2019年高考“函数与导数”专题命题分析

2019年高考“函数与导数”专题命题分析

罗辉东，薛红霞（山西省实验中学；山西省教育科学研究院）摘

要：基于对2019年全国各地区13份高考试卷中函数与导数试题命制特点、命制思路的分

析，发现函数图象与性质试题注重考查学生思维的灵活性，指数函数和对数函数试题注重考查特殊函数的性质，函数与方程、不等式及零点试题注重考查联系与转化，导数运算及其应用试题注重考查学生的基础及分析问题的能力.同时给出复习建议：注重基础，利用题组培养学生灵活的思维能力，以及分析问题的能力.并给出模拟题．

关键词：函数与导数；基础知识；联系与转化函数贯穿高中数学的始终，是高中数学的主干知识，是高考考查的重点内容.2019年高考数学试卷共有13份.这些试卷对函数与导数的考查风格比较一致，但是函数与导数相关试题，特别是解答题，依然令学生望而却步，原因何在？又该如何备考？笔者接下来就对其特点做出具体分析，并在此基础上给出复习策略.

试题的位置判断其难易程度.具体情况如表1所示.

表1：全国卷中函数与导数相关试题的位置分布卷别

理科文科理科文科理科文科

选择题3，5，116，9，126，7，115，7，126，103，5填空题1314解答题202020212020（1~12题）（13~16题）（17~23题）

13，15——————

全国Ⅰ卷

全国Ⅱ卷

一、考查内容分析

1.题型、题量与分值基本保持稳定

全国Ⅲ卷

如表1，在全国卷三套试卷中，考查函数与导数相关内容的选择题分布在3~12题的位置，以简单题和中档题为主，较难题和难题分别只有2道.填空题中考查的都是简单题和中档题.与往年相比，2019年的函数与导数解答题除全国Ⅱ卷文科卷外，都出现在第20题的位置，属于较难题.

其他7份试卷的难易度特征与全国卷三套试卷类似，其中江苏卷、上海卷中函数与导数的解答题位置稍微靠前一些.

3.考点与内容覆盖全面

2019年全国各地区高考试卷中关于函数与导数考

在全国各地区13份高考试卷中，江苏卷只在填空题和选择题中对函数与导数相关内容进行了考查，其他地区的试卷中都有1道和函数与导数相关的解答题，选择题与填空题数量不定，一般有2~4道.客观题一般是每题5分，主观题分值不等，为12~14分.据此可以估计每份试卷中函数与导数试题所占的分值在22~32分.

2.难度分布从易到难

函数与导数试题的难度因题型而异.选择题与填空题的难度遍布简单题、中档题和难题；解答题则为较难题和难题.以全国卷三套试卷为例，可以根据各

收稿日期：2019-07-15

查的考点分布也是有规律可寻的，各知识点的具体考

作者简介：罗辉东（1970—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育研究．

·28·

中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

查情况如表2所示.

表2：函数与导数内容的考点分布考点试题函数概念、零点全国Ⅲ卷文科第5题江苏卷第4题全国Ⅰ卷文、理科第5题全国Ⅱ卷文科第6题，理科第12，14题全国Ⅲ卷理科第7题函数的性质天津卷文科第8题上海卷第6，12，15题江苏卷第14题北京卷文科第3题全国Ⅰ卷文、理科第3题全国Ⅱ卷理科第6题指数函数、对数函数全国Ⅲ卷文科第12题，理科第11题天津卷文科第5题，理科第6题浙江卷第6题北京卷文科第7题，理科第6题全国Ⅰ卷文、理科第13题导数概念及几何意义全国Ⅲ卷文科第7题，理科第6题天津卷文科第11题江苏卷第11题全国Ⅰ卷文、理科第20题全国Ⅱ卷文科第21题，理科第20题全国Ⅲ卷文、理科第20题导数运算及应用天津卷文科第20题，理科第8，20题江苏卷第19题上海卷第18题浙江卷第9，22题北京卷文科第20题，理科第19题对函数的概念、图象、性质、导数概念及几何意义的考查主要以选择题和填空题的形式出现，对导数运算及其应用的考查以解答题为主，有少量的选择题和填空题.

