同构式体系(三)—朗博同构(题目)

【例 2】（2020•镇海中学模拟）若 x  0 时，恒有 x2e3x  (k  3)x  2 ln x  1  0 成立，则实数 k 的取值范围是

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【例 3】（2020•湘豫名校联考）不等式 x3ex  a ln x  x  1 对任意的 x  (1， ) 恒成立，则实数a 的取值

范围是（ ） A. ( ，1  e]

B. ( ，2  e2 ] C. ( ， 2] D. ( ， 3]

【例 4】（2020•全国模拟）若函数 f (x)  x(e2x  a)  ln x  1无零点，则整数 a 的最大值是（ A. 3

）

B. 2 C. 1 D. 0

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【例 5】（2020•山东新高考）已知函数 f (x)  aex1  ln x  ln a ．

（1） 当 a  e 时，求曲线 y  f (x) 在点(1，f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2） 若 f (x)  1 ，求 a 的取值范围．

【解析】（2）常规法： f (x)  aex1  ln x  ln a (x ，a  0) ，求导 f (x)  aex1  ，易知 f (x) 在(0 ， ) 上 1 x 1 1 为增函数， y  aex1 在(0 ， ) 上为增函数， y  在(0 ， ) 上为减函数， y  aex1 与 y  在(0 ， ) 上 x x 1 1 x 1 x1 有交点，存在 x ) ，使得 f (x )  ae   0 ，则 ae  ，则ln a  x 1  ln x 0 ，即 0  (0 ，0  0 x0 x0 0 0 ln a  1  x0  ln x0 ，当 x  (0 ，x0 ) 时， f (x)  0 ，函数 f (x) 单调递减，当 x (x0 ， ) 时， f (x)  0 ， 1 1 x 1 0 函数 f (x) 单调递增， f (x)  f (x )  ae  ln x  ln a   ln x  1  x  ln x   2 ln x 1  x 0  1，则 0 0 0 0 0 0  x x 0 0 1 1  2 ln x  x  0 ，设 g(x)   2 ln x  x ，易知函数 g (x) 在(0 ， ) 上单调递减，且 g(1)  0 ，当 x (0 ，1] 0 0 x0 x 1 1 时，g(x)  0 ，故 x (0 ，1] ，  2 ln x  x  0 ，设 h(x)  1  x  ln x (x (0 ，1]) ，h(x)  1   0 恒成立， 0 0 0 x0 x 则 h(x) 在(0 ，1] 上单调递减， h(x)  h(1)  0 ，当 x  0 时， h(x)   ， ln a  0  ln1 ，所以 a  1 ．

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