高中数学教案：不等式的性质

课程目标

知识点 不等式的性质 考试要求 C 具体要求 熟练掌握不等式的基本性质. 考察频率 少考 知识提要

不等式的性质

• 不等式的定义

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．

• 实数的基本性质

如果 𝑎−𝑏 是正数，那么 𝑎>𝑏； 如果 𝑎−𝑏 等于零，那么 𝑎=𝑏； 如果 𝑎−𝑏 是负数，那么 𝑎<𝑏． • 不等式的基本性质

对称性：如果 𝑎>𝑏，那么 𝑏<𝑎；如果 𝑏<𝑎，那么 𝑎>𝑏 ．即 𝑎>𝑏⇔𝑏<𝑎． 传递性：如果 𝑎>𝑏，𝑏>𝑐，那么 𝑎>𝑐 ．即 𝑎>𝑏，𝑏>𝑐 ⇒𝑎>𝑐． 可加性：如果 𝑎>𝑏，那么 𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 ． 推论1 𝑎+𝑏>𝑐⇒𝑎>𝑐−𝑏． 𝑎>𝑏

推论2 }⇒𝑎+𝑐>𝑏+𝑑．

𝑐>𝑑

𝑎>𝑏𝑎>𝑏

可乘性：}⇒𝑎𝑐>𝑏𝑐；}⇒𝑎𝑐<𝑏𝑐．

𝑐>0𝑐<0𝑎>𝑏>0

推论1 }⇒𝑎𝑐>𝑏𝑑 ．

𝑐>𝑑>0

推论2 𝑎>𝑏>0⇒𝑎𝑛>𝑏𝑛(𝑛∈𝐍+,𝑛>1)．

11𝑎>𝑏

推论3 }⇒𝑎<𝑏．

𝑎𝑏>0

可开方：𝑎>𝑏>0⇒√𝑎>√𝑏 (𝑛⩾2,𝑛∈𝐍)．

𝑛𝑛

精选例题

不等式的性质

1. 已知 −2⩽𝛼<𝛽⩽2，则

π

π

𝛼+𝛽2

的取值范围是 ；

𝛼−𝛽2

的取值范围是 ．

πππ

【答案】 (−,)；[−,0)

222

ππππ

【分析】 因为 −2⩽𝛼<2，−2<𝛽⩽2， 所以 −π<𝛼+𝛽<π， 所以 −<

2ππ

𝛼+𝛽2

<．

2π

π

因为 −⩽−𝛽<，

22

所以 −π⩽𝛼−𝛽<π， 所以 −⩽<．

222

又因为 𝛼−𝛽<0， 所以 −2⩽

π

𝛼−𝛽2

π

𝛼−𝛽

π

<0．

1

1

2. 若 𝑎>𝑏>0，则 𝑎𝑛 𝑏𝑛 (𝑛∈𝐍+)（填“ > ”或“ < ”）

【答案】 <

【分析】 因为 𝑎>𝑏>0， 所以 𝑎𝑛>𝑏𝑛>0，

1111

所以 𝑏𝑛>𝑎𝑛，即 𝑎𝑛<𝑏𝑛．

3. 武广铁路上，高速列车跑出了 350 km/h 的高速度，但这个速度的 2 倍再加上 100 km/h，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的 3 倍，设高速列车速度为 𝑣1，波音飞机速度为 𝑣2，普通客车速度为 𝑣3，则三种交通工具速度的不等关系分别为 ．

【答案】 2𝑣1+100⩽𝑣2，𝑣1>3𝑣3

4. 已知实数 𝑥，𝑦 满足 𝑎𝑥<𝑎𝑦(0<𝑎<1)，则在关系式① 𝑥2+1>𝑦2+1；② ln(𝑥2+1)>ln(𝑦2+1)；③ sin𝑥>sin𝑦；④ 𝑥3>𝑦3 中，恒成立的是 ．

