2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)ansupd(x,x1) xz1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记

若n1an，则映射A有唯一不动点。

（第七章：P216，#18）

证明 因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

*******NNNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是A的不动点。A的不动点是唯一的，因此x= Ax，即x是A的不动点。

N*** 若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=Ax’=…= A x’= x’。

Nn1这样x’也是A的不动点，由于AN的不动点是唯一的，因此x= x’。即A的不动点也是

N*唯一的。证毕。

2、按范数

xmaxjj，

x1,2,n成赋范线性空间，问R的共轭空间是什么？

n（第八章：P236，#8）

n解 记R按范数

nxmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数

nnxii1组成赋范线性

空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,ei0,0,1,0,i,0i1,2,fen，其中

,n。

对任意

xieii1n，

fxfefemaxiiii1i1nniTfx 于是fTf

反之，对任意

y1nY。定义fX：对任意

xieii1n，

fxiii1n，则Tfy。

因此T是 X到Y的映射

若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。

若y1n  0,,0令

xsignieii1n，则x 1

因此

f

fx

i1niyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在

同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明集 。

M是X中包含M的最小闭子

（第九章：265，#6）

证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设

xM，则y,x

limxn,x0n，因此

yM，即

YMYM又Y是X中闭子空间，且。证毕

MY，则Y MM，从而Y= Y，所以

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B2

2T2T2。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

TTTT,B22iA及TTTT，

得

A2B2TTTTTTTTTT44，

所以

A2B2TTT2。

2T22T2T2TT2T4，即

T2T2。证毕。

5、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，

T1xTxxxT，证明： xx。

（第九章：P265,#12）

证明 若Txx，则

xTx,xx,Tx2

x

Tx x‘

2因此，

x,Txx,xx,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由

，

可得

1，。

即

Txx。这样，

xTxxxTxxxTxxxTxxxTxxxT即

xx。证毕

6、用闭图像定理证明逆算子定理。

（第十章：P296，#19）

证明 设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T的图像

1G(T1){(y,T1y)yY}，若

(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设这样

T1ynxn，则

xnx0，

Txny0。因为T是连续的，所以

Tx0limTxny0n，即

T1y0x0。

(y0,x0)G(T1)1G(T)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图。于是我们证明了

像定理，T是有界的，证毕。

17、X为距离空间，A为X中子集，令

f(x)infd(x,y),xX,.yA证明f(x)是X上连续函数。

（第七章：P215， #10）

o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)}d(E,F)o22 证明 设。令

zOG则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有的点x使

d(x,z〈)，所以存在E中

2，F中点y使

d(y,z〈)〈)，此与2，于是d(x,y)d(x,z)d(y,zd(x,y)d（E，F）矛盾。证毕

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。

（第 十一章：P319，#10）

证明 若x(x1,x2,xn,)，定义

An:Anx(xkajk)ejj1k1n：

则An是有界秩算子，且

2kjk(AAn)x2jn1k1xa

2k2jn1k1(x)(ajk)k1

jn1ajkk12x2

所以

AAnjn1ak12jk0(n)。

由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