土力学13

课 次：第十三次

主要内容：几种常见情况下的朗肯土压力计算、 库仑土压力理论、静止土 压力的计算、朗肯土压力理论与库仑土压力理论的比较、挡土墙设计 重点内容：库仑土压力理论；挡土墙设计 教学方法：精讲启发式与逻辑推理式

作 业：P196:第1题；第2题；第3题；第4题；第5题；第6题

四、几种情况下朗肯土压力计算

（一）填土面有超载

当填土面有均布荷载作用时，如下图所示。通常将均布荷载换算成当

量土重，即用假想的土重代替均布荷载，则当量土层厚度为：

式中：h

当量土层厚，m； q

填土面上的均布荷载; 填土重度。

156

将均布荷载用当量土层代替，并以 AB为假想墙背，分别计算主动土 压力和被动土压力。

1.主动土压力的计算 主动土压力强度为：

Pa

Z h ka 2C. ka Z q ka 2c. ka zka qka 2c_ka

由二部分组成，分两种情况：“

（1）第一种情况，qka 2c ka，即q

2c

时，主动土压力呈梯形分布，如下图所示

2 H2ka

qka 2c,kaH

则单位墙长的主动土压力为:

其作用方向垂直于墙背，作用点通过梯形的形心

157

(2)

分布，如下图所示。

第二种情况，qka<2cjk?,即q主动土压力强度为零的点称为临界点， 深度可用Zo (称为临界深度或 开裂深度)表示，则有:

Zoka qka 2c. ka 0

ZZ0

2c q

—k： 一

单位墙长上的主动土压力为:

EA 彳 Hka qka 叽 H Zo 其作用方向垂直于墙背，作用点离墙

踵(H ho)3处。

2.被动土压力的计算 被动土压力强度为:

Pp

Z h kp 2c kp 2c. kp

zkp qkp 2c kp

由三部分组成，如下图所示，呈梯形分布

158

2*

则单位墙长的被动土压力为：

庙

Ep= 2H

k qkp 2C氏 H

其作用方向垂直于墙背，作用点通过梯形的形心

（二）成层填土时

若墙背直立，光滑，墙后填土面水平，则可采用郎肯土压力理论，下所示。

图为三层土的情况，其重度

，粘聚力C和内摩擦角 各不相同，如下图 1.主动土压力的计算

上面我们讲过有均布荷载作用时均质土的郎肯主动土压力计算公式

为:

159

Pa

z q ka 2e ka

（1）第一层

PaA

2G .. ka1 < 0

PaDPaB上

H

0k

2c

k

k2ck

1

1 ・ H

a1

1 . a1

1

1 a1

1 a1

式中：kai

tan2 45°

1

2

其中PaA< 0,说明存在开裂深度Zo，令iZ° 0kai 2c「ka1 ° ,

可求得：Zo -2C1

—，称为开裂深度（临界深度）

1 ■- k

a1

PaB下

H

k2c

1

1 a2

2 .. k

a2

a2

（2）第二层

PaC 上=

ka2 tan2 450

2

H

2

1

H

k

1 a2

2

O •• k

a2

式中:

应特别注意，计算第二层时，将第一层土去掉，用均布荷载代替，深 度Z坐标原点取在第二层顶。

PaC下

H

k2c

2

2 a3

3

、k

a3

H

k

2ck

2

2 a3

3 a3

（3）第三层 式中：ka3 tan2 450

3

2

有了主动土压力的分布图形，可通过求图形的面积和形心的方法来求 主动土压力的大小及作用点（作用方向垂直墙背）。

160

2.被动土压力的计算

以前我们讲过有均布荷载作用时均质土的郎肯被动土压力计算公式

161

为:

Pp z qkp 2c kp

式中

式中

式中

对于成层土，可以利用上式计算，如下图所示

H2 2 5

(1)第一层

P2C

pA

1

PpB上

H

i

i o kpi

2

G kHk

pi

iipi

2 0

kpi tan 45

(2)第二层

PpB下

0

H

k

1

1 p2

2C2 k

P2

H

k2C

k

1

1 p2

2

PpCHk 2c

k

上

2H

2

11

p2

2

p2

k

p2

tan2 45°

2

2

(3) 第三层

PpC下 1H

1

2Hk2c

2

p3

3 .. k

p3

PpD

H

H

k

2c

1

1

2

2+ 3H3 p3

3 ； k

p3

kp3 tan2

45°

B 162

郎肯被动土压力分布图如上图所示， 有了被动土压力分布曲线，可通 过求图形面积和形心的方法来求被动土压力的大小及作用点

(三) 墙后填土中有地下水时

1. 水土分算法

分别计算土压力和水压力，然后两者叠加，即墙背总侧压力。

在计算土压力时，应取有效重度 2. 水土合算法

水土合算是指地下水位以下取饱和重度 Y sat和总应力强度指标C、© 来计算总的水土压力，水压力不再单独计算。

对于砂土和粉土， 一般采用水土分算法；对于粘性土，可采用水土分 算法，也可采用水土合算法。

和有效抗剪强度指标c、。

/

§ 7.4库仑土压力理论

一、假设

(1) 当墙后填土达到极限平衡状态时，其滑动面为一平面； (2) 填土面为坡角 的平面，且无超载； (3) 墙后填土为C=0的无粘性均质土体； (4)

