2016_2017学年高中数学模块质量检测北师大版选修1_1

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．与命题：“若a∈P则b∉P”等价的命题是( ) A．若a∉P，则b∉P C．若a∉P，则b∈P

B．若b∉P，则a∈P D．若b∈P，则a∉P

解析： 原命题的逆否命题是“若b∈P，则a∉P”． 答案： D

2．条件甲：“a、b、c成等差数列”是条件乙：“＋＝2”的( ) A．必要不充分条件 C．充要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

acbb解析： 甲⇒/乙，如a＝－1，b＝0，c＝1； 乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件． 答案： A

3．曲线f(x)＝x＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( ) A．(1,0)

C．(1,0)和(－1，－4) 解析： f′(x0)＝3x0＋1＝4， ∴x0＝±1. 答案： C

4．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

412A.C.

＋＝1 1612＋＝1 164

2

3

B．(2,8)

D．(2,8)和(－1，－4)

x2y2

x2x2

y2

B．＋＝1 1216D．＋＝1

416

x2y2

y2x2y2

解析： 双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．

412124

x2y2x2y2

y2x2222

所以对椭圆2＋2＝1而言，a＝16，c＝12.∴b＝4，

ab因此方程为＋＝1.

164答案： D

12

5．函数y＝4x＋的单调递增区间为( )

y2x2

x 1

A．(0，＋∞) B．(－∞，1) D．(1，＋∞)

1C.，＋∞ 2

解析： 由已知定义域为{x|x≠0}，

1

1

y′＝8x－2，令y′＞0得x＞，故选C.

x2

答案： C

6．若k可以取任意实数，则方程x＋ky＝1所表示的曲线不可能是( ) A．直线 C．椭圆或双曲线

B．圆 D．抛物线

2

2

2

2

解析： 本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax＋By＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x＋ky＝1不可能表示抛物线．

答案： D

132

7．函数f(x)＝－x＋x在区间[0,4]上的最大值是( )

3A．0 4C. 3

2

2

2

16B．－

316D．

3

解析： f′(x)＝2x－x，令f′(x)＝0，解得x＝0或2. 416

又∵f(0)＝0，f(2)＝，f(4)＝－，

334

∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为. 3答案： C

x2y23x2y2

8．若椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线2－2＝1的离心率为( )

ab2ab5

A. 43C. 2

B．

5 25 4

D．

x2y23b223b21

解析： 因为椭圆2＋2＝1的离心率e1＝，所以1－2＝e1＝，即2＝，而在双曲

ab2a4a4x2y2b21552

线2－2＝1中，设离心率为e2，则e2＝1＋2＝1＋＝，所以e2＝.故选B. aba442

答案： B

2

9．已知f(2)＝－2，f′(2)＝g(2)＝1，g′(2)＝2，则函数 处的导数为( )

5A．－ 4C．－5

解析： 令h(x)＝则h′(x)＝5B． 4D．5

gx

(f(x)≠0)在x＝2fx

gx

， fx

g′xfx－f′xgx

，

f2x

5

∴h′(2)＝－.故选A.

4答案： A

10．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，如果p且q、非q同时为假，则满足条件的x为( )

A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z} C．{－1,0,1,2,3}

解析： ∵p且q假，非q为假， ∴p假q真，排除A，B，p为假， 即|x－1|＜2，

∴－1＜x＜3且x∈Z.∴x＝0,1,2. 答案： D

11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆x＋(y－2)＝1都相切，则双曲线C的离心率是( )

A.3或

6

2

B．2或3 236D．或

32

2

2

B．{x|－1≤x≤3，x∉Z} D．{0,1,2}

C.

23

或2 3

解析： 设圆的两条过原点的切线方程为y＝kx. 由

2

k2＋1

＝1得k＝±3.

bc当＝3时，e＝＝aaac当＝3时，e＝＝ba答案： C

b21＋2＝2. ab2231＋2＝. a3

3

12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′(x)g(x)＋

f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(0,3)

解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)²g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.

所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案： D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 71313．曲线y＝x－2在点－1，－处切线的倾斜角是________．

33

解析： y′＝x，则曲线在x＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.

答案： 45°

14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c＝4，e＝＝2，故a＝2，所以b＝c－a＝12， 双曲线的方程为－＝1.

