刍议解析几何“同构式”算法及其核心素养

中学教研(数学)２０１９年第３期

刍议解析几何“同构式”算法及其核心素养

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●曹亚奇　　(湖州市第二中学ꎬ浙江湖州　３１３０００)　●王勇强　　(湖州市教科研中心ꎬ浙江湖州　３１３０００)　　摘　要:２０１１年与２０１８年的浙江省数学高考解析几何大题均考查了“同构式”算法ꎬ其运算过程中蕴含了“数学计

算”与“逻辑推理”两大核心素养.著名的“阿基米德三角形”具有“同构形态”ꎬ其性质的证明涉及到“同构式”算法ꎬ它也是２０１８年浙江省数学高考真题第２１题的来源.

关键词:同构式ꎻ阿基米德三角形ꎻ核心素养

中图分类号:Ｏ１２３.１　　　　文献标识码:Ａ　　　　文章编号:１００３－６４０７(２０１９)０３￣００２８￣０４

　　“同构式”顾名思义“结构相同的式子”.譬如

２

ａｘ２１＋ｂｘ１＋ｃ＝０ꎬａｘ２＋ｂｘ２＋ｃ＝０两式中除了ｘ的

问题的内在联系ꎬ类比联想ꎬ反向推演ꎬ巧解问题.当然ꎬ要灵活应用、熟练掌握该方法ꎬ需要有较强的“数学计算”和“逻辑推理”素养.下面ꎬ笔者以著名的“阿基米德三角形”为源头ꎬ刍议浙江省数学高考中解析几何“同构式”算法及其核心素养.ｙ＝ｋｘ＋ａ为过ｙ＝ｆ(ｘ)图像拐点(１６ꎬ４－４ｌｎ２)的切线时ꎬａ＝３－４ｌｎ２.由图形知当ａ≤３－４ｌｎ２时ꎬ对任意ｋ>０ꎬ直线ｙ＝ｋｘ＋ａ与ｙ＝ｆ(ｘ)有唯一公共点.３　结束语

巴西学者弗莱雷认为:没有了对话ꎬ就没有了交流ꎻ没有了交流ꎬ也就没有真正意义的教育[２].在新一轮课程改革中ꎬ教师要以“对话教学”为抓手ꎬ提升学生交流与反思的能力.通过深度对话ꎬ在思维建构中把握本质ꎬ形成素养ꎻ在交流中取长补短ꎬ互惠共赢ꎻ在反思中内化醒悟ꎬ加深理解ꎻ在评价中树立信心ꎬ体验喜悦ꎻ在总结中揭示规律ꎬ提炼通法ꎻ在拓展中深化思维ꎬ提出命题.

参　考　文　献

[１]　中华人民共和国教育部.普通高中数学课程

标准[Ｓ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.[２]　弗莱雷.被压迫者教育学[Ｍ].顾建新ꎬ赵友

２００１.

华ꎬ何曙荣ꎬ译.上海:华东师范大学出版社ꎬ

下标不同之外ꎬ其余结构完全一致.因此ꎬ可以推出ｘ１ꎬｘ２为方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根.在高中解析几何中ꎬ常需要利用“同构式”的特点ꎬ寻找与所求(上接第２７页)

可解时ꎬ可直接通过解不等式求出满足ｆ(ｍ)>０(或ｆ(ｍ)<０)的实数ｍꎻ

３)放缩化归:当ｆ(ｘ)较复杂时ꎬ可将ｆ(ｘ)放缩２)解不等式:当不等式ｆ(ｘ)>０(或ｆ(ｘ)<０)

为简单的函数ｇ(ｘ)ꎬ使ｆ(ｘ)>ｇ(ｘ)(或ｆ(ｘ)<ｇ(ｍ)≥０(或ｇ(ｍ)≤０)ꎬ则ｆ(ｍ)>０(或ｆ(ｍ)<０).

ｇ(ｘ))ꎬ再用特值验证或解不等式探求实数ｍꎬ使

为便于放缩ꎬ可根据函数图像和解析式特征在某限定范围内进行放缩.对含有指数、对数函数的要注意运用重要不等式ｅｘ≥ｘ＋１ꎬｌｎｘ≤ｘ－１进行放缩.

对话体会　教师使用反思性话题ꎬ让学生反思学习过程ꎬ在自我对话的基础上师生总结出解决问题的通法通则ꎬ彰显自我人性ꎬ把握数学本质.

师(下课铃声响了):试题是否有几何背景?试题能否拓展?请同学们课后思考ꎬ下课!

