福建省福州2019年中考数学复习第三章函数第五节二次函数的简单综合题课时2二次函数与几何图形综合同步训练

课时2 二次函数与几何图形综合

姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟

角度问题

1．(2018·广东省卷)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax＋b(a≠0)与x轴交于A、B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B. (1)求m的值；

(2)求函数y＝ax＋b(a≠0)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

2．(2018·天津)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y＝x＋mx－2m(m是常数)．顶点为P.

(Ⅰ)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；

(Ⅱ)若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式；

(Ⅲ)无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线对应的函数解析式．

2

面积问题

3．(2018·黄冈)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x－4x. (1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；

(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．

2

4．(2018·陕西)已知抛物线L：y＝x＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；

(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

5．(2018·厦门质检)已知二次函数y＝ax＋bx＋t－1，t＜0. (1)当t＝－2时，

2

2

①若二次函数图象经过点(1，－4)，(－1，0)，求a，b的值；

②若2a－b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx＋p(k≠0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．

1

(2)若点A(－1，t)，B(m，t－n)(m＞0，n＞0)是二次函数图象上的两点，且S△AOB＝n－2t，当－1≤x≤m

2时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围．

特殊三角形存在性问题 6．(2018·山西)综合与探究

121

如图，抛物线y＝x－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，

33BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F. (1)求A，B，C三点的坐标；

(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

7．(2018·河南)如图，抛物线y＝ax＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

2

第7题图 备用图

8．(2018·泉州质检)已知：二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B(－3，0)，顶点为C(－1，－2)． (Ⅰ)求该二次函数的解析式；

(Ⅱ)如图，过A，C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A，C分别平移到点D，E处，若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； 5

(Ⅲ)试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤.

2

2

参

1．解： (1)将(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3. (2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3. ∴B(3，0)．

将(0，－3)，(3，0)分别代入y＝ax＋b，

2

a＝，b＝－3，12

得，解得3∴y＝x－3.

39a＋b＝0，

b＝－3.

(3)存在，分以下两种情况：

①若M在BC上方，设MC交x轴于点D， 则∠ODC＝45°＋15°＝60°. ∴OD＝OC·tan30°＝3.

设直线DC为y＝kx－3，代入(3，0)，得k＝3.

1

y＝3x－3，x1＝0，x2＝33，

联立方程组12解得 

y＝－3，1y2＝6.y＝x－3，3

∴M1(33，6)．

②若M在BC下方，设MC交x轴于点E， 则∠OEC＝45°－15°＝30°， ∴OE＝OC·tan60°＝33.

设直线EC为y＝kx－3，代入(33，0)，得k＝

3

. 3

3

y＝3x－3，x＝0，x＝3，

联立方程组解得 

y＝－3，1y＝－2，

y＝x－3，3

1

2

2

1

2

∴M2(3，－2)．

综上所述，M的坐标为(33，6)或(3，－2)． 2．解： (Ⅰ)∵抛物线y＝x＋mx－2m经过点A(1，0)， ∴0＝1＋m－2m，解得m＝1.

∴抛物线对应的函数解析式为y＝x＋x－2. 129

∵化为顶点式为y＝(x＋)－. 2419

∴顶点P的坐标为(－，－)．

24

mm＋8m

(Ⅱ)抛物线y＝x＋mx－2m的顶点P的坐标为(－，－)．

24

2

2

2

2

由点A(1，0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方， ∠AOP＝45°， 过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ＝∠OPQ＝45°，

m＋8mm

可知PQ＝OQ，即＝－，

42解得m1＝0，m2＝－10.

当m＝0时，点P不在第四象限，舍去． ∴m＝－10.

∴抛物线对应的函数解析式为y＝x－10x＋20. (Ⅲ)由y＝x＋mx－2m＝(x－2)m＋x可知， 当x＝2时，无论m取何值，y都等于4. 得点H的坐标为(2，4)．

过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则∠DEA＝∠AGH＝90°，

∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°， ∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.

∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°， ∴∠DAE＝∠AHG. ∴△ADE≌△HAG. ∴DE＝AG＝1，AE＝HG＝4.

可得点D的坐标为(－3，1)或(5，－1)． ①当点D的坐标为(－3，1)时， 314

可得直线DH的解析式为y＝x＋.

55mm＋8m314

∵点P(－，－)在直线y＝x＋上，

2455m＋8m3m14

∴－＝×(－)＋，

452514

解得m1＝－4，m2＝－.

5

当m＝－4时，点P与点H重合，不符合题意， 14

∴m＝－. 5

②当点D的坐标为(5，－1)时， 522

可得直线DH的解析式为y＝－x＋. 33mm＋8m522

∵点P(－，－)在直线y＝－x＋上，

2433m＋8m5m22

∴－＝－×(－)＋，

4323

2

2

2

2

2

22

2

22

解得m1＝－4(舍)，m2＝－.