【答案】 ④

5. 若 𝑎>1，𝑏<1，则 𝑎𝑏+1 与 𝑎+𝑏 的大小关系为 𝑎𝑏+1 𝑎+𝑏．

1

1

【答案】 <

【分析】 𝑎𝑏+1−𝑎−𝑏=𝑎(𝑏−1)−(𝑏−1)=(𝑏−1)(𝑎−1)． 因为 𝑎>1，𝑏<1，所以 𝑎−1>0，𝑏−1<0， 所以 (𝑏−1)(𝑎−1)<0，即 𝑎𝑏+1<𝑎+𝑏．

6. 实数 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 满足下列三个条件：①𝑑>𝑐；②𝑎+𝑏=𝑐+𝑑；③𝑎+𝑑<𝑏+𝑐．则将 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 按从小到大的顺序排列起来是 ．

【答案】 𝑎<𝑐<𝑑<𝑏

【分析】 由 𝑎−𝑑=𝑐−𝑏，𝑎+𝑑<𝑏+𝑐 相加得 𝑎<𝑐； 又 𝑏−𝑑=𝑐−𝑎>0，得 𝑏>𝑑， 又 𝑑>𝑐，故 𝑎<𝑐<𝑑<𝑏．

7. 实数 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 满足下列三个条件：① 𝑑>𝑐；② 𝑎+𝑏=𝑐+𝑑；③ 𝑎+𝑑<𝑏+𝑐．则 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 的大小关系为

【答案】 𝑏>𝑑>𝑐>𝑎

【分析】 由③，得 𝑑−𝑏<𝑐−𝑎；由②，得 𝑐−𝑎=𝑏−𝑑，于是有 𝑑−𝑏<𝑏−𝑑，𝑎−𝑐<𝑐−𝑎，从而 𝑑<𝑏，𝑎<𝑐．再结合 𝑑>𝑐，得 𝑏>𝑑>𝑐>𝑎．

8. 设 𝑎=√7+√10，𝑏=√3+√14，则 𝑎 与 𝑏 的大小关系是 ．

【答案】 𝑎>𝑏

9. 若 𝑎,𝑏∈𝐑，则使“ 𝑎>𝑏，𝑎−𝑎>𝑏−𝑏 ”同时成立的一个充分条件是 ．

【答案】 𝑎>𝑏>0

【分析】 答案不唯一，诸如：“ 0>𝑎>𝑏 ”或“ 𝑎>𝑏 且 𝑎𝑏<−1 ”等

10. 若 𝑥>𝑦，𝑎>𝑏，则在 ①𝑎−𝑥>𝑏−𝑦；②𝑎+𝑥>𝑏+𝑦；③𝑎𝑥>𝑏𝑦；④𝑥−𝑏>𝑦−𝑎 这四个式子中，恒成立的不等式的序号是 ．

【答案】 ②④

11. 若 𝛼∈(0,π)，𝛽∈(−2,0)，则 𝛼−2𝛽∈ ．

π

1

1

【答案】 (0,2π)

π

【分析】 因为 −2<𝛽<0，所以 −π<2𝛽<0，所以 0<−2𝛽<π．又因为 0<𝛼<π，所以 0<𝛼−2𝛽<2π．

12. 对于实数 𝑥,𝑦 ，若 ∣𝑥−1∣⩽1 ， ∣𝑦−2∣⩽1 ，则 ∣𝑥−2𝑦+1∣ 的最大值为 ．

【答案】 5

【分析】 首先解出 𝑥 的范围：

0⩽𝑥⩽2,

再解出 𝑦 的范围：

1⩽𝑦⩽3,

最后综合解出 𝑥−2𝑦+1 的范围： [−5,1] ，那么 ∣𝑥−2𝑦+1∣ 最大值为 5 ．

13. 已知 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 均为实数’则下列结论中正确的是 ．（填人所有正确结论的序号） ① 若 𝑎>𝑏，𝑐>𝑑，则 𝑎+𝑐>𝑏+𝑑； ②若 𝑎𝑏>0，−>0，则 𝑏𝑐−𝑎𝑑>0；

