有理数加法

有理数加法

［目的］

1. 较为熟练地进行有理数加法运算，并能解决简单的实际问题。

2. 能用运算律简化有理数加法的运算，逐渐养成“算必讲理”的习惯。

重点、难点：

1. 有理数加法法则，运用运算律进行简算。

2. 注意观察和的符号及和的绝对值与两个加数的符号及绝对值的关系。

［过程］

1. 有理数加法的定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫有理数加法。

两个有理数相加，有以下几种情况：

（1）两加数都是正数；

（2）两加数都是负数；

（3）两加数异号，即一个是正数，一个是负数；

（4）一个是正数，一个是0；

（5）一个是负数，一个是0；

（6）两个加数都是0。

2. 问题：在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数。

（1）若红队进4个球，失2个球，红队的净胜球数可以怎么表示？算式怎么列？

答：净胜球为2个，表示为＋2个，算式用（＋4）（－2）＝＋2

（2）若红队进2个球，失3个球，净胜球可怎么表示，算式怎么列？

答：净胜－1个，＋2＋（－3）＝－1

（3）若红队进2个球，又失2个球呢？

答：＋2＋（－2）＝0

（4）若红队失2个球，后又进3个球，净胜球几个怎么表示？

答：净胜5个 ＋2＋（＋3）＝＋5

（5）若红队失2个球，后又失3个球，净胜球几个怎么表示？

答：净胜－5个，－2＋（－3）＝－5

（6）若红队失2个球，后不失不进呢？

答：－2＋0＝－2。

3. 通过观察，小结出有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同零相加，仍得这个数。

共有：（＋）＋（＋） （＋）＋（－） （－）＋（＋） （－）＋（－） 0＋（＋） 0＋（－）几种情况

4. 有理数加法的运算律

（1）加法交换律：abba，a、b表示任意两个有理数。

（2）加法结合律：(ab)ca(bc)，a、b、c表示任意三个有理数。

5. 加法运算时应注意的问题

（1）在进行加法运算时，应先确定符号，再计算绝对值。

（2）有理数与算术中的数区别在于除0以外的有理数都带有性质符号，因此有理数加法中，和不一定大于每个加数。

如：（＋9）＋（－20）＝－11 －11＜9

（3）注意在交换加数位置时，要连同数字前面的符号一起交换。

如：(5)33(5)

（4）当几个有理数相加时，应先把互为相反数的数相加，或几个加数相加为0的先加，有分母相同的或易通分的先加，有分母相同的或容易通分的先加，其和为整数的先加，一般把加数为正的和负的分成两类分别相加，再求和。

6. 有理数a与b的加法，若a、b为有理数，则a+b的符号由a、b的符号确定。

（1）当a、b同号时，a+b取它们原来的符号。

a5，b2，则ab7。

（2）当a、b异号时，且有一个离开原点较远，则a+b的符号与离开原点较远的那个加数的符号相同。

（3）当a、b异号，且a－b离开原点的距离相等时，ab0。

例：如图a、b、c位置，试确定ab，ac，bc的符号。

解：∵a0，b0，c0

∴ab0，ac0，bc0

【典型例题】

例1. 计算：

（1）

(71)()186

.)(112.) （2）(113

55(2)277 （3）

（4）0(8)

解析：利用加法法则的基本步骤：

（1）要判断两个加数的符号的情况。

（2）要判断和的符号。

（3）要判断绝对值是作差还是作和。

解：（1）

(71)()186…………同号两数相加，取相同符号

(71)186…………并把绝对值相加

59

.)(112.)…………异号两数相加 （2）(113.|113.|112.|112. |113 ∴取与－1.13相同的符号

.112.)…………并用较大绝对值减去较小绝对值 (113. 00155(2)277…………互为相反数的两数相加得0 （3）

0

（4）0(8)…………0同任何数相加仍得这个数

8

例2. 简便方法计算

3510.75(2)(0125.)(12)(4)478

解析：运算律中的交换、结合可以使计算简单，小化分，分化小都可。

解：法①

3510.75(2)(0125.)(12)(4)478

50.75(2.75)(0125.)(12)(4.125)75[0.75(2.75)][0125.(4.125)](12)7552(4)(12)1877

法②：

33115[(2)][(4)](12)4887 原式4552(4)(12)1877

例3. 某检修小组乘坐一辆汽车沿公路检修线路，约定前进为正后退为负，某天从一地出发到收工时，所走路程为＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6

（1）收工时，检修小组离出发地多远？

（2）若1千米耗油1升，求这一天共耗油多少升？

解析：正数表示向前走，负数表示向后走，上次运动的终点就是下次运动的起点，将各数相加，若和为正，则检修小组在前方，若和为负，则在后方，各个加数的绝对值的和就是行走的总路程。

解：

（1）|15(2)(5)(1)(10)(3)(2)(12)(4)(5)(6)|

|39|39

答：收工时，检修小组离出发地39千米。

（2）|15||2||5||1||10||3||2||12||4||5||6|65

∴65×1=65（升）

答：若1千米耗油1升，这一天共耗油65升。

例4. 若b0，a0，c0，且|c||b||a|试比较a、b、c、a+b、a+c的大小。

分析：需先判断当中哪些数是正数，哪些是负数，再分别进行比较，可以结合数轴，利用数形结合的方法，比较直观的解答。

解：b0，a0，c0，|c||b||a|

可知a、b、c大致位置如图：

∴ac0

且|ac||a||c|

∴ac在原点左边，距原点(|a||c|)个单位。

∵ab0，|ab||b||a|

∴ab在原点右侧，距原点(|b||a|)个单位。

∴accaabb

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 如果两个数和为正数，则这两个数一定（ A. 都是正数

B. 只有一个正数

C. 至少有一个是正数

D. 都不对

）

2. 若a为有理数，则－a与|a|的和（ ）

A. 可能是负数 B. 不可能是负数

C. 只可能是正数 D. 只能是0

3. 下列说法中，错误的是（ ）

A. 两个整数的和是整数

B. 两个正数的和是正数

C. 两个真分数的和是真分数

D. 两个有理数的和是有理数

4. 两个有理数的和比其中任何一个加数都大，那么这两个有理数（A. 都是正数

B. 都是负数

C. 一个正数，一个负数

）

D. 都不对

5. 若|a|2，|b|5，则ab为（ ）

A. ±3 B. ±7 C. 3或7 D. ±3或±7

6.

1233的绝对值的相反数与3的相反数的和为______________。

7. 绝对值小于2004的所有整数的和为______________。

8. 若a0，b0，则ab_________0；

若a0，b0，则ab_________0；

若a0，b0，|a||b|，ab_________0；

若a0，b0，|a||b|，ab_________0

若a、b互为相反数，则ab_________0。

9. 若|x2||y3||z4|0，则xyz_________。

10. 若a0，b0，ab0，则a、b、－a、－b这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接为

___________________________。

11. 计算

（1）(301)|25||301|(75)

（2）(23)|63||37|(77)

41311(2)373 （3）7531(4)(375.)(2)(3)884 （4）

12. 如果|a|3，|b|2，且ab，求|ab|的值。

13. 将4，3，2，1，0，1，2，3，4这九个数分别填入下图方阵，使横竖斜对角的三个数相加的和相等。

【试题答案】

1. C 2. B 6. 4

7. 0

8. ，，，，9. 9

10. abba

11. （1）－50 12. 1或5

13.

答案不唯一。

3. C 

（2）0

4. A （3）0 5. D

（4）－14