墙与土的摩擦角为

r

墙背粗糙，有摩擦力，(称为外摩擦角)；

163

B

1 、库仑主动土压力计算

当挡土墙向前移动或转动时，墙后土体作用在墙背上的土压力逐渐减 少。当位移量达到一定值时，填土面出现过墙踵的滑动面

BC, 土体处于

极限平衡状态，那么土楔体 ABC有向下滑动的趋势，但由于挡土墙的存 在，土楔体可能滑动，二者之间的相互作用力即为主动土压力。所以，主 动土压力的大小可由土楔体的静力平衡条件来确定。

1.作用在土楔体ABC上的力

假设滑动面AC与水平面夹角为，取滑动土楔体ABC为脱离体, 则作用在土楔体ABC上的力有:

(1) 土楔体自重G ABC.

丄.BC.AD

2

在三角形ABC中，利用正弦定理可得:

BC AB BC

AD AB.sin 90°

cos H

cos

1

G .H

2

2

_AB

sin 90°

H

sim

cos

H cos( ) cos .sin

cos .cos

厂

cos .si n

(2)滑动面BC上的反力R

R是BC面上的摩擦力Ti与法向反力Ni的合力，因摩擦阻力沿BC向 上，所以R位于法线N1的下方，且与法线方向的夹角为土的内摩擦角

(3) 墙背对土楔体的反力E

它是BA面上的摩擦力T2与法向反力N2的合力，因摩擦阻力沿BA向

血

165

上，所以E位于法线N2的下方，且与法线方向的夹角为墙土间的外摩擦 角5。它的反作用力即为填土对墙背的土压力。

2. E与的关系

滑动土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此三力必形成一

闭合的力矢三角形，如上所示。由正弦定理可知

G sin

E sin

1

H2

cos cos

n

si

2 -

cos sin

cos

上式中Y、H、E、B和® 5均为常数，因此，E只随滑动面BC的

倾角a而变化，即E是a的函数。当a= ©以及 90 时，均有E= 0,

可以推断，当滑动面在 a= ©和 90 之间变化时，E必然存在一个极 大值。这个极大值Emax的大小即为所求的主动土压力 Ea,其对应的滑动面 为最危险滑动面

为求得E的极大值，可令dE/da= 0,从而解得最危险滑动面的倾角

a （过程略） ,再将此角度代入上式，整理后可得库仑主动土压力计算公

式为:

1 2

Ea Emax - H ?Ka

2

其中,

cos cos 1

2

2

cos sin cos 2

,称为库仑主动土

sin cos 压力系数，由上式见，库仑主动土压力系数与内摩擦角 ，墙背倾角

166

外摩擦角，以及填土面倾角 有关，参见P185表6-2

若填土面水平，墙背竖直光滑，即

0、e = 0、8 = 0,由式上式

可得Ka tan2 45 -，此式即为朗肯主动土压力系数的表达式。由此可 见，在这种特定条件下，两种土压力理论得到的结果是一致的。

同时可以看出，主动土压力合力 Ea是墙高的二次函数。将上式中的

a

zKdEd a

Pa

iz2Ka dz dz

Ea对Z求导，可求得离墙顶深度Z处的主动土压力强度Pa,即

墙背土压力合力Ea作用点在墙高1/3处，Ea作用方向与墙背法线成

8角，与水平面成e角。

若将Ea分解为水平分力Eax与竖向分力Eaz两个部分，则E*和Eaz分 别为

E

ax Ea cos

Eaz

Ea sin

167式中：e —

Ea与水平面的夹角，

e = e + 8，

168

-H 2KP 2

、库仑被动土压力计算

(a) 土楔上的作用力

(b)力矢(c)墙背土分布

三角形

当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的压力随 之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的滑动面

BC形成

三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状态。此时土楔 ABC在自重G、 反力R及E三力作用下静力平衡，与主动平衡状态相反， R和E的方向

均处于相应法线的上方，三力构成一闭合力矢三角形。

土楔与墙背的相互作用力即为被动土压力，则被动土压力可由土楔体 的静力平衡条件来确定。

按上述求主动土压力同样的原理，可求得被动土压力的库仑公式为:

Kp

Ep

2

cos cos

2

cos

--------------------------------- 2

- sin sin V cos cos

KP—— 库仑被动土压力系数。

169

式中由上式可以看出，库仑被动土压力合力 EP也是墙高的二次函数，因 此，被动土压力强度Pp zKp，沿墙高仍呈三角形分布，合力作用点在墙 高1/3处，EP的作用方向与墙背法线成S角，在外法线的下侧。

