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刍议解析几何“同构式”算法及其核心素养

来源:花图问答
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中学教研(数学)2019年第3期

刍议解析几何“同构式”算法及其核心素养

●曹亚奇  (湖州市第二中学ꎬ浙江湖州 313000) ●王勇强  (湖州市教科研中心ꎬ浙江湖州 313000)  摘 要:2011年与2018年的浙江省数学高考解析几何大题均考查了“同构式”算法ꎬ其运算过程中蕴含了“数学计

算”与“逻辑推理”两大核心素养.著名的“阿基米德三角形”具有“同构形态”ꎬ其性质的证明涉及到“同构式”算法ꎬ它也是2018年浙江省数学高考真题第21题的来源.

关键词:同构式ꎻ阿基米德三角形ꎻ核心素养

中图分类号:O123.1    文献标识码:A    文章编号:1003-6407(2019)03 ̄0028 ̄04

  “同构式”顾名思义“结构相同的式子”.譬如

ax21+bx1+c=0ꎬax2+bx2+c=0两式中除了x的

问题的内在联系ꎬ类比联想ꎬ反向推演ꎬ巧解问题.当然ꎬ要灵活应用、熟练掌握该方法ꎬ需要有较强的“数学计算”和“逻辑推理”素养.下面ꎬ笔者以著名的“阿基米德三角形”为源头ꎬ刍议浙江省数学高考中解析几何“同构式”算法及其核心素养.y=kx+a为过y=f(x)图像拐点(16ꎬ4-4ln2)的切线时ꎬa=3-4ln2.由图形知当a≤3-4ln2时ꎬ对任意k>0ꎬ直线y=kx+a与y=f(x)有唯一公共点.3 结束语

巴西学者弗莱雷认为:没有了对话ꎬ就没有了交流ꎻ没有了交流ꎬ也就没有真正意义的教育[2].在新一轮课程改革中ꎬ教师要以“对话教学”为抓手ꎬ提升学生交流与反思的能力.通过深度对话ꎬ在思维建构中把握本质ꎬ形成素养ꎻ在交流中取长补短ꎬ互惠共赢ꎻ在反思中内化醒悟ꎬ加深理解ꎻ在评价中树立信心ꎬ体验喜悦ꎻ在总结中揭示规律ꎬ提炼通法ꎻ在拓展中深化思维ꎬ提出命题.

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程

标准[S].北京:人民教育出版社ꎬ2018.[2] 弗莱雷.被压迫者教育学[M].顾建新ꎬ赵友

2001.

华ꎬ何曙荣ꎬ译.上海:华东师范大学出版社ꎬ

下标不同之外ꎬ其余结构完全一致.因此ꎬ可以推出x1ꎬx2为方程ax2+bx+c=0的两个根.在高中解析几何中ꎬ常需要利用“同构式”的特点ꎬ寻找与所求(上接第27页)

可解时ꎬ可直接通过解不等式求出满足f(m)>0(或f(m)<0)的实数mꎻ

3)放缩化归:当f(x)较复杂时ꎬ可将f(x)放缩2)解不等式:当不等式f(x)>0(或f(x)<0)

为简单的函数g(x)ꎬ使f(x)>g(x)(或f(x)<g(m)≥0(或g(m)≤0)ꎬ则f(m)>0(或f(m)<0).

g(x))ꎬ再用特值验证或解不等式探求实数mꎬ使

为便于放缩ꎬ可根据函数图像和解析式特征在某限定范围内进行放缩.对含有指数、对数函数的要注意运用重要不等式ex≥x+1ꎬlnx≤x-1进行放缩.

对话体会 教师使用反思性话题ꎬ让学生反思学习过程ꎬ在自我对话的基础上师生总结出解决问题的通法通则ꎬ彰显自我人性ꎬ把握数学本质.

师(下课铃声响了):试题是否有几何背景?试题能否拓展?请同学们课后思考ꎬ下课!

对话体会 为给学优生创设思维驰骋的空间ꎬ教师在课末使用拓展性话题ꎬ要求学生进一步提出可拓展延伸的问题.本试题的几何背景是当直线

∗收文日期:2018 ̄12 ̄19ꎻ修订日期:2019 ̄01 ̄19

作者简介:曹亚奇(1983—)ꎬ男ꎬ浙江湖州人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.

2019年第3期中学教研(数学)

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1 “同构式”源头———阿基米德三角形1.1 阿基米德三角形性质证明

我们知道ꎬ圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切

即λy2-2λy0y+2p(1+λ)x0-y20=0的两个根ꎬ从而y1+y2=2y0ꎬ因此猜测正确.

上述证明方法与之前阿基米德三角形性质1

线所围成的三角形叫阿基米德三角形.其中抛物线的阿基米德三角形(如图1)有许多著名的性质ꎬ首当其冲的便是:

形底边上的中线平行于抛物线性质1[1] 阿基米德三角

的证明如出一辙ꎬ均采取“设而不求”的思想方法ꎬ从点坐标的“同构式”角度出发ꎬ利用韦达定理得到结论[2].事实上ꎬ我们亦可以结合平面几何知识给予证明.