各套试卷文、理科试题的考查风格基本一致，差别只在难易程度上.或者文、理科采用相同试题，但是试题在试卷中的位置有所不同.例如，全国Ⅰ卷文科第3题和理科第3题，全国Ⅲ卷文科第7题和理科第6第题，天津卷文科第7题和理科第6题等12.

题和理科第11题，北京卷文科4.函数与导数是数形结合的典范，是考查学生直观思想方法蕴涵丰富

想象核心素养的良好载体.在简单题和中档题中，可以直接考查学生利用已有的函数图象特征解决数学问题的能力.例如，全国Ⅰ卷文、理科第3题等.考查学生利用数的特征构建形的特点的能力.例如，全国Ⅰ卷文、理科第5题等.在较难题和难题中，考查学生构建模型解决问题的能力.例如，全国Ⅲ卷文科第12题，理科第11题等.

解答题都有一定的综合性，并与数形结合、函数与方程、分类讨论、化归与转化等数学思想方法紧密联系，侧重考查学生严谨的逻辑思维能力，以及分析问题、解决问题的能力.

二、命题思路分析

活性

1.函数图象与性质试题注重考查学生思维的灵例1（2019年全国Ⅰ卷·文/理5）函数f(x)=cossinxx++xx2在[-π，π]的图象大致为（）.

yy-π1Oπx-π1O（A）（B）πxyy-πO1πx-π1O（C）

（D）

πx此题以函数图象为背景命制，考查函数的奇偶性，以及学生的计算能力和对函数图象的分析能力.这种命制方法是近些年的常见形式，2019年类似的试题还有全国Ⅲ卷理科第7题.两道试题都选取了奇函数来命制，虽然函数解析式已知，但是其图象却不是学生熟悉的.通过判断奇偶性确定图象的对称性；通过计算函数在特殊点的值，判断图象特征，包括符号及其与特殊值的大小关系，再结合选项进行判断.在这种似曾相识的情境中，考查学生灵活应用知识，以及分析函数图象及性质的能力.体现了《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）对知识的考查侧重于理解与应用的要求.

·29·

中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

浙江卷第6题也是图象判断问题，是以指数函数和对数函数为载体命制的试题，不仅考查了学生如上的能力，还突出了指数函数和对数函数的单调性、特殊点等特征.

例2（2019年全国Ⅱ卷·理12）设函数f(x)的

定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞，m]，都有f(x)≥

-89，则m的取值范围是（）.（A）æè

-∞，94ùû（B）æè-∞，73ùû（C）æè-∞，52ùû（D）æè

-∞，83ùû此题以二次函数、周期函数为载体进行命制，都是学生非常熟悉的知识.通过对周期函数标准形式f(x＋T)=f(x)的变化：f(x＋1)=2f(x)，创设了一个

新的情境，这个情境联系到了函数图象变换中的平移与纵轴方向的伸缩.借助这样的情境，考查学生将新问题转化为熟悉问题的能力，以及解题策略：（1）数形结合地思考、分析问题；（2）充分利用性质求出分段函数的解析式.体现了《标准》对知识的考查侧重于理解与灵活应用的要求.

此题属于较难题，类似的还有北京卷理科第13题，江苏卷第14题等.此外还有很多中档题和简单题.例如，北京卷文科第3题，上海卷第6题、第15题，全国Ⅱ卷文科第6题、理科第14题等.这些试题基本保持了近些年来的命制特点，比较传统.性质

2.指数函数和对数函数试题注重考查特殊函数的例3（2019年全国Ⅲ卷·文12/理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则）.