𝑎

𝑏𝑐

𝑑

③ 若 𝑏𝑐−𝑎𝑑>0,𝑎−𝑏>0，则 𝑎𝑏>0； ④若 𝑎>𝑑，则 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2．

【答案】 ①②③

【分析】 根据同向不等式的可加性可知 ① 正确；

𝑐𝑑

因为 𝑎𝑏>0，𝑎−𝑏>0， 所以 𝑎𝑏(−)>0，

𝑎𝑏即 𝑏𝑐−𝑎𝑑>0，

② 正确；

𝑐𝑑

因为 −>0， 所以

𝑎𝑏𝑏𝑐−𝑎𝑑𝑎𝑏

𝑐

𝑑

𝑐𝑑

>0，

又因为 𝑏𝑐−𝑎𝑑>0， 所以 𝑎𝑑>0，③ 正确；

④ 中由于不知道 𝑐 是否为 0，所以不正确．

14. 设实数 𝑥，𝑦 满足 3⩽𝑥𝑦⩽8，4⩽

2

𝑥2𝑦

⩽9，则 𝑦4 的最大值是 ．

𝑥3

【答案】 27

111

【分析】 因为 3⩽𝑥𝑦2⩽8⇒8⩽𝑥𝑦2⩽3 ⋯⋯①， 4⩽

𝑥2𝑦

⩽9⇒16⩽𝑦2⩽81 ⋯⋯②，

𝑥4

所以①②两式相乘可得 2⩽𝑦4⩽27．当 𝑥=3，𝑦=1 时，取到最大值 27．

15. 已知 𝑎，𝑏，𝑐 为三角形的三边的长，则 𝑎2 与 𝑎𝑏+𝑎𝑐 的大小关系是 ．

【答案】 𝑎2<𝑎𝑏+𝑎𝑐

【分析】 因为 𝑎，𝑏，𝑐 为三角形的三边的长，所以 𝑎<𝑏+𝑐， 又因为 𝑎>0，所以 𝑎2<𝑎(𝑏+𝑐) 即 𝑎2<𝑎𝑏+𝑎𝑐．

16. (𝑥+5)(𝑥+7) 与 (𝑥+6)2 的大小关系是 ．

【答案】 (𝑥+5)(𝑥+7)<(𝑥+6)2

【分析】 因为 (𝑥+5)(𝑥+7)−(𝑥+6)2=−1<0， 所以 (𝑥+5)(𝑥+7)<(𝑥+6)2．

17. 已知 𝑎,𝑏∈𝐑 且 𝑎𝑏≠0，则不等式 𝑎𝑏−𝑎2 𝑏2 成立（填 > 、 < 或 =）．

【答案】 <

所以 𝑎𝑏−𝑎2<𝑏2．

π

𝑥3

【分析】 两式作差得 𝑎𝑏−𝑎2−𝑏2=−(𝑎−)−𝑏2<0，

24

𝑏2

3

18. 若角 𝛼，𝛽 满足 2<𝛼<𝛽<π，则 𝛼+𝛽 的取值范围是 ，𝛼−𝛽 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．

𝛽𝛼

π1

【答案】 (π,2π)；(−,0)；(,1)

