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2013考研数学一真题

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2013硕士研究生入学考试数学一试题

xarctanxc,其中k,c为常数,且c0,则()

x0xk1111A. k2,c B. k2,c C. k3,c D. k3,c

22331. 已知极限lim2.曲面x2cos(xy)yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为( ) A. xyz2 B. xyz0 C. x2yz3 D. xyz0

113.设f(x)x,令S(则( ) bn2f(x)sinnxdx(n1,2,),x)bsninnx,0n12A .

3113 B. C.  D.  44444.设L1:x2y21,L2:x2y22,L3:x22y22,L4:2x2y22为四条逆时针

y3x3方向的平面曲线,记Ii(y)dx(2x)dy(i1,2,3,4),则maxI,1I,2I,3I463LiA. I1 B. I2 C. I3 D I4 5.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则( )

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价



1a1200

6.矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为( )

1a1000

A. a0,b2 B. a0,b 为任意常数 C. a2,b0 D. a2,b 为任意常数 7.设X1,X2,X3是随机变量,且X1N(0,1),X2N(0,22),X3N(5,32),

P,2,3),则( ) iP2X12(i1A. P3P2P2 DP1P2P3 B. P2P1P3 C. P1P3P2 8.设随机变量X

t(n),YF(1,n),给定a(0a0.5),常数c满足PXca,则

1

PYc2( )

(9)设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定,则limn[f()1]= 。

n01n(10)已知y1=e3x –xe2x,y2=ex –xe2x,y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y= 。

xsintd2y(11)设(t为参数),则2 。

dxtytsintcost4(12)

1lnxdx 。

(1x)2(13)设A=(aij)是3阶非零矩阵,A为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|= 。

(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零,则P{Y≤a+1|Y>a}= 三.解答题: (15)(本题满分10分) 计算

1f(x)x0dx,其中f(x)=x1ln(t1)dt. t(16)(本题10分)

设数列{an}满足条件:a03,a1=,1an2n(n1)an=0(n2).S(x)是幂级数

ax的和函数.

nnn0(1)证明:S(x)S(x)0; (2)求S(x)的表达式. (17)(本题满分10分)

nx3xy求函数f(x,y)(y)e的极值.

3(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:

(0,1),使得f()1. (I)存在)(1,1),使得f()f(1. (Ⅱ)存在19.(本题满分10分)

设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点将L绕z轴旋转一周得到曲面,与平面z0,z2

2

所围成的立体为。

(1) 求曲面的方程; (2) 求的形心坐标。 20.(本题满分11分) 设A1a01当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 ,B,

101b21.(本题满分11分)

a1设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2,记a2,

a3b1b2。

b3(1) 证明二次型f对应的矩阵为2TT;

22(2) 若,正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y1。 y222.(本题满分11分)

x1,2,12x,0x3,设随机变量X的概率密度为f(x)a令随机变量Yx,1x2,

1,其他x20,(1) 求Y的分布函数; (2) 求概率PXY. 23.(本题满分11分)

23ex,x0,设总体X的概率密度为f(x;)x其中为未知参数且大于零,

0,其他X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本。

(1) 求的矩估计量;

(2) 求的最大似然估计量。

3

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