（A）fælog314ö>fæ-3è

øç22ö-2÷>fæç23ö

èøè÷ø（B）fæèlog314öæ-2ø>fç3öæ-32öè2÷ø>fçè2÷ø（C）fæ-3çè22ö÷ø>fæ-2çè23ö

÷ø>fæè

log31（D）fæ-2ç3öæ-34ö

ø2öè2÷ø>fçè2÷ø>fæè

log314ö

ø30·

此题以指数函数和对数函数为载体命制，将对函数奇偶性、单调性，以及对指数函数、对数函数的运算的考查综合在一起，通过比较大小体现出来.同时考查了学生通过构建图形，建立数与形之间关系的意识和能力.根据函数的奇偶性和单调性，首先确定函

数的大致走势，根据单调性的定义确定求解办法：将

自变量的三个取值转化到同一个单调区间内.为此需

要利用奇偶性及指数函数和对数函数的运算法则化简

三个数.化简之后先根据指数函数的单调性及与特殊

值的大小关系，确定三个数的大小关系，之后再比较相应函数值的大小关系.

类似的试题还有全国Ⅰ卷文、理科第3题，天津卷文科第5题、理科第6题等，其考点基本一致，只是具体的数值有所差异.此类试题常考常新，考查学生研究函数基本性质的能力，以及对基础知识、基本技能和基本思想方法的灵活应用.

对指数函数和对数函数运算及性质考查的试题，还常与函数的概念、性质进行结合.例如，北京卷文科第3题、理科第13题，上海卷第6题，全国Ⅱ卷文科第6题、理科第14题等.这几道试题更注重对基础知识的考查，属于简单题或中档题.与转化

3.函数与方程、不等式及零点试题注重考查联系例4（2019年浙江卷·9）设a，b∈R，函数f(x)=ìx1，x<0，

íx3-1(a+1)x2+ax，x≥0.若函数y=f(x)-ax-b恰

î有33个零点，则2（）.

（A）a<-1，b<0（B）a<-1，b>0（C）a>-1，b<0

（D）a>-1，b>0

全国Ⅲ卷文科第5题及此题都以函数与方程的综合应用为载体进行命制.此题考查学生分段讨论、分类求解，具体问题具体对待的意识.根据不同区间内问题的特征，选择用代数方法求解，或者利用导数研究函数的单调性，把握了函数图象的大致走势，即可以确定函数零点的个数.此题命制的载体是学生熟悉的函数：一次函数与三次函数，但是涉及到了参数，因此又具有了变化和不确定性，这就需要学生进行选择——是将其转化为一个函数，根据其图象特征判断零点个数，还是利用两个函数图象的关系寻找交点，

（

·中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

进而确定零点个数.因此，对学生分析问题、解决问题的能力要求比较高.同时，此题也对学生的直观想象、逻辑推理核心素养进行了考查.

天津卷文科第8题、理科第9题，江苏卷第14题的考点也与此类似，只是载体和题面设问不同.浙江卷第16题以“存在成立”为背景命制，考查学生对二次函数、不等式性质、求解等综合应用的能力.分析问题的能力

4.导数及其应用试题注重考查学生的基础知识及例5（2019年全国Ⅲ卷·文7/理6）已知曲线y=aex+xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，

则（）.

（A）a＝e，b=-1（B）a＝e，b=1（C）a＝e-1，b=1

（D）a＝e-1，b=-1

此题以含参数的曲线和切线方程为载体命制，考查学生对导数运算的掌握程度，以及对导数几何意义的理解和应用能力，这是常见的命题方式.类似的试题还有全国Ⅰ卷文、理科第13题，全国Ⅱ卷文科第10题也常用此法命制题，天津卷文科第.例如，北京卷文科第11题，等等.解答题的第20题、理科（1）小第19题等.全国Ⅱ卷文、理科第20题也是对导数的几何意义进行考查，属于难题.

例6（2019年全国Ⅰ卷·理20）已知函数f(x)＝sinx-ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：

（1）f′(x)在区间æè-1，πö存在唯一极大值点；

（2）f(x)有且仅有2个零点2ø.

