四川省绵阳市第一中学2020年高一数学文下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=∴cosα=﹣故选A

=﹣

．

，

【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

1.

=（ ）

4. △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=（A）

（B）

（C）

（D）

，b=sinB，则a等于（ ）

A． B． C． D．

参：

参：

D

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可． 【解答】解：故选：D

=

，

5. （5分）已知函数f（x）=

A．

﹣4

B．

0

C．

4

，求f（0）的值（） D．

2

D

参：

B

考点： 函数的值；分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．

=（ ）

解答： 函数f（x）=

f（0）=f（0+2）=f（2）=2﹣4=0． 故选：B．

点评： 本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力．

6. 函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x+1，则当x<0时，f（x）的表达式为（ ） A.

B.

C.

D.

2

2. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值为( )．

A．4 B．8 C．15 D．31 参： C 略

3. 已知α是第二象限角，

A． B． C． D．

，

参：

A

【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】三角函数的求值．

【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．

1 / 5

参：

B

7. 同时抛两枚硬币，则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是（ ）

A.1／2 B. 1／3 C.1／4 D.2／3

参：

A 略

8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移

个单位 D. 向右平移

个单位

参：

C 【分析】 化简函数

，然后根据三角函数图象变换知识选出答案.

【详解】依题意

，故只需将函数

的图象向左平移

个单位.所以选C.

【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.

9. 设

，则

的大小关系是

（A）

（B）

（C）

（D）

参： C

10. 平面向量a与b的夹角为，， 则

（A） (B)

(C) 4 (D)12

参： B

解析：由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 函数，的单调递增区间为______________．

参：

略

12.

参：

13. 已知，则的取值范围是_________

参：

【分析】

利用两角和、差的正弦公式建立不等式关系进行求解即可。

2 / 5

【详解】 ，

又

即

综上可得：

【点睛】本题考查利用两角和、差的正弦公式的应用，关键是根据所给的，

想

到两角和、差的正弦公式。 14. 如果

，则

=___________；

参：

135

15. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.

参：

37

由题意知抽号的间隔为5，所以在第八组中抽得号码为。

16. 函数y=sin（

+x）cos（

﹣x）的最大值为 ．

参：

【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．

【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．

【解答】解：y=sin（+x）cos（﹣x）=﹣cosxcos（

﹣x）

=﹣cosx=

= =≤

，

当2x+

=2kπ+

，k∈Z时，即x=kπ+，k∈Z时，取得最大值．

故答案为：

．

17. 已知，则=___________________

参：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （本小题满分12分）一商店经销某种货物，根据销售情况，进货量为5万件，分若干次等量进货（设每次进货件），每进一次货需运费50元，且在销售完该货物时立即进货，库存费以每件每年20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量应是多少？

参：

设一年的运费和库存费共

元， ------1

由题意知，=10000，------9

即当=500时，

------11

故每次进货500件，一年的运费和库存费最省。 ------12 19. 【本题满分16分】

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列．

（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；

3 / 5

（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn； （3）对于（2）中的dn、Sn，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值．

16.

参：

解：（1）由题意知a(m,n)＝1＋(n－1)dm．

∴a(2,n)－a(1,n)＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)， 同理，a(3,n)－a(2,n)＝(n－1)(d3－d2)， a(4,n)－a(3,n)＝(n－1)(d4－d3)，…， a(n,n)－a(n－1,n)＝(n－1)(dn－dn－1)． 又∵a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列， ∴a(2,n)－a(1,n)＝a(3,n)－a(2,n)＝···＝a(n,n)－a(n－1,n)

故d2－d1＝d3－d2＝···＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列. ∴dm＝d1＋(m－1) (d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2

令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1,p2是m的多项式） 此时p1＋p2＝1.

························4￠

（2）当d1＝1,d2＝3时，dm＝2m－1

数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，… 按分组规律，第m组中有2m－1个奇数， ∴第1组到第m组共有1＋3＋5＋···＋(2m－1)＝m2个奇数.

∵前k个奇数的和为

1＋3＋5＋···＋(2k－1)＝k2，∴前

m2个奇数的和为

m4.

∴(cm)4＝m4，∵cm＞0∴cm＝m，∴2cm·dm＝(2m－1)·2m

························6￠

∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋···＋(2n－3)·2n?1＋(2n－1)·2n．

2Sn＝ 1·22＋3·23＋···＋(2n－5)·2n?1＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n+1．

相减得：－Sn＝2＋2·22＋2·23＋···＋2·2n?1＋2·2n－(2n－1)·2n+1． ＝2×(2＋22＋23＋···＋2n)－2－(2n－1)·2n+1． ＝2×2(2n－1)－2－(2n－1)·2n+1＝(3－2n)·2n+1－6 ∴Sn＝(2n－3)·2n+1＋6；

························10￠

（3）由（2）得dn＝2n－1,Sn＝(2n－3)·2n+1＋6. 故不等式(Sn－6)＞dn等价于(2n－3)·2n+1＞50(2n－1). 即f (n)＝(2n－3)·2n+1－50(2n－1)＝(2n－3)·(2n+1－50)－100. 当n＝1,2,3,4,5时，都有f (n)＜0，即(2n－3)·2n+1＜50(2n－1) 而f (6)＝9×(27－50)－100＝9×(128－50)－100＝602＞0

∵当n≥6时，f (n)单调递增，故有f (n)＞0.

∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即(Sn－6)＞dn成立. ∴满足条件的所有正整数N＝5,6,7,···,20．

························16￠

20. 一直线 l 过直线 l1：2x﹣y=1 和直线 l2：x+2y=3 的交点 P，且与直线 l3：x﹣y+1=0 垂直． （1）求直线 l 的方程；

（2）若直线 l 与圆 C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求 a．

参：

【考点】圆的切线方程．

【分析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线 l 的方程；

（2）若直线 l 与圆 C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，a＞0且C到直线l的距离为，由此即可

求 a．

【解答】解：（1）由解得P（1，1）…

又直线l与直线l3：x﹣y+1=0垂直，故l的斜率为﹣1 所以l：y﹣1=﹣（x﹣1）… 即直线l的方程为x+y﹣2=0…（4分 （2）由题设知C（a，0），半径

…

因为直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为

…

∴

得a=6或a=﹣2（舍） …

4 / 5

∴a=6．…

21. 求函数在区间

上的最大值和最小值，并加以证明

参： 解析：在

上任取

-----------------------------------（2分）

---------------------------------（6分）

，

。又

同理

，

在

上是减函数。-----------------------------------（8分）时

有最大值：

时有最小值-------------------------------------------------------（12分）22. 的三条边长为，证明.

参： 证明：由于

只要证：

……①

注意：

故由①，只要证

……②

，

取等号当且仅当

此时

为正三角形，即

5 / 5