22

19. 设 𝑥>5，𝑃=√𝑥−4−√𝑥−5，𝑄=√𝑥−2−√𝑥−3，则 𝑃 与 𝑄 的大小关系是 ．

【答案】 𝑃>𝑄

20. 已知 𝑓(𝑥)=𝑝𝑥2−𝑞，若 −4⩽𝑓(1)⩽−1，−1⩽𝑓(2)⩽5，则 𝑓(3) 的最小值是 ，最大值是 ．

【答案】 −1；20

【分析】 提示：𝑓(3)=9𝑝−𝑞，𝑓(1)=𝑝−𝑞，𝑓(2)=4𝑝−𝑞，

𝑥+4𝑦=9,58

设 9𝑝−𝑞=𝑥(𝑝−𝑞)+𝑦(4𝑝−𝑞)，则 { 解得 𝑥=−，𝑦=．

33𝑥+𝑦=1,

55208840 则 3⩽−3(𝑝−𝑞)⩽3，−3⩽3(4𝑝−𝑞)⩽3．

21. 若 𝑎，𝑏∈𝐑+，比较 √𝑏+√𝑎 与 √𝑎+√𝑏 的大小．

【解】 解法一：（作差法） 因为 𝑎,𝑏∈𝐑+， 所以(√=

=

𝑎𝑎2𝑏

𝑎2

𝑏2

+√)−(√𝑎+√𝑏)𝑎𝑏𝑏2

√𝑏√𝑎𝑎−𝑏𝑏−𝑎√𝑏+−√𝑎−√𝑏11√𝑎+√𝑎=(𝑎−𝑏)(==

√𝑏(𝑎−𝑏)(√𝑎−√𝑏)√𝑎𝑏−)

(√𝑎+√𝑏)(√𝑎−√𝑏)√𝑎𝑏𝑎2𝑏

2

⩾0,

所以 √+√

𝑏2𝑎

⩾√𝑎+√𝑏．

解法二：（作商法） 因为 𝑎,𝑏∈𝐑+， 所以=

=== 所以 √

11𝑎22𝑏22()+()𝑏𝑎√𝑎+√𝑏𝑎𝑏+√𝑏√𝑎√𝑎+√𝑏3

(√𝑎)+(√𝑏)(√𝑎+√𝑏)√𝑎𝑏𝑎+𝑏−√𝑎𝑏√𝑎𝑏3

(√𝑎−√𝑏)+√𝑎𝑏√𝑎𝑏𝑎2𝑏

2

⩾

√𝑎𝑏√𝑎𝑏=1.

+√

𝑎2

𝑏2𝑎

⩾√𝑎+√𝑏．

𝑏2

2

2

解法三：（平方作差法） 因为(√𝑏+√𝑎)−(√𝑎+√𝑏)

=(+

𝑏==

𝑎𝑏𝑎+𝑏𝑎2

𝑏2𝑎

+2√𝑎𝑏)−(𝑎+𝑏+2√𝑎𝑏) 𝑎3+𝑏3

=−(𝑎+𝑏)

𝑎𝑏

(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)2

𝑎𝑏𝑎2

𝑏2

(𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏−𝑎𝑏)

⩾0,

所以 √𝑏+√𝑎⩾√𝑎+√𝑏．

22. 已知 𝑥，𝑦 均为正数，设 𝑚=+，𝑛=

𝑥

𝑦1

1

4𝑥+𝑦

，试比较 𝑚 和 𝑛 的大小．

𝑚−𝑛

【解】

==

=𝑥+𝑦−𝑥+𝑦

𝑥+𝑦𝑥𝑦𝑥+𝑦

2(𝑥+𝑦)−4𝑥𝑦𝑥𝑦(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)2

114

−

4

因为 𝑥，𝑦 均为正数，所以 𝑥>0，𝑦>0，𝑥𝑦>0，𝑥+𝑦>0，(𝑥−𝑦)2⩾0． 所以 𝑚−𝑛⩾0，即 𝑚⩾𝑛，当且仅当 𝑥=𝑦 时，等号成立．

23. 已知 𝛼，𝛽 满足 0<𝛼⩽𝛽<2，求 𝛼−𝛽，𝛽 的取值范围．

π

【解】 因为 0<𝛽<， 所以 −2⩽−𝛽<0，𝛽>π． 又 0<𝛼<，

所以 −2<𝛼−𝛽<2，𝛽>0． 因为 𝛼⩽𝛽，

𝛼

所以 𝛼−𝛽⩽0，⩽1， 所以 −<𝑎−𝛽⩽0，0<

2π

𝛽

𝛼𝛽

π

2

π

𝛼

ππ

122

π

𝛼

=𝑥𝑦(𝑥+𝑦).