412答案：

2

ca222

x2y2

x2

4

－

＝1 12

y2

π15．函数f(x)＝x＋2cos x在区间－，0上的最小值是________． 2

解析： ∵f′(x)＝1－2sin x， 1

令f′(x)＞0，∴sin x＜.

21π当x∈－，0时，sin x＜0＜， 22

π即f′(x)在－，0上恒大于0，

2π∴f(x)在区间－，0上为增函数， 2

ππ∴f(x)min＝f－＝－.

22π

答案： －

2

4

16．已知：

①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；

③命题“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A∩B＝A，则AB”的逆否命题．

其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a＝(1,1)，b＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a≠b.

③命题“若m≤1，则x－2x＋m＝0”是真命题．这是因为当m＜0时Δ＝(－2)－4m＝4－4m＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．

④若A∩B＝A，则A⊆B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数

2

2

2

a的取值范围．

解析： ∵¬p是¬q的必要不充分条件， ∴q是p的充分不必要条件．

a≤1，

∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴

a＋2≥2，

∴0≤a≤1.

x2y2y2

18．(12分)已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线2mm－15x2

－＝1的离心率e∈(1,2)，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围． m15＋m解析： p：0＜2m＜1－m⇒0＜m＜，q：1＜＜2⇒0＜m＜15，

35

p且q为假，p或q为真⇒p假q真，或p真q假．

1m≤0或m≥

3p假q真⇒

0＜m＜15

10＜m＜

3q假p真⇒

m≤0或m≥15

1

⇒≤m＜15， 3

m∈∅.

5

1

综上可知≤m＜15.

3

19．(12分)已知动圆过定点，0，与直线x＝－相切，其中p＞0，求动圆圆心的轨

22

迹方程．

pp解析： 如图，设M为动圆圆心，，0记为点F.

2

p

过点M作直线x＝－的垂线，垂足为N，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到

2

p定直线x＝－的距离相等，由拋物线的定义，知点M的轨迹为拋物线，其中F，0为其焦

22

点，x＝－为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y＝2px(p＞0)． 2

20．(12分)已知函数f(x)＝2ax＋bx－6x在x＝±1处取得极值．

(1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x＝－2处的切线方程． 解析： (1)f′(x)＝6ax＋2bx－6， 因为f(x)在x＝±1处取得极值，

所以x＝±1是方程3ax＋bx－3＝0的两个实根．

22

3

2

ppp2

b－＝0，3a所以3

－3a＝－1，

3

a＝1，

解得

b＝0.

所以f(x)＝2x－6x，

f′(x)＝6x2－6.

令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1； 令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.

所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．

(2)由(1)得f(－2)＝－4，f′(－2)＝18，即f(x)在x＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y－(－4)＝18[x－(－2)]， 即18x－y＋32＝0.

6

923

21．(12分)设函数f(x)＝x－x＋6x－a.

2

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围． 解析： (1)f′(x)＝3x－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．

因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x－9x＋(6－m)≥0恒成立，

3

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，

43

即m的最大值为－.

4

(2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0； 当x＞2时，f′(x)＞0.

5

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；

2当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，

故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 5

解得a＜2或a＞.

2

22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c＞0)，x2

2

a轴上有一点A，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a为长半轴长，过点A的直线与该椭圆相交c

于P，Q两点．求：

(1)该椭圆的方程及离心率； →→

(2)若OP²OQ＝0，求直线PQ的方程．

2

x2y2

解析： (1)依题意可设椭圆的方程为2＋＝1(a＞2)，

a2a－c＝2，

由已知得a2c＝2－c，c

x2y2

2

2

a＝6，

解得

c＝2.

6

所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝.

623(2)由(1)可得点A(3,0)，

由题意知直线PQ的斜率存在，设为k， 则直线PQ的方程为y＝k(x－3)，

7

22

由方程组x6＋y2

＝1，

k2＋1)x2－18k2x＋27k2

－6＝0，

y＝kx－3，

得(3依题意知，Δ＝12(2－3k2

)＞0，得－63＜k＜6

3

. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 18k2

2

则x27k－6

1＋x2＝3k2＋1，x1x2＝3k2＋1

，

从而得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)， 于是y2

1y2＝k(x1－3)(x2－3)． 因为→OP²→

OQ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0， 解得5k2

＝1，从而k＝±

55∈－63，63

， 所以直线PQ的方程为x－5y－3＝0或x＋5y－3＝0.

8