第３０卷 哈尔滨师范大学自然科学学报 第５期 ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥＳ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 三维大气污染反应扩散方程模型术 陈英杰，刘玉良，刘 萍 （哈尔滨师范大学） 【摘要】主要以２０１３年１０月份哈尔滨雾霾事件为背景，对哈尔滨的雾霾天 气进行了模拟，根据污染的情况，建立了具有Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值条件的三维反应扩散方 程数学模型，并应用分离变量法得到其解析解． 【关键词】哈尔滨雾霾天气；反应扩散方程；分离变量；解析解 合实际数据的测量得到污染状况等结论 ．该 ０ 引言 文则是以空间三维污染为研究对象进行了污染 随着现代工业和交通运输的发展，人类向大 的模型模拟，利用边值条件应用分离变量法求出 气中持续排放的污染物数量越来越多，种类越来 了解析解． 越复杂，使得污染问题变得日趋严重¨ Ｊ，引起 大气成分发生急剧的变化．当大气正常成分之外 的物质达到对人类健康、动植物生长以及气象气 候产生危害的时候，就说大气受到了污染．大气 污染源就是大气污染物的来源，主要有以下三 个：工业是大气污染的一个重要来源；生活炉灶 与采暖锅炉；汽车、火车、飞机、轮船烧煤或石油 产生的废气也是重要的污染物．随着空气质量的 图１哈尔滨雾霾天气图 恶化，雾霾天气现象出现增多，危害加重．譬如 ２０１３年１０月２１日，哈尔滨正式开始供暖，由于 １ 模型的假设及建立 供暖导致燃煤污染物排放量增加，哈尔滨遭遇了 为了更加真实的模拟出大气污染的情况，考 严重的雾霾天气，多区域空气污染指数“爆表”， 虑污染物的扩散对大气的影响，建立三维大气污 哈尔滨气象台持续发布雾霾橙色警报，其中，早 染模型 ７ Ｊ 上７时ＰＭ２．５指数已达８７２ ｔ￣ｇ／ｍ ．哈尔滨部分 ＝ｔＤ Ｎ ＋Ｄ２Ｎ ＋Ｄ３Ｎ 一ＫＮ— Ｎｘ—ｖＮ 区域的能见度不足２０ ＩＴＩ．恶劣天气致使学校停 一（ＤⅣ２＋ （ ，Ｙ，ｚ，ｔ） ． 课、机场关闭，部分公共交通线路停运．因此，大 进行模拟．这里Ｎ（ ， ， ）为有害污染物的浓度， 气污染事故危害预测是应急的关键难题＿４ Ｊ．而大 Ｄ 、 ：、 ，分别是ｘ，ｙ、 轴方向上的扩散系数， 气污染受到世界各国学者的普遍关注，国内外的 为吸收衰减系数且Ｋ＞０，（ ， ，Ｗ）是不变的风 专家和学者从不同的角度进行了大量的基础研 向量， （ ， ， ，ｔ）是（ ，Ｙ， ）在ｆ时刻单位体积单 究，但是大多以某一具体的地区作为考察点，结 位时间污染物的排放量。假设任取空间一闭曲面 收稿日期：２０１３—０３—２Ｏ 哈尔滨师范大学大学生实践创新基金；国家自然科学基金（１ｌ１０１ｌ１０）；黑龙江省新世纪人才项目（１２５１一ＮＣＥＴ一００２）；黑龙江省留 学归国人员科学基金项目（ＬＣ２０１３ＣＯ１）；哈尔滨师范大学大学生实践创新团队资助 ２ 哈尔滨师范大学自然科学学报 ２０１４年第３０卷 ｓ所围区域为 ，有害污染物在大气中吸收衰减． ｔ≥０， ，Ｙ，ｚ： ∈［０，Ｌ１］，Ｙ∈［０，Ｌ２］，ｚ∈［０， ＪＬ ］．由重积分的意义知道，通过Ｓ从￡到ｔ＋△ 时 间内流入 的污染物质量为： ＝染点在（ ， ，ｚ）＝（ｆ ，ｆ：，２，）处，同时假设整个大 气中没有其它污染物，设 Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，０）＝ 【。。（ｆ１．ｆ２１ ｚ３）（ ，Ｙ， ） 『０，（ ，Ｙ， ）≠（ｆＩ，２２，ｆ３） ，Ⅲ（Ｄ Ｎｘｃｏｓ ＋Ｄ２Ｎｙｃ。 ＋ （ ， ，ｚ）＝（ｆ１，２２，Ｚ３） 这里 Ｄ３Ｎ：ｃｏｓｔ ｄＳｄｔ 其中ｃｏｓ 、ｃｏ 、ＣＯＳＴ是ｓ的外法向余弦．