⩽1．

𝑎

24. 设 2<𝑎<3，−4<𝑏<−3，求 𝑎+𝑏，𝑎−𝑏，𝑎𝑏，𝑏 的取值范围．

【解】 （1）因为 2<𝑎<3，−4<𝑏<−3， 所以 −2<𝑎+𝑏<0． （2）因为 −4<𝑏<−3， 所以 3<−𝑏<4． 因为 2<𝑎<3， 所以 5<𝑎−𝑏<7． （3）因为 3<−𝑏<4， 所以 6<−𝑎𝑏<12， 所以 −12<𝑎𝑏<−6． （4）因为 −4<𝑏<−3，

111

所以 −3<𝑏<−4， 所以 4<−𝑏<3， 所以 2<−𝑏<1， 所以 −1<𝑏<−2．

(1)已知 𝑎>0，且 𝑏=𝑎+1，试比较 √3，𝑎，𝑏 之间的大小．

𝑎+3

𝑎

1

1

𝑎

1

1

1

【解】 用作差法，𝑏−√3=𝑎+1−√3=

𝑎+3

(√3−1)(√3−𝑎)𝑎+1

．

∴（i）当 0<𝑎<√3 时，有 0<𝑎<√3<𝑏； （ii）当 𝑎=√3 时，有 𝑎=𝑏=√3； （iii）当 𝑎>√3 时，𝑏<√3<𝑎．

1𝑡+1

(2)设 𝑎>0，𝑎≠1，𝑡>0，试比较 2log𝑎𝑡 与 log𝑎2 的大小．

1𝑡+1

【解】 由于 2log𝑎𝑡=log𝑎√𝑡，因此可先比较 √𝑡 与 2 的大小，再用对数函数的单调性；亦可直接进行比较：log𝑎 ∵2(√𝑡+1

1√𝑡𝑡+12

−2⋅log𝑎𝑡=log𝑎2𝑡+12

1𝑡+1√𝑡=log𝑎2(√𝑡+11√𝑡)．

)⩾1，

=log𝑎𝑡；

2

1

11

∴（i）当 𝑡=1 时，有 log𝑎 ∴log𝑎 ∴log𝑎

𝑡+12𝑡+12

（ii）当 𝑡≠1 时，若 0<𝑎<1，则 log𝑎(√𝑡+)<0，

2√𝑡21

1

11

若 𝑎>1，则 log𝑎(√𝑡+)>0，

2√𝑡 (3) 𝑥,𝑦,𝑧∈𝐑+，且 𝑥2+𝑦2=𝑧2，比较 𝑧3 与 𝑥3+𝑦3 的大小．

【解】 ∵𝑧3−𝑥3−𝑦3=𝑧⋅𝑧2−𝑥3−𝑦3=𝑧(𝑥2+𝑦2)−𝑥3−𝑦3=𝑥2(𝑧−𝑥)+𝑦2(𝑧−𝑦)， ∵𝑥<𝑧，𝑦<𝑧， ∴ 上式大于零， ∴𝑧3>𝑥3+𝑦3．

或用三角代换：由 𝑥2+𝑦2=𝑧2，可设 𝑥=𝑧cos𝛼，𝑦=𝑧sin𝛼，𝛼∈(0,2)，𝑥3+𝑦3=𝑧3(sin3𝛼+cos3𝛼)<𝑧3(sin2𝛼+cos2𝛼)=𝑧3． 或