思路2 如图2ꎬ联结CDꎬ交PM于点Nꎬ此时y21=2px1ꎬ的轴.

证明 

设P(xA(x0ꎬy0)ꎬ

图1

的切线方程为

1ꎬy1)ꎬB(x2ꎬy2)ꎬ则过点Ay将点P的坐标代入1y=p(x+xꎬ得

1)ꎬ

y1y0=pæçy2ö

è

x0+21p÷øꎬ

同理可得

y2y0=pæçy2ö

è

x0+由上述两个同构式可得y22p÷ø.

1ꎬy2为方程y2

2故px-2y0y+

PM0=∥0x的两个不同的实数根轴.

ꎬ因此y1+y2=2y0ꎬ1.2 现将阿类阿基米德三角形性质

基米德三角形顶角

收缩ꎬ使得PAꎬPB与抛物线分别相交于点CꎬDꎬ且PCCA=PDDB=λ

△(其PAB中为λ“为类阿基米德三角形常数)ꎬ笔者定义(”

不过是之前切线情形的一般化如图2).此时两条割线PAꎬPB

图2

笔者猜测:底边上的中线依然平行于抛物线的轴.

思路1 由定比分点坐标公式得Cæçxè0y1++λxλ

0得1+y+λyλ1ö÷æxøꎬDçè01++λxλ2ꎬy01++λyλ2ö

÷ø

ꎬ代入抛物线方程ꎬ1ꎬy2为方程

æçyy2

è10++λyλöx÷20+λ

ø

=2p1+λ2pꎬ

N为CD的中点.由

{

y2

=2px得

y2

2ꎬ

x11--yx22=y12+p

y2

ꎬ即kAB=

ypMꎬ同理可得

kCD=

ypN

.因为AB∥CDꎬ所以

ypM=ypNꎬ即

yM因此MN∥x轴.特殊地ꎬ=若yNxꎬ

1结论亦成立.

=x2腰三角形ꎬꎬ则△ABC为等思路2结合平面几何知识ꎬ更为简洁ꎬ从ABꎬCD的斜率表达式上看ꎬ也是一组同构式.由此看来ꎬ正因为两条割线PAꎬPB本身具有“同构形态”ꎬ所以无论是代数方法还是结合几何证明ꎬ同构式的构造必然是正确的思考方向.2 “同构式”的应用

2.1 例同构式解类阿基米德三角形

1 如图3ꎬ已知点P

是y轴左侧(不含y轴)一点ꎬ抛物线C:y2的两点AꎬB满足=4x上存在不同PAꎬPB的中点均在明:PM1)⊥设C上yAB.

轴ꎻ

的中点为Mꎬ证y2)若P是半椭圆x2+

图3

=1(其中x<0)上的动点ꎬ求S△PAB的取值范围.

(2018年浙江省数学高考试题第21题)

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中学教研(数学)2019年第3期

当我们回顾2018年浙江省数学高考卷的解析几何大题时ꎬ惊讶地发现该题第1)小题需证明的就是笔者前文所证的“类阿基米德三角形性质”当λ=1时的特例.而第2)小题其实是依托第1)小题同构后产生的一元二次方程“λy-2λy0y+2p(1+

2pìïy1+y2=ꎬkï

从而     í

2pbï

ïy1y2=k-2pa.î又由思路1中同构式得

y1+y2=2y0ꎬìïï

从而    í2p(1+λ)x0-y20

ïy1y2=.îλλy2-2λy0y+2p(1+λ)x0-y20=0ꎬ

(1)

λ)x0-y20=0”ꎬ然后根据韦达定理ꎬ利用三角形面积公式求解.这需要学生具备较强的运算能力ꎬ然而真正的突破口却是构造“同构式”ꎬ使得计算有(2)

了章法ꎬ步骤得以简化.2.2 既然例基于真题的1第1)“再创造小题的源头是”

“阿基米德三角

形”性质1ꎬ那笔者就可以从阿基米德三角形的其他性质入手ꎬ并可类比到“类阿基米德三角形”中进行探究和证明.

性质2 如图4ꎬ若阿基米德△ABQ底边即弦AB过抛物线内一定点Cꎬ则另一顶点Q的轨迹为一条直线.

图4

图5

性质3 如图5ꎬ若阿基米德△ABQ的底边AB过抛物线y2=2px的焦点Fꎬ则顶点Q的轨迹为准线ꎬ且阿基米德三角形的面积最小值为p2.

事实上ꎬ性质3是性质2的特殊情况ꎬ而且此结论是高中解析几何试卷中的“常客”.于是笔者猜想:

猜想 若类阿基米德△ABP的底边AB过抛物线内一定点Cꎬ则另一顶点P的轨迹也是一条直线.

证明 令P(x0ꎬy0)ꎬC(aꎬb)ꎬ设直线AB的方

程为y-b=k(x-a)ꎬ与抛物线y2ky2-2py-2pka+2pb==02ꎬ

px联立得

由式(1)和式(2)得点P的轨迹方程为

y2+2pbλy=2p(1+λ)x+2paλ.(3)

 抛物线内一定点 由此得到结论Cꎬ:则另一顶点类阿基米德三角形底边P的轨迹方程为抛

AB过物线ꎬ猜想并不成立.

