于点𝐾，在△𝐵𝑇𝐶中，∠𝐶𝐵𝑇=45°，tan∠𝐵𝐶𝑃=，𝐶𝐵=3 2，故设𝐾𝑇=𝐾𝐵=𝑡，则𝐶𝐾=3𝑡，𝐵𝑇= 2𝑡，

2则𝐵𝐶=3𝑡+𝑡=32，则𝑡=3，

121212121252572413134则𝐵𝑇= 2𝑡=，则点𝑇(,0)，

由点𝐶、𝑇的坐标得，直线𝐶𝑇的表达式为：𝑦=−2𝑥+3，联立上式和抛物线的表达式得：−2𝑥+3=−𝑥2+2𝑥+3，解得：𝑥=0(舍去)或4，则点𝑃的坐标为：(4,−5)；

综上，点𝑃的坐标为：(,)或(4,−5)．

【解析】(1)由△𝐴𝐵𝐶的面积=×𝐴𝐵×𝑂𝐶，即可求解；(2)当𝑀𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶相似时，则△𝐵𝐶𝐴∽△𝐶𝑀𝐵，得到

4𝐴𝐵𝐵𝐶2=，即3= 2，进而求解；𝐶𝑀𝐵𝐶3𝐶𝑀3232572412(3)当∠𝑃𝐴𝐶为45°时，利用解直角三角形的方法求出𝑂𝐻，进而求解；当∠𝐴𝐶𝑃=45°时，同理可解．此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求

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解析式，还考查了解直角三角形和三角形相似等，分类求解是解决问题的关键．

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