𝑥3+𝑦3𝑧33

π

>2log𝑎𝑡．

∴𝑥+𝑦3<𝑧3，一般地，若 𝑥,𝑦,𝑧∈𝐑+，且 𝑥2+𝑦2=𝑧2，则 𝑥𝑛+𝑦𝑛<𝑧𝑛，𝑛⩾3，𝑛∈𝐍．

26. 比较 𝑥2−2𝑥+3𝑎 与 (𝑥−3)(𝑥+1) 的大小．

【解】 𝑥2−2𝑥+3𝑎−(𝑥−3)(𝑥+1)=𝑥2−2𝑥+3𝑎−(𝑥2−2𝑥−3)=3𝑎+3， 所以，当 𝑎=−1 时，𝑥2−2𝑥+3𝑎=(𝑥−3)(𝑥+1)； 当 𝑎>−1 时，𝑥2−2𝑥+3𝑎>(𝑥−3)(𝑥+1)； 当 𝑎<−1 时，𝑥2−2𝑥+3𝑎<(𝑥−3)(𝑥+1)．

27. 设 0<𝑥<1，𝑎>0 且 𝑎≠1，比较 ∣log𝑎(1−𝑥)∣ 和 ∣log𝑎(1+𝑥)∣ 的大小．

【解】

22

∣log𝑎(1−𝑥)∣−∣log𝑎(1+𝑥)∣

=()+()<()+()=

𝑧𝑧𝑧𝑧

𝑥3𝑦3𝑥2𝑦2

𝑥2+𝑦2𝑧2

=1．

=[log𝑎(1−𝑥)−log𝑎(1+𝑥)]⋅[log𝑎(1−𝑥)+log𝑎(1+𝑥)]

1−𝑥

=log𝑎(1−𝑥2)⋅log𝑎.

1+𝑥由 0<𝑥<1，得

1−𝑥

<1, 1+𝑥1−𝑥

当 0<𝑎<1 时，log𝑎(1−𝑥2)>0，log𝑎>0，从而

1+𝑥

1−𝑥

log𝑎(1−𝑥2)⋅log𝑎>0;

1+𝑥1−𝑥

当 𝑎>1 时，log𝑎(1−𝑥2)<0，log𝑎1+𝑥<0，从而

1−𝑥

log𝑎(1−𝑥2)⋅log𝑎>0.

1+𝑥综上，得

1−𝑥

log𝑎(1−𝑥2)⋅log𝑎>0,

1+𝑥即

∣log𝑎(1−𝑥)∣2>∣log𝑎(1+𝑥)∣2,

故有 ∣log𝑎(1−𝑥)∣>∣log𝑎(1+𝑥)∣．

0<1−𝑥2<1,0<

28. 已知 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑐 且 −4⩽𝑓(1)⩽−1，−1⩽𝑓(2)⩽5，求 𝑓(3) 的取值范围．

𝑎=3[𝑓(2)−𝑓(1)],𝑎−𝑐=𝑓(1),

【解】 由题意，得 { 解得 { 414𝑎−𝑐=𝑓(2),𝑐=−𝑓(1)+𝑓(2). 所以 𝑓(3)=9𝑎−𝑐=−3𝑓(1)+3𝑓(2)． 因为 −4⩽𝑓(1)⩽−1，所以 3⩽−3𝑓(1)⩽

8

85

5

5

8

3

3

203

1

，

因为 −1⩽𝑓(2)⩽5，所以 −⩽𝑓(2)⩽．

333

()() 两式相加，得 −1⩽𝑓3⩽20，故 𝑓3 的取值范围是 [−1,20]．

29. 若二次函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象过原点，且 1⩽𝑓(−1)⩽2，3⩽𝑓(1)⩽4，求 𝑓(−2) 的取值范围．

【解】 因为二次函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象过原点，所以设 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)， 所以 𝑓(−2)=4𝑎−2𝑏．

又因为 1⩽𝑓(−1)⩽2，3⩽𝑓(1)⩽4，

1⩽𝑎−𝑏⩽2,

所以 {

3⩽𝑎+𝑏⩽4.

设存在实数 𝑚，𝑛 使得 4𝑎−2𝑏=𝑚(𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎−𝑏)，即 4𝑎−2𝑏=(𝑚+𝑛)𝑎+(𝑚−𝑛)𝑏．

𝑚+𝑛=4,

所以 {

𝑚−𝑛=−2.