322

∴m＝－. 3

1422

综上，m＝－或－.

53

1428224422

故抛物线解析式为y＝x－x＋或y＝x－x＋. 5533

y＝kx＋1，

3．(1)证明：联立 2

y＝x－4x，

化简可得：x－(4＋k)x－1＝0， ∵Δ＝(4＋k)＋4＞0，

2

2

∴直线l与该抛物线总有两个交点； (2)解：当k＝－2时，∴y＝－2x＋1，

过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，如解图．

y＝x－4x，

∴联立

y＝－2x＋1，

2

x＝1＋2，x＝1－2，解得：或

y＝－1－22，y＝22－1.

∴A(1－2，22－1)，B(1＋2，－1－22)． ∴AF＝22－1，BE＝1＋22.

1

易求得：直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)．

21∴OC＝.

2

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC 11

＝OC·AF＋OC·BE 221

＝OC(AF＋BE) 2

11

＝××(22－1＋1＋22) 22＝2.

4．解： (1)令y＝0，得x＋x－6＝0. 解得x＝－3或x＝2. ∴A(－3，0)，B(2，0)． 令x＝0，得y＝－6. ∴C(0，－6)． ∴AB＝5，OC＝6.

11

∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15.

22(2)由题意，得A′B′＝AB＝5.

要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴交点为C′(0，－6)或C′(0，6)即可． 设所求抛物线L′：y＝x＋mx＋6，y＝x＋nx－6. 又知，抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同， 24－m－24－1－24－n－24－1

∴＝，＝. 4444解得m＝±7，n＝±1(n＝1舍去)． ∴抛物线L′：y＝x＋7x＋6，y＝x－7x＋6 或y＝x－x－6.

5．解： (1)①当t＝－2时，二次函数为y＝ax＋bx－3. 把(1，－4)，(－1，0)分别代入y＝ax＋bx－3，

a＋b－3＝－4，a＝1，得解得 a－b－3＝0.b＝－2.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

即a＝1，b＝－2. ②解法一：∵2a－b＝1，

∴二次函数为y＝ax＋(2a－1)x－3.

∵当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝－3. ∴二次函数图象一定经过点(－2，－1)，(0，－3)． 因为经过这两点的直线的表达式为y＝kx＋p(k≠0)， 所以把(－2，－1)，(0，－3)分别代入， 可求得该直线表达式为y＝－x－3.

即直线y＝－x－3始终与二次函数图象交于(－2，－1)，(0，－3)两点．

2

解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax＋(2a－1)x－3. 整理可得ax＋(2a－k－1)x－3－p＝0. 可得Δ＝(2a－k－1)＋4a(3＋p)．

若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0. 化简可得4a－4a(k－p－2)＋(1＋k)＞0.

∵无论a取任意不为零的实数，总有4a＞0，(1＋k)≥0， ∴当k－p－2＝0时，总有Δ＞0. 可取p＝1，k＝3.

对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点． (2)把A(－1，t)代入y＝ax＋bx＋t－1，可得b＝a－1. ∵A(－1，t)，B(m，t－n)(m＞0，n＞0)， 则直线AB的解析式为y＝－令x＝0，解得y＝－

n

(x＋1)＋t， m＋1

2

2

2

2

2

2

2

2

n

＋t＜0， m＋1

1n

则S△AOB＝×(－t＋)(m＋1)，

2m＋11

又∵S△AOB＝n－2t，

2

11

∴×(－mt－t＋n)＝n－2t，解得m＝3. 22∴A(－1，t)，B(3，t－n)． ∵n＞0，所以t＞t－n.

①当a＞0时，二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则yA≥yB，

分别把A(－1，t)，B(3，t－n) 代入y＝ax＋bx＋t－1，得 t＝a－b＋t－1，t－n＝9a＋3b＋t－1. ∵t＞t－n，

∴a－b＋t－1＞9a＋3b＋t－1. 可得2a＋b＜0. 即2a＋(a－1)＜0. 11解得a＜.所以0＜a＜.

33②当a＜0时，由t＞t－n，可知

若A，B在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A；若A，B在

2

对称轴的左侧，因为当x≤－

b

时，y随x的增大而增大，所以当－1≤x≤3时，点A为该函数图象2a

最低点；若A、B在对称轴的右侧， ∵当≥－b

2a时，y随x的增大而减小，

∴当－1≤x≤3时，

点A为该函数图象最高点，则－b

2a≤－1.

即－a－12a≤－1.解得a≥－1.

所以－1≤a＜0.

综上，0＜a＜1

3或－1≤a＜0.

6.解：(1)由y＝0，得13x2－1

3x－4＝0.

解，得x1＝－3，x2＝4.

