九年级数学上册21.2解一元二次方程教案

《配方法》解一元二次方程教学案例

教学目标

【知识与技能】

使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】

经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】

通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

教学重点难点

【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程

教学过程设计

（一）创设情境 导入新课

导语一（1）你能解哪些一元二次方程？

（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

（3）解方程x2+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x2+12x-15=0转化为上面方程的形式吗？

导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x2- x +=(x+ )2；

3、若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。

导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？

你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？

（二）合作交流 解读探究 1、配方法

要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各

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是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。）

2

即：设场地宽xm，长(x+6)m。根据矩形面积为16m，列方程x(x+6)=16，2

即x+6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。）

2

（思考）怎样解方程x+6x-16=0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x2+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x2+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。）

x2+6x-16=0 移 项

x2+6x=16 两边都加上9（即(

62

)）使左边配成 2 x2+2bx+b2的形式 左边写成平方形式

(x+3)2=25 降次

x+3=±5 解一次方程

x+3=5,x+3=-5

x1=2，x2=-8 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

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2、用配方法解一元二次方程的一般做法

（1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项； （2）方程的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；

（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；

（4）如果右边是非负数，两边直接开平方，解这个一元二次方程。 （三）应用迁移 巩固提高

类型之一 用配方法解一元二次方程

【例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。） （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0 解：（1）移项，得x2-10x=-24 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6，x2=4

（2）整理，得2x2+5x-8=0。 移项，得2x2+5x=8

二次项系数化为1得x2+x=4，

52545452配方，得x2x()24()2 (x+)2=

5489， 165489， 4由此可得x+=±

x1=

589589， x2= 44（3）移项，得3x2-6x=-4

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二次项系数化为1，得x2-2x=-，

4343配方，得x2-2x+12=-+12,

13(x-1)2=-

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。（注：本次活动，教师应重点关注：1、学生对待解问题和已解问题的对比、分析能力；2、给予学生一定的时间去思考，争取让学生自主得出结论；3、鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解）。

解下列方程：

（1）x2-8x+1=0； （2）2x2+1=3x； （3）4x2-6x-3=0

【分析】（1）把x-8x+1=0移项，得x-8x=-1，两边都加一次项系数的一半的平方，得x2-8x+42=-1+42，

即(x-4)2=15，再开平方即可求出方程的解。

（2）先移项化为2x2-3x+1=0,再方程两边同时除以2，得x2-x+=0，再移项，配方。

（3）两边同时除以4，把二次项系数化为1，再移项，配方。

（1）配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边经为非负数，然后用开平方法求解。

（2）配方的关键是“方程两边加上一次项系数一半的平方”

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2

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类型之二 二次三项式的配方

【例2】填空：(1)x+6x+_______=(x+3)；(2)x-5x+______=(x-______)； (3)x+x+______=(x+)；(4)x+px+______=(x+______)。（学生练习，教师巡视，适当辅导，然后由学生回答，师生一起纠正，然后归纳。）

【归纳】左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项系数的一半。

【答案】(1)32；(2)()2 ；(3)()2；(4)(

525223P2P) . 222

2

2

2

2

4323222

【例3】用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式。 (1)-3x2-6x+1；(3)y2+y+2；(3)0.4x2-0.8x-1.

13132313解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-)=-3(x2+2x+12-12-) = -3=-3(x+1)2+4 (2)y2y2(y2231423132312111y3)[y2y()2()23] 23244=[(y)2492149](y)2. 163424(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4 =0.4(x-1)2-1.4

【点评】化二次三项式ax2+bx+c(a≠0)为a(x+h)2+k形式分以下几个步骤。 （1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1.

（2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方。

（3）化简、整理

（4）本例题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础。

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（四）总结反思 拓展升华

1.本节学习的数学知识是用配方法解一元二次方程。

2.本节学习的数学方法是①转化思想.②根据实际问题建立数学模型。 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【分析】(1)把二次项系数化为1；方程的两边同时除以二次项系数。 (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

(3)配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b的形式。

(4)用直接开平方法解变形的方程(x+a)2=b的形式。

用配方法证明：多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。

【分析】欲证2x4-4x2-1>x4-2x2-4，即证(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)>0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)值的大小即可。

证明：(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4) =x4-2x2+3=(x2)2-2x2+1+2=(x2-1)2+2>0

【点评】比较A，B两数的大小，常用作差法。

当A-B>0，则A>B；当A-B=0，则A=B；当A-B<0，则A鼓励学生从事观察、应用、推理等活动，帮助学生有意识地积累数学应用的经验，教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察——想象——应用——归纳（有条理地表达）”的过程，使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质。

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