对话体会　为给学优生创设思维驰骋的空间ꎬ教师在课末使用拓展性话题ꎬ要求学生进一步提出可拓展延伸的问题.本试题的几何背景是当直线

∗收文日期:２０１８￣１２￣１９ꎻ修订日期:２０１９￣０１￣１９

作者简介:曹亚奇(１９８３—)ꎬ男ꎬ浙江湖州人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.

２０１９年第３期中学教研(数学)

􀅰２９􀅰

１　“同构式”源头———阿基米德三角形１.１　阿基米德三角形性质证明

我们知道ꎬ圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切

即λｙ２－２λｙ０ｙ＋２ｐ(１＋λ)ｘ０－ｙ２０＝０的两个根ꎬ从而ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ因此猜测正确.

上述证明方法与之前阿基米德三角形性质１

线所围成的三角形叫阿基米德三角形.其中抛物线的阿基米德三角形(如图１)有许多著名的性质ꎬ首当其冲的便是:

形底边上的中线平行于抛物线性质１[１]　阿基米德三角

的证明如出一辙ꎬ均采取“设而不求”的思想方法ꎬ从点坐标的“同构式”角度出发ꎬ利用韦达定理得到结论[２].事实上ꎬ我们亦可以结合平面几何知识给予证明.

思路２　如图２ꎬ联结ＣＤꎬ交ＰＭ于点Ｎꎬ此时ｙ２１＝２ｐｘ１ꎬ的轴.

证明　

设Ｐ(ｘＡ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ

图１

的切线方程为

１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则过点Ａｙ将点Ｐ的坐标代入１ｙ＝ｐ(ｘ＋ｘꎬ得

１)ꎬ

ｙ１ｙ０＝ｐæçｙ２ö

è

ｘ０＋２１ｐ÷øꎬ

同理可得

ｙ２ｙ０＝ｐæçｙ２ö

è

ｘ０＋由上述两个同构式可得ｙ２２ｐ÷ø.

１ꎬｙ２为方程ｙ２

２故ｐｘ－２ｙ０ｙ＋

ＰＭ０＝∥０ｘ的两个不同的实数根轴.

ꎬ因此ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ１.２　现将阿类阿基米德三角形性质

基米德三角形顶角

收缩ꎬ使得ＰＡꎬＰＢ与抛物线分别相交于点ＣꎬＤꎬ且ＰＣＣＡ＝ＰＤＤＢ＝λ

△(其ＰＡＢ中为λ“为类阿基米德三角形常数)ꎬ笔者定义(”

不过是之前切线情形的一般化如图２).此时两条割线ＰＡꎬＰＢ

ꎬ

图２

笔者猜测:底边上的中线依然平行于抛物线的轴.

思路１　由定比分点坐标公式得Ｃæçｘè０ｙ１＋＋λｘλ

１

ꎬ

０得１＋ｙ＋λｙλ１ö÷æｘøꎬＤçè０１＋＋λｘλ２ꎬｙ０１＋＋λｙλ２ö

÷ø

ꎬ代入抛物线方程ꎬ１ꎬｙ２为方程

æçｙｙ２

è１０＋＋λｙλöｘ÷２０＋λ

ø

＝２ｐ１＋λ２ｐꎬ

Ｎ为ＣＤ的中点.由

{

ｙ２

＝２ｐｘ得

ｙ２

２ꎬ

ｘ１１－－ｙｘ２２＝ｙ１２＋ｐ

ｙ２

ꎬ即ｋＡＢ＝

ｙｐＭꎬ同理可得

ｋＣＤ＝

ｙｐＮ

.因为ＡＢ∥ＣＤꎬ所以

ｙｐＭ＝ｙｐＮꎬ即

ｙＭ因此ＭＮ∥ｘ轴.特殊地ꎬ＝若ｙＮｘꎬ

１结论亦成立.

＝ｘ２腰三角形ꎬꎬ则△ＡＢＣ为等思路２结合平面几何知识ꎬ更为简洁ꎬ从ＡＢꎬＣＤ的斜率表达式上看ꎬ也是一组同构式.由此看来ꎬ正因为两条割线ＰＡꎬＰＢ本身具有“同构形态”ꎬ所以无论是代数方法还是结合几何证明ꎬ同构式的构造必然是正确的思考方向.２　“同构式”的应用

２.１　例同构式解类阿基米德三角形

１　如图３ꎬ已知点Ｐ

是ｙ轴左侧(不含ｙ轴)一点ꎬ抛物线Ｃ:ｙ２的两点ＡꎬＢ满足＝４ｘ上存在不同ＰＡꎬＰＢ的中点均在明:ＰＭ１)⊥设Ｃ上ｙＡＢ.