此题考查利用导数判断函数单调性的方法、函数极值点和零点概念、导数公式和导数运算法则，考查学生灵活应用导数工具分析问题、解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合能力和分类讨论的能力.

此题采用了经典的命制方法，考点明确.但是又有很大的创新，即以正弦函数和对数函数为载体命制.对学生的观察、分析、转化能力进行了考查.

第（1）小题学生容易入手，根据极值的概念，利用导数，按照极值点判断方法即可求解；第（2）小题有一定的难度，但本质上与2015年全国Ⅰ卷理科第21题是一样的.与例4类似，采用数形结合的方法，通过作

图获得求解的思路，将其分为几个区间分别进行判断，再结合第（1）小题，根据最值的概念，利用导数研究函数，确定其单调性，从而确定零点的个数.

在这个过程中，充分考查了学生分析问题的能力，对基本概念、基本方法的掌握情况，以及对数形结合、分段讨论、直观感知、逻辑推理等思想方法的应用能力.

在每份试卷中都有一道类似的试题，但是命制的角度变换无穷.例如，全国Ⅰ卷文科第20题是以三角函数与一次函数为背景命制，第（1）小题判断零点个数，第（2）小题根据不等式在某区间上恒成立求参数的范围.第（2）小题亦可通过求二阶导数来解决.

又如，天津卷理科第20题的题面给人的感觉比较复杂，但是本质也是一样的，第（1）小题利用导数研究函数的单调性；第（2）小题化简之后转化为利用导数求函数的最小值；第（3）小题经过化简转化，可以利用第2）小题获得的结论进行证明.需要学生熟练掌握化简的技能.类似的试题还有浙江卷第22题等.

三、复习建议

学生灵活的思维能力

1.复习函数概念、性质，从零散走向题组，培养高考对于函数概念、性质，指数函数和对数函数，方程与不等式等的考查有着历史的传承.虽然试题的情境在变，但是考点却相对稳定（如例1、例3、例5），同时也会有所创新（如例2）.从解题的过程看，例2与其他例题本质上是一致的，这就是试题命制的规律性，因此复习时要立足“四基”，这是变化之本.

试题有难有易.对于简单题和中档题，直接利用基本性质即可求解.但是对于较难题和难题，则需要学生具有灵活的思维能力，在教学中可以通过题组进行训练.如例7，通过题组，展示试题的内在联系，通过试题的求解，让学生感受试题从难到易如何转化，从易到难如何命制，从而培养学生灵活的思维能力，进而提升学生的解题能力.

例7（1）（2017年全国Ⅰ卷·理5）函数f(x)在

(-∞，+∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则

满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是（）.

·31·

（中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

（A）[-2，2]（B）[-1，1]（C）[0，4]（D）[1，3]（2）（2015年全国Ⅱ卷·文12）设函数f(x)=

ln(1+|x|)-

11，则使得f(x)＞f(2（+x2x-1)成立的x的取值范围是）.

（A）æè13，1ö

ø

（B）æè-∞，13öø∪(1，+∞)（C）æè-1è-∞3，1，-3ö

ø

（D）æ13öø∪æè1，+∞ö

3）（2015年全国Ⅱ3ø

（卷·理12）设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x＞0时，xf′(x)-f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围

是（）.

（A）(-∞，-1)∪(0，1)（B）(-1，0)∪(1，+∞)（C）(-∞，-1)∪(-1，0)（D）(0，1)∪(1，+∞)此题组的三道试题难度依次增加.第（1）题中，函数的性质是已知的，因此可以作图，或者选择一个特殊函数，如f(x)=-x求解.第（2）题中，可以判断得出函数的性质：偶函数，在(0，+∞)单调递增.然后利用性质，根据单调性的定义求解.第（3）题中，需要构造一个函数g(x)=

f(x)x，然后利用已知条件，判断函数g(x)的性质：偶函数，在(0，+∞)单调递减.又因为f(x)=xg(x)，所以可以利用函数g(x)的性质，解决关于函数f(x)的问题.