§ 7.5朗肯与库仑土压力理论的比较（自学）

§ 7.6挡土墙设计

一、挡土墙的类型

1. 重力式挡土墙

170重力式挡土墙下图（a）所示，墙面暴露于外，墙背可以做成仰斜、

拉杆 j-匸

锚定板

（C）扶臂式

（d）板桩式

重力式挡土墙通常由块石或素混凝土砌筑而成， 导致墙体抗弯能力较 差；

同时土压力对挡土墙所引起的稳定性问题完全依靠墙体自重来平衡， 故这种形式的挡土墙断面较大，以保证其强度及稳定性。

重力式挡土墙具有结构简单，施工方便，能够就地取材等优点，是工 程中广泛应用的一种形式。

2. 悬臂式挡土墙

悬臂式挡土墙一般用钢筋混凝土建造，它由三个悬臂板组成， 墙趾悬臂和墙踵悬臂，如图（b）所示。

挡土墙的稳定主要依靠墙踵悬臂以上的填土自重， 而墙体内的拉应力 则由

立臂、

171

钢筋承担。

此类挡土墙充分利用了钢筋混凝土的受力特性， 轻巧，在市政工程以及厂矿贮库中得以广泛应用。

3. 扶臂式挡土墙

若墙后填土较高时，为了增强悬臂式挡土墙中立臂的抗弯性能， 常沿 墙的纵向每隔1/3〜2/3墙高设一道扶臂，整体刚度和强度大大增加，参见 P1图（c）,故称为扶臂式挡土墙。

4. 板桩式挡土墙

利用承受弯矩的板桩作为挡土结构物。

（1）按结构类型分为悬臂式（板桩上部无支撑，又称无锚板桩）和 锚碇式（板桩上部有支撑，又称锚板桩）两大类；

悬臂式板桩只适用于荷载不大（通常墙高小于 4m）以及一些临时性 工程；锚碇式板桩则已得到迅速推广，常用于铁路路基、护坡、桥台及深 基坑开挖支挡工程等。

因而墙身轻薄，结构

172

(2) 按所用材料不同，又分为 钢板桩、木板桩和钢筋混凝土板桩墙 等。

二、 设计原则与步骤

1. 选择挡土墙的形式

2. 根据工程需要和实际情况，按 经验和工程类比法确定挡土墙尺寸 3. 验算(满足要求时则可，不满足时重新选定尺寸或采取其它措施) (1) 稳定性验算(抗倾覆稳定性验算和抗滑移稳定性验算)； (2) 地基承载力验算； (3) 墙身强度验算。 其中，地基承载力验算的方法及要求见浅基础一章；墙身强度验算应 根据墙身材料分别按砌体结构、素混凝土结构或钢筋混凝土结构的有关计 算方法进行。

三、 挡土墙稳定性验算

(b)抗滑动验算

1. 挡土墙抗倾覆稳定性验算

173

图(a)表示一具有倾斜基底的挡土墙，设在挡土墙自重 G和主动土

压力Ea作用下，可能绕墙趾0点倾覆，抗倾覆力矩与倾覆力矩之比称为 抗倾覆安全系数Kt,应符合下式要求

抗倾覆力矩 K 一 t

倾覆力矩

Ea sin Ea cos b zcos z bta n 0

G Xo Eaz Xf

二 16

EaX Zf

其中：Eax

Eaz Xf

Zf

若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施：

(1) 增大断面尺寸，增加挡土墙自重，使抗倾覆力矩增大，但同时 工程量随之加大；

(2)

将墙背仰斜，以减小土压力;

(3) 选择衡重式挡土墙或带卸荷台的挡土墙，如下图所示，均可起 到减小总土压力,

O

(a)衡重式

2. 挡土墙抗滑动稳定性验算

将G和Ea分解为垂直和平行于基底的分力，抗滑力与滑动力之比称 为抗滑安全系数，应符合下式要求

K

_ 抗滑力

滑动力

Gn Ean Eat Gt

二 1 3

174

其中：Ean Ea COS

0

Eat Ea sin 0

Gn GCOS 0 Gt Gsin o

式中：口 一一挡土墙基底对地基的摩擦系数，可参照 P192表6-3

若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施： (1) 增大挡土墙断面尺寸，增加墙身自重以增大抗滑力； (2) 在挡土墙基底铺砂石垫层，提高摩擦系数卩，增大抗滑力； (3) 将挡土墙基底做成逆坡，利用滑动面上部分反力抗滑；

(4) 在墙踵后加钢筋混凝土拖板，利用拖板上的填土自重增大抗滑四、重力式挡土墙的体形选择和构造措施(自学)

175 力。