轴ꎻ

的中点为Ｍꎬ证ｙ２)若Ｐ是半椭圆ｘ２＋

图３

４

２

＝１(其中ｘ<０)上的动点ꎬ求Ｓ△ＰＡＢ的取值范围.

(２０１８年浙江省数学高考试题第２１题)

􀅰３０􀅰

中学教研(数学)２０１９年第３期

当我们回顾２０１８年浙江省数学高考卷的解析几何大题时ꎬ惊讶地发现该题第１)小题需证明的就是笔者前文所证的“类阿基米德三角形性质”当λ＝１时的特例.而第２)小题其实是依托第１)小题同构后产生的一元二次方程“λｙ－２λｙ０ｙ＋２ｐ(１＋

２

２ｐìïｙ１＋ｙ２＝ꎬｋï

从而　　　　　í

２ｐｂï

ïｙ１ｙ２＝ｋ－２ｐａ.î又由思路１中同构式得

ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬìïï

从而　　　　í２ｐ(１＋λ)ｘ０－ｙ２０

ïｙ１ｙ２＝.îλλｙ２－２λｙ０ｙ＋２ｐ(１＋λ)ｘ０－ｙ２０＝０ꎬ

(１)

λ)ｘ０－ｙ２０＝０”ꎬ然后根据韦达定理ꎬ利用三角形面积公式求解.这需要学生具备较强的运算能力ꎬ然而真正的突破口却是构造“同构式”ꎬ使得计算有(２)

了章法ꎬ步骤得以简化.２.２　既然例基于真题的１第１)“再创造小题的源头是”

“阿基米德三角

形”性质１ꎬ那笔者就可以从阿基米德三角形的其他性质入手ꎬ并可类比到“类阿基米德三角形”中进行探究和证明.

性质２　如图４ꎬ若阿基米德△ＡＢＱ底边即弦ＡＢ过抛物线内一定点Ｃꎬ则另一顶点Ｑ的轨迹为一条直线.

图４

图５

性质３　如图５ꎬ若阿基米德△ＡＢＱ的底边ＡＢ过抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点Ｆꎬ则顶点Ｑ的轨迹为准线ꎬ且阿基米德三角形的面积最小值为ｐ２.

事实上ꎬ性质３是性质２的特殊情况ꎬ而且此结论是高中解析几何试卷中的“常客”.于是笔者猜想:

猜想　若类阿基米德△ＡＢＰ的底边ＡＢ过抛物线内一定点Ｃꎬ则另一顶点Ｐ的轨迹也是一条直线.

证明　令Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＣ(ａꎬｂ)ꎬ设直线ＡＢ的方

程为ｙ－ｂ＝ｋ(ｘ－ａ)ꎬ与抛物线ｙ２ｋｙ２－２ｐｙ－２ｐｋａ＋２ｐｂ＝＝０２ꎬ

ｐｘ联立得

由式(１)和式(２)得点Ｐ的轨迹方程为

ｙ２＋２ｐｂλｙ＝２ｐ(１＋λ)ｘ＋２ｐａλ.(３)

　抛物线内一定点　由此得到结论Ｃꎬ:则另一顶点类阿基米德三角形底边Ｐ的轨迹方程为抛

ＡＢ过物线ꎬ猜想并不成立.

由此结论ꎬ笔者创编了以下题目:

例２　已知ＡꎬＢ为抛物线Ｃ:ｙ２点ꎬ且直线ＡＢ过定点(１ꎬ０)ꎬ现存在＝Ｃ４ｘ外一点上的两个

Ｐꎬ使得ＡＰꎬＢＰ的中点均在Ｃ上.

１)２)求点解求　１ＳＰ的轨迹方程ꎻ△ＰＡＢ的取值范围.

)设Ｐ(ｘＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ

ＰＡꎬＰＢ的中点在抛物线上２ꎬｙ２).因为ꎬ

所以ｙ１ꎬｙ２为方程

ｙæçｙè０＋ｙöｘ÷２＝４０＋

４２

－２ø

即ｙ２２ｙ２ꎬ

图６

０ｙ＋８ｘ０两个不同的实根ꎬ从而

－ｙ２０＝０的ｙ１ｙ２＝８ｘ０又因为ＡＢ过定点(１ꎬ０)ꎬ可令其方程为－ｙ２０.

ｘ＝ｔｙ＋１ꎬ代入抛物线Ｃ的方程ꎬ得

ｙ２则ｙ－４ｔｙ－４＝０ꎬ１ｙ２＝－４ꎬ

故

８ｘ０即点Ｐ的轨迹方程为

－ｙ２０＝－４ꎬｙ２＝８ｘ＋４.