由高斯 公式得： Ｊ一 Ｊ一 Ｊ一 （ ，Ｙ，ｚ）ｄ ｄｙｄｚ＝１， ０＜ｌ ＜Ｌ ，ｉ＝１，２，３ 这样得到一个完整的线性偏微分方程组： Ｍ ＝ｆ＼＼＼ｔＤ Ｎ ｘ ＋Ｄ２Ｎ ＋Ｄ３Ｎ ｄｘｄｙｄｚｄｔ Ｎ ＝Ｄ 七Ｎ ＋Ｎ １一 ｘ＋Ｎ ＋Ｎ：１一ＫＮ， 由于吸收衰减，在ｔ到ｔ＋△￡时间内 内污染物质 减少量为： Ｍ２：ｆ Ｙ ｚ№ｄｙｄｚｄｔ 由于空气流动，污染物随风从ｔ到ｔ＋△ 时间内飘 动流出５的质量为： ｆ＋ Ｍ３＝＼＼＼ ｅｏｓ仪＋ｕＮｃｏｓｐ＋ｏ）Ｎｃｏｓｙ）ｄｓｄｔ 其中（／ｚ， ， ）是不变的风向量，由高斯公式得： ｃ＋△￡ Ｍ３：ｆ＼＼＼（、 Ｎ ＋ｖＮｙ十ｏｊｌＶ￣）ｄｘｄｙｄｚｄｔ 由ｓ内从ｔ到ｔ＋△ 时间内共排放出污染物质量 为： ￡＋△ｌ Ｍ４：＼ Ｙ ｔ）ｄｘｄｙｄｚｄｔ 从另一个角度看，由于浓度变化引起的ｒ内质量 增加量为： ＼ｆｆ￣Ｎ（Ⅵ＇ｚ，ｔ＋ａｔ） Ｎ Ｙ ｄｙｄｚ＝ｆ姒Ｎｔｄｘｄｙｃｌｚｄｔ 由质量守恒定律得： Ｍ５＝Ｍｌ—Ｍ２～Ｍ３＋ 由△￡，ｔ， 的任意性得大气污染的数学模型为： Ｎ ：Ｄ ＬＮ ｘ＋Ｄ２Ｎｗ＋Ｄ３Ｎ 一ＫＮ—ＩＸＮ 一ｖＮ 一ｗＮｚ＋ （ ，Ｙ，ｚ，ｔ） 为方便起见，令 Ｄ１＝Ｄ２＝Ｄ３：Ｄ，ｔｘ ｕ＝（ｏ＝ ，０＝０ 边值条件为： Ⅳ（０，Ｙ，。，ｔ）＝Ｎ（Ｌ１，Ｙ，ｚ，ｔ）＝０， Ⅳ（ ，０， ，ｔ）＝Ⅳ（ ，Ｌ２，ｚ，ｔ）＝０， Ｎ（ ，Ｙ，０，ｔ）＝Ⅳ（ ，Ｙ，Ｌ３，ｔ）＝０． 假设污染源在ｔ＝０时刻，且为瞬间点源，污 ０＜ｘ＜‘，０＜ ＜ ，０＜ｚ＜ ，ｔ≥０ Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，０）＝Ａ ， （）ｃ，Ｙ，ｚ）， ｆ ｌ ０＜Ｘ＜厶，０＜ ＜ ，０＜ｚ＜厶 Ⅳ（ｏ，ｙ，ｚ，ｆ）＝Ⅳ（厶，Ｙ，ｚ，ｔ），０＜ｙ＜ ，０＜ｚ＜厶 Ｎ（Ｘ，０，Ｚ，ｆ）＝№ ，ｚ，ｆ），０＜ ＜厶，０＜ｚ＜厶 Ⅳ ，ｏ，ｆ）＝ＪＶ 厶，，Ｊ’０＜ ＜厶，０＜Ｊ，＜ ２ 模型的求解 对方程组（１）应用分离变量的方法求解，假 设 Ｎ（ ，Ｙ， ，ｔ）＝Ｕ（ ，Ｙ，ｚ）Ｖ（ｔ） 有 （ ） ：Ａ — Ａ为一常数，这样，就得到一个以ｔ为自变量的方 程和一个以 ，Ｙ，ｚ为自变量的方程： ：Ａ ｄｔ Ｄ（ ＋ ＋ ）一 （ ＋ ＋ ）＝ （Ａ＋ ）Ｕ 由Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值条件得到方程组： Ｄ（ 十 ＋ ）一ｎ（ ＋ ＋ ） ＝（Ａ＋Ｋ）Ｕ Ｕ（０，Ｙ， ）＝Ｕ（Ｌ ，Ｙ， ） Ｕ（ ，０， ）＝Ｕ（ ，Ｌ２， ） Ｖ（ｘ，ｙ，０）＝ｕ（ｘ，），，Ｌ３） （２） 对方程组（２）继续应用分离变量的方法求解，假 设 ｕ（ｘ，Ｙ， ）＝ （ ）Ｅ（Ｙ）Ｙ（ ） 那么有 第５期 三维大气污染反应扩散方程模型 ３ 。 而Ｗｘｘ＋而Ｅｙｙ＋ （ ＋ ＋ 拟计算，并取得了丰硕的成果，对大气污染的防 治起到了重要作用．该文以２０１３年１０月份哈尔 滨雾霾天气事故为背景进行了大气污染的模拟， 根据情况应用三维反应扩散方程模型进行此次 高）＝（Ａ＋ ） 设Ａ＋Ｋ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ ３，再由Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值条件 得到方程组 事故的模拟，并且该文的模拟还考虑了污染物的 衰减情况，在构造模型时加入了衰减项进行研 究，更加符合实际情况．在求解三维反应扩散方 程模型时，根据模型情况和边值条件应用变量分 ｊ．Ｄ 一 —Ａ ａ Ｗ（ ）＝ｏ 【ｗ（ｏ）＝Ｗ（Ｌ１）＝０ （３） （４） ｆＤＥ＂一“Ｅ，一Ａ Ｅ（ ）＝０ ｒＥ（０）＝Ｅ（Ｌ ）＝０ 离法求解方程．将定解问题的解表示成单变量函 数之积，代人偏微分方程化为带参数的常微分方 程，进而求出了解析解，令污染的预测更加接近 真实情况． 