三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点

作AB和AC的中垂线，交于O点 则由中垂线性质可知AO=BO，AO=CO 故BO=CO

过O作BC的垂线，垂足为D，则由BO=CO与OD=OD可证得Rt三角形ODB全等于Rt三角形ODC

故BD=CD，即OD为BC的中垂线 则AB和AC、BC的中垂线都交于O

B D O C A

证明：三角形三个内角角平分线必交与一点

设三角形ABC，首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点，设为D，分别过点D作三边垂线，AB BC AC上的垂足为E F G 由角平分线定理，DE=DF，DE=DG

所以DF=DG，由逆定理，CD也为角平分线

A E G D B F C

证明：三角形三边高线必交于一点

1如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG延长交BC与F，现在要证明AF⊥BC。

由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以∠DAG=∠DEG 同理有DEBC四点共圆，所以有∠BCD=∠DEG

所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=90度 所以AF⊥BC

所以三条高交与一点。 A D E G C B F

2利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 1.塞瓦定理的逆定理

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

3.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点

证明：三角形三边中线必交于一点

三角形ABC的中线BE和CD交点O，连接 并延长AO交BC于F，证明：F是BC中点。 作BG平行DC交AO延长线于G 则因D为AB中点,所以O为AG中点

连接GC,则在三角形AGC中,OE是中位线 OE平行GC

所以BOCG为平行四边形 F平分BC，F是BC中点。

A D O E B F C G