三道试题一组，让学生感受其中蕴含的“四基”；

让学生了解难题是如何转化为简单试题进行求解的，它们是怎样殊途同归的；让学生理解试题情境灵活变化背后共同的支撑点，从而提高他们灵活的思维能力.暗花明”2.复习导数及其应用，从“山重水复”走向“柳，培养学生分析问题的能力

对于导数运算及其应用的试题，可以分为两类备考.一类是考查导数的概念及几何意义的，这些试题32·

与例5类似，可以采用例7的办法进行复习；另一类是解答题，如例6，它们的命制规律非常明显，但因其定位在难题，所以令人望而生畏.再加之教学中多用题型灌输，将彼此割裂，更增加了此类试题的求解难度，学生永远处于“山重水复”的艰难境地，甚至有些学生干脆放弃了对这部分知识的学习.事实上，在求解这部分试题时常常会有一种“柳暗花明”的愉悦.这种愉悦是“四能”厚积薄发的成效，是学习数学的乐趣所在.

例8（1）（2016年全国Ⅰ卷·理21）已知函数f(x)=(x-2)ex①②求设ax的取值范围；

+a(x-1)2

有两个零点.

1，x2是f（2）（2012年新课标卷·理(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

21）已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+1x2①2.

②求若ff((xx))的解析式及单调区间；

≥1第（1）题是著名的极值点偏移问题，在教学中教师2x2+ax+b，求(a+1)b的最大值.

往往由于过分关注它的独特性，而忽略了它与例6的联系性，导致其求解难度上升.事实上，可以将x1看作两个参数，于是使其和第（2）题有了联系.但是其，x2参数x1有.这是这两道试题的区别，x2自身有含义，而第（.2高中只研究一元函数，）题中的参数a，b则没再结合此类试题的考点分析，求解的思路一定是消元转化.

对于第（1）题的第②问，因为x0.结合第1，x①2是问，可知f零点，于是有f(x(x)的两个

1＜x1)=x1＜2f(x)在区间.欲证(x11，+x2+<∞2)，f(内单调递增，于是只需证只需证x2)=1＜x2<2-x1.由于函数

f(x2)＜

f(2-x1)，结合f(x2)=0，于是转化为证明f实现了消元，收获了意外之喜.(2-x1)＞0，

对于第（2）题的第②问，利用导数研究不等式f(x)≥12x2+ax+b，可以转化为g(x)=f(x)-æ1x2è小值大于等于0.按照这样的思路，得到2+ax+böø

最b≤(a+1)·

(1-ln(a+1))，试题做到这里有一种柳暗花明之感.继而(a+1)b≤(a+1)2

(1-ln(a+1))，实现了消元.再

·中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

次构造函数即可求解.

再将例8与例6相比，会发现他们的本质相同，但是达到目标的路径不同，此类试题注重对学生的“四能”进行考查，特别是分析、转化问题的能力.

四、模拟题赏析

（1.1）函数概念、性质模拟题

下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（

）.

（A）y=xlnx（B）y=x2（C）y=sin2x

（D）y=ex+解析：函数y=xlnx与y=x2+x是非奇非偶函数，

-xe-x

排除选项A和选项B；函数y=sin2x在æè0，π4öø上单调

递增，在æèπ以证明选项4，1öø

上单调递减，排除C；用求导方法可

D符合条件.

（2）函数f(x)=ex+1a+e

x-1a-2x-2的零点个数是

）.（A）0个（B）1个（C）2个（D）与a有关解：因为f(x)=e

x+1a+e

x-1a-2x-2

=exæç1a-1aöèe+e÷ø-2x-2

>2ex-2x-2=2(ex-x-1)所以函数没有零点≥0，

.故选A.

（2.1）导数的运算模拟题

设函数f(x)=lnx+x-a(a∈R)，若曲线y=cosx+2上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))=y0，则a

的取值范围是（）.