∴点A，B的坐标分别为A(－3，0)，B(4，0)． 由x＝0，得y＝－4，∴点C的坐标为C(0，－4)． (2)Q5252

1(2，2－4)，Q2(1，－3)．

(3)过点F作FG⊥PQ于点G，

则FG∥x轴，由B(4，0)，C(0，－4)，得△OBC为等腰直角三角形．∴∠OBC＝∠QFG＝45°，∴GQ＝FG＝2

2

FQ. ∵PE∥AC，∴∠1＝∠2.

∵FG∥x轴，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC. ∴

FGGPAO＝OC，即FG3＝GP4

. ∴GP＝4423FG＝3×2FQ＝223FQ.

∴QP＝GQ＋GP＝22272FQ＋3FQ＝26

FQ. ∴FQ＝327

QP. ∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ＝45°， ∴QM＝MB＝4－m，PM＝－121

3m＋3m＋4.

∴QP＝PM－QM＝－13m2＋1

3

m＋4－(4－m)＝

124－m＋m. 33

3232124∴QF＝QP＝(－m＋m)＝

7733－

2242m＋m. 77

2

＜0，∴QF有最大值．且当m＝－7

4272

2（－）

7

∵－＝2时，QF有最大值．

7．解：(1)∵直线y＝x－5交x轴于点B，交y轴于点C， ∴B(5，0)，C(0，－5)．

∵抛物线y＝ax＋6x＋c过点B，C，

0＝25a＋30＋ca＝－1∴，∴， －5＝cc＝－5

2

∴抛物线的解析式为y＝－x＋6x－5.

(2)①∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°. ∵抛物线y＝－x＋6x－5交x轴于A，B两点， ∴A(1，0)，∴AB＝4. ∵AM⊥BC，∴AM＝22， ∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，

若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 则PQ＝AM＝22，

过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝2PQ＝4. 设P(m，－m＋6m－5)，则D(m，m－5)． 分两种情况讨论如下：

2

2

2

(ⅰ)当点P在直线BC上方时，

PD＝－m＋6m－5－(m－5)＝－m＋5m＝4， ∴m1＝1(舍去)，m2＝4.

2

2

(ⅱ)当点P在直线BC下方时， PD＝m－5－(－m＋6m－5)＝m－5m＝4， 5＋415－41∴m3＝，m4＝. 22综上，点P的横坐标为4或5＋415－41

或. 22

2

2

1317237

②M(，－)或(，－)．

6666

8．解： (Ⅰ)∵二次函数的顶点为C(－1，－2)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)－2. 把B(－3，0)代入得a(－3＋1)－2＝0， 1解得a＝. 2

12

∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)－2.

2

2

2

12

(Ⅱ)由(x＋1)－2＝0得x1＝－3，x2＝1，

2∴点A(1，0)．

过点C作CH⊥x轴于点H，如解图， ∵点C(－1，－2)，∴CH＝2，OH＝1， 又∵AO＝1，∴AH＝2＝CH，

∴∠1＝45°，AC＝AH＋CH＝22.

在等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝AC＝22，∠FDE＝90°， ∴∠2＝45°，EF＝DE＋DF＝4， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CH∥y轴．

由A(1，0)，C(－1，－2)可求得直线AC对应的函数解析式为y＝x－1. 312

由题意设点Fm，m＋m－(其中m＞1)，则点E(m，m－1)，

22312112

∴EF＝m＋m－－(m－1)＝m－＝4，

2222

2

2

2

2

解得m1＝3，m2＝－3(舍去)． ∴点F(3，6)，

5152

(Ⅲ)当y＝时，(x＋1)－2＝，解得x1＝－4，x2＝2.

22212

抛物线y＝(x＋1)－2，根据抛物线的性质可知，

2

当x＜－1时，y随x的增大而减小，当x＞－1时，y随x的增大而增大， 当x＝－1时，y的最小值为－2. 5

∵p≤x≤q，p≤y≤，

2∴可分三种情况讨论．

①当p≤q≤－1时，由增减性得：

5

当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝q时，y最小＝p＝－4＜－2，不合题意，舍去；

2②当p＜－1≤q时，

(i)若(－1)－p＞q－(－1)，由增减性得：

5

当x＝p＝－4时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝－2≠p，不合题意，舍去；

2(ii)若(－1)－p≤q－(－1)，由增减性得：

5

当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝－1时，y最小＝p＝－2，符合题意，

2∴p＝－2，q＝2.

③当－1≤p＜q时，由增减性得：

5

当x＝q＝2时，y最大＝，当x＝p时，y最小＝p，

2

1122

把x＝p，y＝p代入y＝(x＋1)－2，得p＝(p＋1)－2，

22解得p1＝3，p2＝－3＜－1(不合题意，舍去)． ∴p＝3，q＝2.

p＝－2，p＝3，

综上，或

q＝2q＝2.