高一数学必修1,函数模型及其应用1

高一数学必修1同步练习第三章

第二节函数模型及其应用

一. 教学内容：

函数模型及其应用

二. 重点、难点：

利用函数解决实际问题

1. 将实际问题抽象为具体函数

（1）确定x，通常为自由变化的量

（2）确定y，通常为所求的值

（3）建立函数关系yf(x)，通常利用一些实际定义

例如：利润=销售额－成本 销售额=单价×数量

面积公式：距离=速度×时间等

（4）确定函数的定义域

2. 利用函数相关内容，解决数学问题

【典型例题】

[例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。

（1）定价 元时，日销售额最大为 。

（2）定价 元时，日利润最大为 。

解：设定价x元，日销售为y元

2∴ yx[500(x50)10]10x1000x

∴ x50时，ymax25000元

（2）设定价x元，日利润y元

y(x40)[500(x50)10]10x21400x40000

∴ x70时，ymax9000元

[例2] A地产汽油，B地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返A、B两地所需油耗，故无法直接由A运到B，在A、B之间建立一个中转汽油库P，从A将油运至P，再由P运至B，为使运油率最大。（运油率

B地收到的油A地运出的油）P的位置应满足AP=

AB。

解：设AB=1，APx(0,1)，设A地有油M吨

由A→P，P地为(1x)M 由P→B，B地为x(1x)M

∴ 运油率

yx(1x)M11x2x(x)2M24

∴

x11ymax2时，4

[例3] 某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟

x函数可以选用二次函数或函数yabc。已知4月份该产品的产量为1.37 万件，请问用以上哪个

函数作为模拟函数较好。

2yf(x)pxqxr(p0) 解：（1）设

由

f(1)1p0.05f(2)1.2q0.35r0.7f(3)1.32 f(x)0.05x0.35x0.7

xyg(x)abc 设

g(1)1a0.8g(2)1.2b0.51g(x)0.8()x1.4g(3)1.3c1.42 f(4)1.3万，g(4)1.35万

∵ |1.371.35||1.371.30| ∴ yg(x)作为模拟函数误差较小

[例4] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图I所示的一条折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用II所示抛物线表示。

（1）写出图I、图II的函数关系式。Pf(t)，Qg(t)

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。

a1tb1(0t200)f(t)a2tb2(200t300) 解：

∵ f(0)300，f(200)100，f(300)300

b1300a11200ab100b300111300t(0t200)200a2b2100a22f(t)2t300(200t300) ∴ 300a2b2300b2300 ∴

g(t)a(t150)100 g(50)1502a1200

∴

g(t)1(t150)2100200

设纯收益h(t)f(t)g(t)

121175tt(0t200)20022h(t)1t27t1025(200t300)22200

12(t50)100(0t200)2001(t350)2100(200t300)200

∴ t[0,200]时t50，h(t)max100

t(200,300]时t300，h(t)max87.5

∴ t50时，h(t)最大

∴ 从二月一日起的第50天时上市的西红柿收益最大

[例5] 某报刊摊点从报社批发进某种晚报的价格是每份0.12元，卖出价格为每份0.2元，卖不完的报纸可以每份0.04元的价格退回报社，在每月中（30天计）有20天每天可以卖出400份，有10天只能卖出250份。设每天从报社买进相同数额的报纸问应每天买进多少份，才能使每月获利润最大。

解：设每天买进x份，250x400，xN，利润为y

y(0.20.12)x20(0.20.12)25010(x250)(0.120.04)10

0.8x400

∴ x400时ymax720元

2[例6] 若关于x的方程，lg(x20x)lg(8x6a3)0有唯一实数解，求实数a取值范围。

2x(,20)(0,)(1)x20x022x20x8x6a3解：由题意即x12x(6a3)0(2)

① 0时

a112 （2）的解为x6不合题意

f(20)01631a2 ② 0时，f(0)0 6∴

a[1631,)62时方程有唯一解

[例7] 收购某种农产品的原价格为200元/担，其中征税率标准为每100元征10元（称税率为10%），并计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。

（1）写出税收y与x的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。

解：（1）调节后税率为(10x)%，预计可收购为a(12x%)万担

∴ y200a(12x%)(10x)%a(x240x500)(0x10) 25

（2）原计划税收为200a10%20a万元

a(x240x500)20a83.2%依题意：25

x240x500416 x240x840 42x2

∵ x(0,10) ∴ x(0,2]

[例8] 公园要建造一个圆形的喷水池在水池，垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA1.25m，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25m。如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。

2ya(x1)2.25 A(0,1.25) ∴ a1 解：抛物线

2∴ y(x1)2.25 y0时x2.5

∴ 水池半径至少2.5m才能使水不落在池外

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. ABCD是一个单位正方形，在正方形内⊙O1与⊙O2相外切，且⊙O1与AB、AD两边相切，⊙O2与BC、CD两边相切，两圆半径各为多少时，两圆面积之和最大或最小。

2. 有一批影碟机原售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价均为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最低不能低于440元。乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少。

3. 某商品在100天内的价格f(t)与时间t的函数关系是

t22(0t40,tN)4f(t)t52(40t100,tN)2

1112g(t)t33(0t100,tN)，求日销售额F(t)的最大值。 销售量g(t)与时间关系是

4. 某商场将空调先按原价提高40%，然后打出广告“大酬宾八折优惠”，结果每台空调比原来多赚了270元，则原来每台空调多少元。

25. 二次函数f(x)xbxc，x[1,1]时f(x)0，x[1,3]时f(x)0

（1）求证c3；

（2）若f(x)在区间[1,1]上最大值为8，求b,c；

2g(x)f(x)mx在区间(0,)上↑。 m（3）是否存在实数，使得

【试题答案】

1.

解：设⊙O1半径为r1，面积为S1，⊙O2半径为r2，面积为S2

∵ r1r22r12r22

r1r222122

SS1S2r12r22r12(22r1)2

[r12(642)2(22)r1r12]

[2r122(22)r1(642)]

[2(r1222)(322)]2

231r11r1[2,]2时，Smin322 22 ∴

r13112Smax(962)22或2时，

2.

解：设某单位需购买x台影碟机，差价为y

(80020x)x600x(1x18)20x(x10)(1x18)y440x600x(x18)y160x(x18) ∴

y0的解为1x9

∴ 买1—9台应去乙商场，买10台甲、乙均可。买10台以上应去甲商场。

3.

250012(t12)(0t40)123F(t)f(t)g(t)1(t108)28(40t100)36解：

t[0,40]时t12，

F(t)max25003

t(40,100]时t41时，

F(t)max48736

∴ t12时，

F(t)max25003

4.

解：设原价为x

x(140%)80%x270 0.12x270 x2250

5.

解：（1）∵ f(1)0 ∴ bc1

f(3)93bc93c3c62c0 ∴ c3

2f(x)x(c1)xc(x1)(xc) ∴ [1,1]为↓ （2）

∴ ymaxf(1)1c1c8 ∴ c3，b4

222（3）g(x)f(x)mxx(c1m)xc

(c1m2)1(c1m2)[2,)22对称轴

∴ [0,2]为↓ ∴ m不存在