建立空间直角坐标系,解立体几何题

立体几何重点、热点：

求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．

常用公式: 1、求线段的长度：

ABABx2y2z2x2x12y2y12z2z12|PMn||n|

2、求P点到平面的距离：PN,（N为垂足，M为斜足，n为平面的法向量）

3、求直线l与平面所成的角：|sin||PMn||PM||n|，（PMl,M,n为的法向量)

4、求两异面直线AB与CD的夹角：cos|ABCD||AB||CD|

5、求二面角的平面角：|cos||n1n2||n1||n2|,（ n1，n2为二面角的两个面的法向量）

6、求二面角的平面角：cosS射影S，（射影面积法）

7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面内的任意两个向量，n(x,y,1)为的法向量，

an0则由方程组，可求得法向量n．

bn0

1

高中新教材9(B）引入了空间向量坐标运算这一内容,使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析,只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化.而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系.

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系.

例1. (2002年全国高考题）如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1,而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0a2）。 （1）求MN的长； (2）当a为何值时，MN的长最小；

（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小.

解：(1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，由CM=BN=a,M(

22a,a1) 22DMPENAxFy2222a,0，1a),N（a,a，0） 2222zC∴ MN =（0，

∴ MN=(22a2a1)2() 22221=(a)（0a2)

22221(2）由（1）MN=(a)

22所以，当a=

2时，MN2B=min2， 22. 2即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时,MN的长最小，最小值为(3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，

所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。

1111MN的长最小时M（,0，),N（，,0）

2222

2

由中点坐标公式P（

111，，），又A（1，0，0），B（0，0，0) 244111111∴ PA=（，-,—),PB=（—，-，-)

244244∴ cos∠APB=

PAPBPAPB=

111141616=—

333881∴ 面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos

3例2.(1991年全国高考题）如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是AB﹑AD的中点,GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

解:建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz， 由题意 C(0，0，0）,G（0，0，2）,E（2，4,0），F(4，2，0），B(0，4，0）

∴ GE=（2，4，-2），GF=（4，2，-2），BE=（2，0,0） 设平面EFG的法向量为n=（x，y，z），则n⊥GE，n⊥GF， z2x4y2z0得4x2y2z0，

11令z=1,得x=，y=,

3311即n=（，，1），

33DFAEyBGxCGC在n方向上的射影的长度为 d =BEBEnBEn=BEnn=

2=211 31111199例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC— A1B1C1中CA=CB=1， ∠BCA=900,棱A A1=2,M﹑N分别是A1B1﹑A1 A的中点.

（1）求BN的长; （2） 求cosBA（3）求证：A1B⊥C1M 1,CB1；

解:建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0）,

11N（1，0，1),A1（1,0,2)，B1(0，1，2）,C1（0，0,2），M（，，2)

22

3

（1）BN=（1，-1，1), 故BN=3；

z（2)CB1=（0，1，2)，BA1=（1，-1,2） ∴ cosBA1,CB1=

C1A1CMB1BA1CB1BA1CB1 1430==

1065ByNA(3）A1B=（-1, 1，—2），

11C1M=(，，0）

22x ∴ A1B•C1M= —1×

∴ A1B⊥C1M

11+1×+(—2）×0=0 22二﹑利用图形中的对称关系建系。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对

称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题.

例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB,E为VC的中点,高OV为h 。

（1）求cosBE,DE； （2）记面BCV为α，面DVC为β,若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED 。

解：（1)由题意B（a，a,0)，

aahD(—a，-a，0），E（-，，）

2223aah∴ BE=（-，—，）,

222a3ahDE=（，，）

222 cosBE,DE=

zVEDOA4 CyBBEDEBEDE

x

=

3a23a2h2444 22225ah5ah24246a2h2 = 2210ah（2） ∵ V（0，0,h),C（-a，a，0）

∴VC=（—a，a，- h）

又 ∠BED是二面角α-VC-β的平面角 ∴ BE⊥VC，DE⊥VC

223a2a2h22h2h即 BE·VC=--= a-=0， a=

2222216a2h2代入 cosBE,DE==- 22310ah1即∠BED=π—arccos

3 三﹑利用面面垂直的性质建系。

有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系.

例5。 (2000年全国高考题） 如图，正三棱柱ABC— A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a .

（1） 建立适当的坐标系，并写出A﹑B﹑A1﹑C1的坐标； （2） 求 AC1与侧面AB B1A1所成的角。 解：（1）如图,以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，以经过原点且与ABB1A1垂直的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系。

由已知得：A（0，0,0），B（0，a,0）,A1(0,0,2a），C1（-a3a，，2a）

22 5

（2)取A1B1的中点M，于是有M（0， MC1=（-

a，2a）,连AM﹑MC1有 23，且AB=(0，a，0）,AAa,0，0）1=（0，0，2a）

2由于MC1·AB=0,MC1·AA1=0，故MC1⊥平面AB B1A1 。 ∴ A C1与AM所成的角就是AC1与侧面AB B1A1所成的角. ∵ AC1=（-aa3，AM=（0,，2a)， a,，2a）

222zC1A1MB1a29a22

∴ AC1·AM=0++2a =，

44 AC13a2a2=2a2=3a ，

443aa2AM=2a2=

24CAxBy9a234∴ cosAC1,AM== 323aa2∴ AC1与AM所成的角,即AC1与侧面AB B1A1所成的角为30o 。

例6. (2002年上海高考题） 如图，三棱柱OAB— O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=600, ∠AOB=900，且OB= OO1=2，OA=3。

求：（1）二面角O1–AB–O的大小；

（2)异面直线A1B与A O1所成角的大小。(结果用反三角函数值表示) 解：（1)如图，取OB的中点D，连接O1D,则O1D⊥OB

∵ 平面OBB1O1⊥平面OAB, ∴ O1D⊥面OAB，

过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E， 则O1E⊥zOB， ∠DEO1为二面角O1–AB-O的平面角。 由题设得O1D=3

A1

6

O1B1ODysin∠OBA=

OAOA2OB2=

21 7∴ DE=DBsin∠OBA=

21 7∵ 在RtΔO1DE中，tan∠DE O1=7

∴ ∠DE O1=arctan7，即二面角O1–AB–O的大小为arctan7。

（2)以O为原点，分别以OA﹑OB所在直线为x﹑y轴,过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O（0，0，0），O1(0，1，3）， A（3,0,0）， A1（3，1，3）, B（0，2，0），

则A1B=（-3，1，—3），O1A=（3，-1,—3） cos〈A1B,O1A〉=

A1BO1AA1BO1A=

31377=—

1 7故异面直线A1B与A O1所成角的大小arccos

1。 7姓 名： 张传法

地 址: 山东临沂市罗庄区一中 (276017） E-mail ： zhangchuanfa424＠sohu。com （注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期）

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