（A）[ln3-6，0]（B）[ln3-6，ln2-2]（C）[2ln2-12，0]（D）[2ln2-12，ln2-2]解：显然，函数f(x)是增函数，且由题意知y0∈[1，3若f(].

y0)>y0，得f(f(y0))>f(y0))>y0，与条件矛盾；若f(y0)[1，3]上有解.

由t=lnt+t-a，得t2=lnt+t-a.

分离变量，得a=g(t)=lnt-t2+t，t∈[1，3].因为g′(t)=1-2t+1-(t-1)(2t+1)t=

t≤0，

所以函数g(t)在[1，3]上是减函数.于是有ln3-6=g(3)≤g(t)≤g(1)=0，即a∈[ln3-6，0].故选A.

（2）已知函数f(x)=(kx-1)ex-k(x-1).

①若f(x)在x=x0处的切线斜率与k无关，求x②若∃x∈R，使得f大值.

(x)<0成立，求整数k的最0；解：①f′(x)=(kx+k-1)ex-k，即f′(x)=k[(x+1)ex-1]-ex.由已知，得(xx0+1)e0

-1=0.令φ(x)=(x+1)ex-1，则φ′(x)=(x+2)ex.

当x∈(-∞，-2)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，因此φ(x)<0；

当x∈(-2，+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，又φ(0)=0，所以φ(x)只有唯一零点.

故x②0=0.

f(x)<0，即k(xex-x+1当x≥0时，)0.

当x<0时，因为ex-1<0，

（下转第40页）

·33·

（

中国数学教育·高中版2019年第7—8期（总第199—200期）

x≤4，5出解题的有效工具是函数的图象.因此，学生要熟练掌握函数图象，包括基本初等函数的图象、图象的变换、导数与函数图象的关系等.同时，还要关注平时在学习中遇到的典型例题，掌握解题方法，以使得在解同类题时能够顺利进行类比与转化，提高解题效率.反思教学，则在课堂中更应该注重培养学生的“四基”“四能”，只有有效促进学生进行深度思考，让学生参与到研究的过程中，才能提高学生的解题能力.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学

课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］周志国.2018年高考“函数与导数”专题解题分

析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：［3］张岩.2018年高考“三角函数”专题解题分

析［J］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：40-45.

即g′(0)>0，g(x)单调递增；当x∈(x0，+∞)时，h(x)<0，即g′(0)<0，g(x)单调递减.

x2-x0e所以g(x)max=g(x0)===xx0e-x0+1x0(2-x0)-x0+100要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，

则f(x)=1-(x-1)，x∈(0，2]与g(x)=k(x+2)，x∈(0，1]的图象有2个不同交点.

2

由(1，0)到直线kx-y+2k=0的距离为1，得

|3k|k2+1=1.

解得k=1(k>0).

22因为两点(-2，0)，(1，1)连线的斜率k=1，

3所以1≤k<1，322é2ö即k的取值范围为ê1，÷.34ëø

26-32.

素养进行考查，通过上述对试题解法的分析，可以看（上接第33页）

所以x(ex-1)>0.所以x(ex-1)+1>0.

x

e所以k(xe-x+1)x

x

2019年的高考试题更趋向于对学生的学科思想与

设g(x)=

ex

，

xex-x+1ex(2-ex-x)由题意，可知kx0-2+1+3

x0-21.

令t=x0-2(t∈(-2，-1))，则y=t+1+3∈æ1，1ö.

tè2ø所以g(x)max∈(1，2).故整数k的最大值为1.

备考过程中，要在浩瀚的题海遨游而不被淹没的

(xe

x

-x+1)2，令h(x)=2-ex-x，则h′(x)=-ex-1<0.因为h′(x)<0，

所以h(x)在R上单调递减.因为h(0)>0，h(1)<0，

所以∃x0∈(0，1)，使得h(x0)=0，即e=2-x0.·40·

x0

根本力量就是回归“四基”，发展“四能”，紧扣教材，加强联系，注重转化.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学

课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

当x∈(-∞，x0)时，h(x)>0，