高中数学分数指数幂教案(二)新课标 人教版 必修1(B)

三维目标 一、知识与技能

1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.

2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.

二、过程与方法

1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养. 2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性. 3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.

三、情感态度与价值观

1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.

2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.

3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.

教学重点

1.分数指数幂的含义的理解. 2.根式与分数指数幂的互化. 3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点

1.分数指数幂概念的理解. 2.有理指数幂的运算和化简. 教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程

一、回顾旧知，探索规律，引入新课

师：上节课学习了n次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）

3①532=________；②481=________；③210=________；④312=________.

生：①2 ②3 ③25 ④34.

师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？ （组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）

10=25=2212=34=33210，3312.

师：你对上面的总结是什么呢?

生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.

师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？ （生思考片刻，师继续阐述）

师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计

算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.

二、讲解新课

（一）分数指数幂的意义

3师：a2，b，4c5等通过类比可以写成什么形式？说明了什么问题?

生：a，b，c.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式. 师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）

n规定：正数的正分数指数幂的意义是a=am（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.

231254mn师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？

1（a≠0，n∈N*）. na师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？

（组织学生讨论交流，得出如下结论）

正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.

生：负整数指数幂的意义为an=

－

规定：a

mn=

1amn=

1nam（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.

我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？

合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a＞0的合理性）

1若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31得出不同的结果：（－1）32和（－1）6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可

=

321=－1；（－1）6=6(1)2=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无

意义.

方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子a=a（a＞0）中，若无a＞0这个条件，a=|a|；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，(2)=－2=－2.

知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上. （二）有理数指数幂的运算法则

师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.

（生口答，师板书）

对于任意的有理数r、s，均有下面的运算性质：

53533232232335①aras=ar+s（a＞0，r、s∈Q）； ②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈Q）； ③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈Q）. （三）例题讲解

1－16【例1】 求值：8；25；（）5；（）4.

281（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）

23123解：8=（23）25（

12232323×3=212()2=22=4；

－

=（52）

12=5=51=

1； 51－5－－

）=（21）5=25=32； 23324(4)2－27164（）=（）=（）3=.

33818【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：

3a3·a；a2·a2；

3a.

（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a3·a=a3·a=aa2·a2=a2·a=a

313312312=a； ；

122372232238=a3a=（a·a）=（a）=a.

1243方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）： （1）（2ab）（－6ab）÷（－3ab）； （2）（mn

1438231212131656）8.

121213解：（1）（2ab）（－6ab）÷（－3ab）=［2×（－6）÷（－3）］a（2）（mn

1438231656211326b

115236=4ab0=4a；

）8=（m

14）8（n

38－

）8=m2n3=

m2. n3【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425；

（2）

a2aa32（a＞0）.

解：（1）（25－125）÷25=（5－5）÷5=5÷5－5÷5=5－5；

（2）

34233212231232122132－5

3122=5－5=6516a2a3a2=

a21a22a3122=a236=a=a5.

56三、巩固练习

课本P63练习：1，2，3.

（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：1.a=a；a=a；a

2312344335=

15a3；a

23=

13a2.

232.（1）x=x；（2）4(ab)=（a+b）；（3）3(mn)=（m－n）； （4）(mn)4=（m－n）=（m－n）2； （5）（6）

42323342pqm3m65165

=（pq）212=p

612q

51253=|p|q2；

=m

3=m.

352662163623.（1）（）=［（）2］2=（）3=；

773434912（2）23×31.5×612=2×3×（）3×（22×3）6=233×3236=2×3=6；

33121111111（3）aaa

13121438=a

11132483=a8（a＞0）；

11()1314－333（4）2x（x－2x）=2××x－2×2×x33=x0－4x1=1－.

22x四、课堂小结

师：本节课你有哪些收获?能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.

（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义

n规定：正数的正分数指数幂的意义是a=am（a＞0，m、n∈N*，且n＞1）.

212mn正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a=n∈N*，且n＞1）.

我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

mn1amn=

1nam（a＞0，m、

2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.

3.有理数指数幂的运算法则

①aras=ar+s（a＞0，r、s∈Q）； ②（ar）s=ars（a＞0，r、s∈Q）； ③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r、s∈Q）. 五、布置作业 板书设计

2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

1.分数指数幂的意义

0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算法则 3.例题讲解与学生训练 4.课堂小结 5.布置作业