高中数学(北师大版,必修2)：1章末质量评估(含答案)

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(每小题5分，共50分) 1．下列命题：

①在平面外的直线与平面不相交必平行； ②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；

③如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行； ④若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面． 其中正确命题的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①正确，②③④错误． 答案 A

2．下列各图中a∥b的关系只可能是( )．

解析 图C中，a，b位于两相交直线所确定的平面内，即a，b共面，其余各图a，b均不共面，不可能平行． 答案 C

3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形

解析 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形． 答案 C

4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )． A．异面 B．相交

C．平行 D．异面或相交

解析 如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都与a、b相交，AB、AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面．

答案 D

5．视图中，正(主)视图和侧(左)视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如下图)，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是( )．

A．12＋42 B．8＋42 C．2＋82 D．6＋42

解析 由几何体的三视图，画出原几何体的直观图，如图所示，该直三棱柱底面是等腰直角三角形．

AA′＝BB′＝CC′＝2，AC⊥BC且AB＝22.∴AC＝BC＝2. 1

∴S表＝2×2×2＋22×2＋2×2×2×2＝12＋42，故选A. 答案 A

6．把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是( )． 3315A．a B.2a C.4a D.4a

解析 如图所示，在翻折后的图形中，∠BDC为二面角的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面

BDC.过D作DE⊥BC于E，连接AE，则E为BC中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC3a3

的距离．易知AD＝2a，△BCD是边长为2的等边三角形，所以DE＝4a，AE＝AD2＋DE215＝4a.

答案 D

7．下列命题中正确的有( )．

①圆台的所有平行于底面的截面都是圆；②圆台是直角梯形绕其一边旋转一周而成的；③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线一定是圆台的母线；④圆台可看成是由平行于底面的平面截圆锥得到的． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析 本题主要考查圆台的有关概念，正确理解圆台的特点是关键．由圆台特点知④正确，对于①截面是圆面；对于②，当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时，形成的不是圆台；由圆台的母线延长后交于一点知③错．故选A. 答案 A

8．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( )． A．平行 B．异面

C．垂直 D．相交但不垂直

解析 分直尺所在直线在地平面内，直尺所在直线和地面垂直，直尺所在直线和地面相交三种情况讨论． 答案 C

9．已知点A，直线a平面α.

①A∈a，aα⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α； ③A∉a，aα⇒A∉α；④A∈a，aα⇒Aα. 以上命题表达正确的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3

解析 ①中当a与α相交，且交点为A时，①不正确；②中“a∈α”符号运用不正确；③中A

可以在α内，也可以在α外；④中符号“Aα”错． 答案 A

10．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是( )． A．梯形

B．菱形

C．平行四边形 D．任意四边形

解析 如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG，而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行．所以四边形EFGH是梯形．

答案 A

二、填空题(每小题5分，共30分)

11．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

4

解析 设球的半径为r cm，则πr2×8＋3πr3×3＝πr2×6r. 解得r＝4. 答案 4

12．正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是________．

解析 由题意知，四边形EFGH是矩形， 11

EH＝FC＝2AB＝2，

1

EF＝HG＝2PC，

33

又∵点P在△ABC外，且P在△ABC上的射影是△ABC的中心，∴PC＞3，∴EF＞6， 13

∴S矩形EFGH＝EF·FG＝2EF＞12， 3∴S的取值范围是，＋∞.

123

答案 ，＋∞

12

13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

解析 该几何体为底面是直角梯形的四棱柱，V＝答案 3

14．如图所示，MN∥α，MM1⊥α，NA与α斜交于点A.且NA⊥MN，若MN＝a，M1A＝b，NA＝c，则M1N的长为________．

1＋2×2

×1＝3. 2

解析 作NN1⊥α交于点N1，连接M1N1，则MNN1M1为矩形，M1N1＝MN＝a，连接N1A，由NA⊥MN得，

N1A⊥M1N1，∴N1A＝b2－a2， ∴NN1＝c2－b2－a2 ＝c2－b2＋a2，

M1N＝a2＋c2－b2＋a2 ＝2a2－b2＋c2. 答案

2a2－b2＋c2

15．ABCD是矩形，PD⊥面AC，AD＝3，DC＝1，PC与平面AC成45°角，则平面ABP与平面PCD所成的角是________． 解析 如图，由矩形ABCD，可知 AB∥CD.

由线面平行的判定定理，AB∥平面PDC.

再由线面平行的性质定理知AB∥l(l为平面PAB与平面PDC的交线)． ∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥DC，∴PD⊥l.

又∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，PD∩AD＝D， ∴AB⊥平面PAD.∵PA平面PAD， ∴AB⊥PA.∴l⊥PA.

∴∠APD为平面ABP与平面PCD所成角的平面角． 又∵PC与平面ABCD成45°角，PD⊥平面ABCD， ∴∠PCD＝45°，

∴PD＝DC＝1.又AD＝3，

3

∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝1＝3. ∴∠APD＝60°. 答案 60°

16．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为________．

解析 如图，画出圆台轴截面，由题设，得∠OPA＝30°，AB＝2a，设O1A＝r，PA＝x，则OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r，∴a＝r，即两底面圆的半径分别为a,2a.

答案 a、2a

三、解答题(共4小题，共40分)

17．(10分)求棱长为a的正四面体外接球的半径．

解 设正四面体A-BCD的高为AO1，外接球球心为O，半径为R.如图． ∵正四面体的棱长为a，

323

∴O1B＝2a×3＝3a. 在Rt△AO1B中，

2AO1＝AB2－BO1＝

63

a2－a2＝3a.

3

在Rt△OO1B中， 2

OO1＝R2－

2

322aa＝R－3. 3

6

∴AO1＝3a＝R＋ 6

∴R＝4a.

a2R－3. 2

18．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥E-ABC的体积V.

(1)证明 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，

∴EF∥BC.

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC∥AD， ∴EF∥AD.

又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD. (2)解 连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G. 1

则EG⊥平面ABCD，且EG＝2PA.

在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2， 2∴AP＝AB＝2，EG＝2. 11

∴S△ABC＝2AB·BC＝2×2×2＝2， 1121∴VE-＝S·EG＝×2×＝. △ABC

3ABC323

19．(10分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：

(1)PD⊥平面ABCD； (2)平面PAC⊥平面PBD；

(3)∠PCD为二面角P-BC-D的平面角． 证明 (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a， ∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD， 又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

(2)由(1)知，PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB.同时AC平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBD. (3)由(1)知PD⊥BC， 又BC⊥DC， ∴BC⊥平面PDC， 又∵PC平面PDC， ∴BC⊥PC.

∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角．

20．(10分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD. (1)求线段PD的长；

(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．

解 (1)∵BD是圆的直径， ∴∠BAD＝90°. 又∵△ADP∽△BAD，

ADDPAD2BDsin 60°2∴BA＝AD，故DP＝BA＝BDsin 30°＝34R2×4

1＝3R. 2R×2

(2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos 45°＝2R， ∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2， ∴PD⊥CD，又∵∠PDA＝90°＝∠DAB， ∴PD⊥底面ABCD.

1

∵S△ABC＝2AB·BCsin(60°＋45°)

3＋113212

＝2R×2R×＋×＝4R2，

2222∴三棱锥P-ABC的体积为

3＋123＋1311

VP-＝×S×PD＝×R×3R＝ABC

3△ABC344R.