由此结论ꎬ笔者创编了以下题目:

例2 已知AꎬB为抛物线C:y2点ꎬ且直线AB过定点(1ꎬ0)ꎬ现存在=C4x外一点上的两个

Pꎬ使得APꎬBP的中点均在C上.

1)2)求点解求 1SP的轨迹方程ꎻ△PAB的取值范围.

)设P(xA(x1ꎬy1)ꎬB(x0ꎬy0)ꎬ

PAꎬPB的中点在抛物线上2ꎬy2).因为ꎬ

所以y1ꎬy2为方程

yæçyè0+yöx÷2=40+

42

-2ø

即y22y2ꎬ

图6

0y+8x0两个不同的实根ꎬ从而

-y20=0的y1y2=8x0又因为AB过定点(1ꎬ0)ꎬ可令其方程为-y20.

x=ty+1ꎬ代入抛物线C的方程ꎬ得

y2则y-4ty-4=0ꎬ1y2=-4ꎬ

8x0即点P的轨迹方程为

-y20=-4ꎬy2=8x+4.

(4)

  2)如图6ꎬ取AB的中点Mꎬ联结PMꎬ则

2019年第3期中学教研(数学)

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yM=y0=

于是PM∥x轴.而

|PM|=

y1+y2

ꎬ2

计算ꎬ是素养要求最高的“水平三”ꎬ为后续的计算指明了方向.而这转化的过程中不仅需要运算能力ꎬ更需要深刻理解、反向推演.因此ꎬ计算的高层次素养中一定蕴含了逻辑推理等其他重要素养.3.2 数算与逻辑推理的思辨

«新课标»对数学核心素养中的“数算”是

因此  S△PAB=

|y1-y2|=2

1232(y1+y2y-3x0ꎬ2)-x0=840

|PM|􀅰|y1-y2|=2(y-4x0)ꎬ20

这样描述的:“数算是指在明晰运算对象的基32

42(y20-4x0)32=342(4x0+4)32.由x0≥-1

评注 2

ꎬ得S△PAB∈[3ꎬ+∞).

若将p=2ꎬλ=1ꎬa=1ꎬb=0代入式

(3)ꎬ当S即为式(4)ꎬ再次验证前文的证明成立.同时△PAB最小时ꎬ点P位于对称轴上ꎬ△PAB为等腰三角形ꎬ符合数学上的对称和谐之美.3 评价及其素养

3.1 简称«运算水平的层次解读

«普通高中数学课程标准新课标»)将数算核心素养分成(2017年版)»3(以下

个递进的层次.

笔者以例1为例解读运算水平的3个层次如下:

首先ꎬ在例1所呈现的“类阿基米德三角形”图形中要能够发现两条割线PAꎬPB具有“同构形态”ꎬ从而将该几何特征转化成代数形式的同构式.而这个转化决定了整个计算的繁简程度ꎬ对素养要求颇高ꎬ应该算“水平三”ꎻ紧接着ꎬ通过同构式归纳出方程ꎬ在“中点坐标”与“韦达定理”的关联情境中通过计算公式进行表达与证明ꎬ此处为“直线距离公式水平二”ꎻ最后在学生熟知的情境下”与“弦长公式”求解三角形面积自ꎬ利用“点到然是“水平一”.我们发现ꎬ利用同构式求解解析几何大题时ꎬ最关键的是从几何特征到同构式的转化

础上ꎬ依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数算是解决数学问题的基本手段.数算是一种演绎推理ꎬ是计算机解决问题的基础.”因此ꎬ我们有必要让学生体悟数算的演绎特征ꎬ无论计算的繁简ꎬ都应该遵循“有理有据”的逻辑要求.“生掌握一些数式运算的技能数算”作为核心素养ꎬ在教学中不仅要让学、技巧ꎬ而且要让学生对运算的本质有所认识、对运算的价值有所感悟、对运算的算理有所掌握.

具体到解析几何的同构式算法教学中ꎬ教师要引导学生把解析几何大题的关注点从粗放的“联立求解”转移到分析推理上来ꎬ要让学生能真正“身也是解析几何的精髓所在辨图识图”ꎬ从而自然地将几何问题代数化.

ꎬ这本解析几何中的“同构式”算法充分体现了“数学计算”与“逻辑推理”两大数学核心素养的完美交融.在教学实践中ꎬ教师不仅可以就地取材ꎬ让学生多从高考真题中体会其“设而不求”的计算精髓ꎬ更要带领学生拓展探究ꎬ甚至改编、原创.真正从源头上感受与发现同构式算式优美的对称形态以及背后所蕴含的核心优势.

参 考 文 献

[1] 邵明志ꎬ陈克勤.高考试题中的阿基米德三

角形[J].数学通报ꎬ2008ꎬ47(9):39 ̄42ꎻ46.[2] 仝军ꎬ黄安成.同构式的妙用[J].中小学数

学:高中版ꎬ2008(12):39 ̄40ꎻ44.

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