函数及其表示方法(课时1)教案

函数的基本概念

●知识点回顾

一、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

1定义域：自变量的取值范围.

（1）如果只给出解析式y=f(x)，没有指明它的定义域，则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合；

（2）函数的定义域通常由问题的实际背景确定.

2对应关系：是函数的核心，对自变量实施对应操作的程序或方法.

3值域：对于定义域A内的函数，其值域就是指集合{f(x)| x∈A }.

三、函数相等：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.

1．相等函数的图象完全相同，因此，又是可以借助于函数的图象来判断；

2．值域是由定义域和对应关系决定的，值域不同时，两函数比不相等；

3．两个函数相等时，与自变量和函数值的字母无关.

例1. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ×

2（2）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = x √

四、区间与无穷大

1.区间

（1）概念：设a，b是两个实数，且a满足不等式a≦x≦b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

满足不等式a满足不等式a≦x（2）表示：在数轴上表示区间时：属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示.

2.无穷大：实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），其中符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”， “+∞”读作“正无穷大”.

（1）区间是集合的一种符号语言，因此区间与区间之间以及区间与集合之间可以用集合符号来连接，或进行区间之间的并、交、补运算.

如[-1,4]∪[0,6]∩[1,7]=[-1,6]∩[1,7]=[1,6].

（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一段时，这一段必须是小括号.

（3）区间内的数，左边必须小于右边.

例2. 用区间表示集合：{x|x=1或2解：{x|x=1或2五、求函数定义域的一般方法（使得函数式子有意义）

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数R

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

(5)应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。

例3. 求下列函数的定义域：

1x|x|；

（1）

f(x)f(x)111x；

（2）

2f(x)x4x5. （3）

六、求函数的值域

1.观察法：结构并不复杂的函数，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知函数的值域求函数的值域.

如函数

y11x2的值域是{y|02.配方法：二次函数y=ax+bx+c(a≠0).注意“定义域”.

22如函数y=x-2x+3的值域，y=x-2x+3=(x-1)+2，故所求值域为[2，+∞].

3.换元法：将函数通过换元转化为容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y=ax+b+cxd(a，b，c，d均为常数，ac≠0)的函数常用此法. 注意“新元”的取值范围.

例4.求函数y2x41x的值域

解：设 t1x，则 t≥0 x=1t2

代入得 y=f (t )=2×(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4， ∵t≥0 ∴y≤4.

cxdaxb.

4.分离常数法：形如

y例5.求函数

y2x1x1(1解：

y1332x12x2332x1x1x1，∵ 1ax2bxcy2dxexf(d≠0)，注意检验分母为0时，函数的对应值. 5.判别式法：形如

x25x6y2xx6的值域. 例6.求函数

解：去分母得 (y1)x2+(y+5)x6y6=0 (*)，

当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)≥0，由此得 (5y+1)2≥0，

1∵定义域 { x| x2且 x3} ∴

y5，y1

综上所述，函数

yx25x61x2x6的值域为 { y| y1且 y5}. 6.反表示法

x1例7.求函数

yx2(x1)的值域.

x12y12解：

yx2xy11y，因x1，即1y1，解得2y1.

●例题精讲

题型一：函数的定义

例11.下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？（1）f：把x对应到3x+1；

（2）g：把x对应到|x|+1；

1（3）h：把x对应到x；

（4）r：把x对应到x. 解：（1）是.（2）是. （3）不是.（4）不是.

题型二：函数相等

例12. 判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？

(x3)(x5)x3 y2x5；

（1）

y12f(x)xg(x)x（2）；

（3）y12n1(nZ) y22n1(nZ)；

33（4）f(x)x F(x)x.

解：1.不是同一函数，定义域不同.

2.不是同一函数，值域不同.

3.不是同一函数，对于关系不同.

4.是同一函数.

题型三：求函数的值及函数的解析式

1f()例13.已知：f(x)=，求：f(1)；x； f(x1).

111f()22解：f(1)=22+3=5.x=(x)x+3.

f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3.

12x，g(x)x4，求：

例14. 已知

f(x)（1）f[g(1)]，g[f(1)]的值；

（2）f[g(x)]，g[f(x)].的表达式.

13，g[f(1)]g(1)5.

解：（1）

f[g(1)]f(5)（2）

f[g(x)]11111g[f(x)]f(x)4442g(x)2(x4)x2. 2xx2.

题型四：求函数的定义域

例15.求下列函数的定义域：

（1）f(x)4x21；

（2）

f(x)x23x4x12.

2解：（1）4x13x3，∴f(x)4x21定义域为[3，3].

2x3x40x4或x1x120x3且x1x3或3x1或x4. （2）∴函数

f(x)x23x4x12的定义域为：{x|x3或3x1或x4}.

题型五：求函数的值域

例16.求下列函数的值域

2yx2x3的值域； x（1）若为实数，求（2）

yxx1；

2y24xx（3）. 22yx2x3(x1)23. xx0解：（1）为实数（2）

yx1111(0)x1x1x1.

222（3）4xx00x404xx4024xx2.

题型六：含参数的函数的定义域

2yaxbx18的定义域为[3,6]，求a，b的值. 例17.已知函数

22(x3)(x6)0x3x180x3x180，所以a1，b3. 解：由题意得

2ymx6mxm8的定义域为R，求实数m的取值范围. 例18.已知函数

2解：由题意得mx6mxm80，

2（1）当m0时，mx6mxm80成立，

m0m0236m4m(m8)0，解得0m1， 0m0（2）当时，

综上所述0m1.

题型七：含参数的函数的值域

x2ax2y2xx1的值域为(,2)的a的取值范围. 例19.求使函数

x2ax2解：x2x12x2ax22x22x2x2(a2)x400，

(a2)2160，解得6a2

b例20.若函数

f(x)axx21的值域为[1,4]，求实数a，b的值.

b解：设

yaxx21yx2axyb0，

当y0时，显然成立，

当y0时，a24y(yb)0，

4y2bya20，又1y4， 1,4是方程4y2bya20的两根，由韦达定理的a4，b3.

题型八：抽象函数

例21.已知函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)，则下列各式不恒成立的是（A.f(0)0 B.f(3)3f(1) C.f(12)12f(1) D.f(x)f(x)0

例22.已知函数f(x)满足对任意的xR都有f(12x)f(12x)2成立，则

f(12678)f(8)f(8)f(8)7

）.

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