(４)

　　２)如图６ꎬ取ＡＢ的中点Ｍꎬ联结ＰＭꎬ则

２０１９年第３期中学教研(数学)

􀅰３１􀅰

ｙＭ＝ｙ０＝

于是ＰＭ∥ｘ轴.而

｜ＰＭ｜＝

ｙ１＋ｙ２

ꎬ２

计算ꎬ是素养要求最高的“水平三”ꎬ为后续的计算指明了方向.而这转化的过程中不仅需要运算能力ꎬ更需要深刻理解、反向推演.因此ꎬ计算的高层次素养中一定蕴含了逻辑推理等其他重要素养.３.２　数算与逻辑推理的思辨

«新课标»对数学核心素养中的“数算”是

因此　　Ｓ△ＰＡＢ＝

｜ｙ１－ｙ２｜＝２

１２３２(ｙ１＋ｙ２ｙ－３ｘ０ꎬ２)－ｘ０＝８４０

１

｜ＰＭ｜􀅰｜ｙ１－ｙ２｜＝２(ｙ－４ｘ０)ꎬ２０

这样描述的:“数算是指在明晰运算对象的基３２

４２(ｙ２０－４ｘ０)３２＝３４２(４ｘ０＋４)３２.由ｘ０≥－１

评注　２

ꎬ得Ｓ△ＰＡＢ∈[３ꎬ＋∞).

若将ｐ＝２ꎬλ＝１ꎬａ＝１ꎬｂ＝０代入式

(３)ꎬ当Ｓ即为式(４)ꎬ再次验证前文的证明成立.同时△ＰＡＢ最小时ꎬ点Ｐ位于对称轴上ꎬ△ＰＡＢ为等腰三角形ꎬ符合数学上的对称和谐之美.３　评价及其素养

３.１　简称«运算水平的层次解读

«普通高中数学课程标准新课标»)将数算核心素养分成(２０１７年版)»３(以下

个递进的层次.

笔者以例１为例解读运算水平的３个层次如下:

首先ꎬ在例１所呈现的“类阿基米德三角形”图形中要能够发现两条割线ＰＡꎬＰＢ具有“同构形态”ꎬ从而将该几何特征转化成代数形式的同构式.而这个转化决定了整个计算的繁简程度ꎬ对素养要求颇高ꎬ应该算“水平三”ꎻ紧接着ꎬ通过同构式归纳出方程ꎬ在“中点坐标”与“韦达定理”的关联情境中通过计算公式进行表达与证明ꎬ此处为“直线距离公式水平二”ꎻ最后在学生熟知的情境下”与“弦长公式”求解三角形面积自ꎬ利用“点到然是“水平一”.我们发现ꎬ利用同构式求解解析几何大题时ꎬ最关键的是从几何特征到同构式的转化

础上ꎬ依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数算是解决数学问题的基本手段.数算是一种演绎推理ꎬ是计算机解决问题的基础.”因此ꎬ我们有必要让学生体悟数算的演绎特征ꎬ无论计算的繁简ꎬ都应该遵循“有理有据”的逻辑要求.“生掌握一些数式运算的技能数算”作为核心素养ꎬ在教学中不仅要让学、技巧ꎬ而且要让学生对运算的本质有所认识、对运算的价值有所感悟、对运算的算理有所掌握.

具体到解析几何的同构式算法教学中ꎬ教师要引导学生把解析几何大题的关注点从粗放的“联立求解”转移到分析推理上来ꎬ要让学生能真正“身也是解析几何的精髓所在辨图识图”ꎬ从而自然地将几何问题代数化.

ꎬ这本解析几何中的“同构式”算法充分体现了“数学计算”与“逻辑推理”两大数学核心素养的完美交融.在教学实践中ꎬ教师不仅可以就地取材ꎬ让学生多从高考真题中体会其“设而不求”的计算精髓ꎬ更要带领学生拓展探究ꎬ甚至改编、原创.真正从源头上感受与发现同构式算式优美的对称形态以及背后所蕴含的核心优势.

参　考　文　献

[１]　邵明志ꎬ陈克勤.高考试题中的阿基米德三

角形[Ｊ].数学通报ꎬ２００８ꎬ４７(９):３９￣４２ꎻ４６.[２]　仝军ꎬ黄安成.同构式的妙用[Ｊ].中小学数

学:高中版ꎬ２００８(１２):３９￣４０ꎻ４４.