大气污染模型具有广泛的研究前景，还有许 ｆＤ 一 —Ａ・ｙ（ ）＝０ 【Ｙ（０）＝Ｙ（Ｌ３）＝０ （５） 综上求解为 Ｕｍ（ ，ｙ，ｚ）＝咖。 （ ）咖 （Ｙ）咖。 （ｚ） 多问题有待研究．如果技术条件允许、数据充分， 可以进一步讨论有化学反应项的模型，那么可以 更加精确的预测大气污染物的浓度变化，从而在 制定防范措施时达到更好的效果． 又由Ｖｍ（ｔ）＝ｅ ‘，其中 Ａ ＝Ａ１ ＋Ａ２ ＋Ａ ３ 一Ｋ， 因此模型解为 Ｎ（ｘ，Ｙ，ｚ，ｆ）＝∑Ｃｍ４，１ 咖２ ３ ｅ‘ 。ｍ¨ ｍ“ ｍ ｎ ［１］ 刘永红，余志，田丰，等．一种线源扩散模型的建立及算法 其中 ，ＯＩＡｔ ——‘大气２９（１０）：１３－１ ５． 污染物浓度的预报 Ｃｍ＝ 筹 １ ２ 咖１ｍ（ｚ１） ２ｍ（ｚ２） ３ｍ（１３）， ２ｍ ［３］ 李松炳，汪丽华．开发区外场中距离大气扩散模式对城区 影响研究［Ｊ］．环境科学与技术，２００４，２７（４）：４９—５１． “ ’ ’ ‘ ［Ｊ］．环境科学与技术，２ｏｏ６，２９（１１）：４３—４５ ．ｒｈ ｅ ｓｉｎ １ｍ — ｎ￡ ｉ１ ， ：ｅ ｓｉｎ ａ ｉ ‘ ｍｑＴ１，ｒ ｙ ２ ［４］ 密保秀，李金龙．大气环境质量预测模型研究［Ｊ］．环境科 西 ：ｅ ３ｓｉｎ＿ｍ＇ｆ ’… ＝一学究，１９９７，１０（５）：３９－４２． ［５］ Ｇｏｋｈａｌｅ Ｓ，Ｋｈａｒｅ Ｍ．Ａ ｈｙｂｒｉｄ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｃａｒｂｏｎ Ｌ３ 扫（ ） ＿１’２，３）， …ｍｏｎｏ．ｘｉ ｄｅ ， ．ｍ ｕ 口 一Ｄ’２ ［６］Ｖａｒｏｔｓｏｓ Ｃ，Ｋｏｎｄｒａｔｙｅｖ Ｋ，Ｅｆｓｔａｔｈｉｏｕ Ｍ．Ｏｎ ｔｈｅ ｓｅａｓｏｎａｌ ｖａｒ－ ｉａｔｉ。ｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｚｏｎｅ ｉｎａｔｈｅｎｓ…Ｇｒｅｅｃｅ Ａｔｍｏｓｐｈｅｒｉｃ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，２００１，３５（２）：３１５—３２０． ３ 结论与展望 大气污染是世界头号环境治理难题．国内外 众多学者对各种大气污染情况进行了大量的模 ［ ］李树文，史建武，等・近地面大气污染模拟模型的建立与应 Ａ Ｔｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉ肺ｓｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ Ａｉｒ Ｐｏｌｌｕｔｉｏｎ Ｃｈｅｎ Ｙｉｎｇｊｉｅ，Ｌｉｕ Ｙｕｌｉａｎｇ，Ｌｉｕ Ｐｉｎｇ （Ｈａｒｂｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｈａｚｅ ｗｅａｔｈｅｒ ｉｎ Ｈａｒｂｉｎ ｉｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｎ ｈａｚｅ ｅｖｅｎｔｓ ｉｎ Ｏｃｔｏｂｅｒ ２０１３ ｉｎ Ｈａｒｂｉｎ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｌｕｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｇａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈａｒｂｉｎ ｈａｚｅ ｗｅａｔｈｅｒ；Ｒｅａｃｔｉｏｎ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ；Ａｎａｌｙｔｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ （责任编辑：李家云）