解得 𝑚=1，𝑛=3．

所以 4𝑎−2𝑏=(𝑎+𝑏)+3(𝑎−𝑏)．

又因为 3⩽𝑎+𝑏⩽4，3⩽3(𝑎−𝑏)⩽6，

所以 3+3⩽4𝑎−2𝑏⩽4+6，即 6⩽𝑓(−2)⩽10．

30. 若 1⩽𝑎−𝑏⩽2，2⩽𝑎+𝑏⩽4，求 5𝑎−𝑏 的取值范围．

40

【解】 令 𝑎−𝑏=𝑠，𝑎+𝑏=𝑡，则 𝑎=

𝑠+𝑡2

，𝑏=

𝑡−𝑠2

且 1⩽𝑠⩽2，2⩽𝑡⩽4．

∴5𝑎−𝑏=3𝑠+2𝑡．

又 ∵3⩽3𝑠⩽6，4⩽2𝑡⩽8，∴7⩽3𝑠+2𝑡⩽14． 即 5𝑎−𝑏∈[7,14]．

31. 已知 𝑎>𝑏>0，𝑚>0，试比较

𝑏+𝑚

𝑏

𝑎+𝑚

𝑎

与 的大小．

𝑏+𝑚𝑏𝑎𝑏+𝑎𝑚−𝑎𝑏−𝑏𝑚𝑚(𝑎−𝑏)

【解】 𝑎+𝑚−𝑎==． 𝑎(𝑎+𝑚)𝑎(𝑎+𝑚)

因为 𝑎>𝑏>0，𝑚>0，所以 𝑎−𝑏>0，𝑎+𝑚>0． 所以

32. 若 −6<𝑎<8，2<𝑏<3，分别求 2𝑎+𝑏，𝑎−𝑏，𝑏 的范围．

【解】 因为 −12<2𝑎<16，2<𝑏<3，两式相加，得 −10<2𝑎+𝑏<19． 因为 −6<𝑎<8，2<𝑏<3，所以 −3<−𝑏<−2，所以 −9<𝑎−𝑏<6．

111

因为 2<𝑏<3，所以 3<𝑏<2． （i）当 0⩽𝑎<8 时，0⩽

𝑎𝑏

𝑎

𝑚(𝑎−𝑏)𝑎(𝑎+𝑚)>0，故

𝑏+𝑚

𝑎+𝑚

>．

𝑎

𝑏

<4；

𝑎

（ii）当 −6<𝑎<0 时，0>𝑏>−3． 综合（i）（ii），得 −3<<4．

𝑏

𝑎

33. 某矿山车队有 4 辆载重 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重 6 t 的乙型卡车，且有 9 名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t 矿石到冶炼厂，已知甲型卡车每天可往返 6 次，乙型卡车每天可往返 8 次，设每天派出甲型卡车 𝑥 辆，乙型卡车 𝑦 辆，写出所有满足上述不等关系的关于 𝑥，𝑦 的不等式．

【解】 根据题意，得如下的不等关系：

（1）甲型卡车不能超过 4 辆，乙型卡车不能超过 7 辆； （2）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； （3）车队每天至少要运 360 t 矿石．

用关于 𝑥，𝑦 的不等式表示上述不等关系：

0⩽𝑥⩽4,𝑥∈𝐍,0⩽𝑥⩽4,𝑥∈𝐍,

0⩽𝑦⩽7,𝑦∈𝐍,0⩽𝑦⩽7,𝑦∈𝐍,

{ 即 {

𝑥+𝑦⩽9,𝑥+𝑦⩽9,

10×6𝑥+6×8𝑦⩾360,5𝑥+4𝑦⩾30.

34. 已知 −⩽𝛼<𝛽⩽，求

2

2

π

π

𝛼+𝛽2

，𝛼−𝛽2

的范围．

ππ

【解】 ∵−2⩽𝛼<𝛽⩽2， ∴−4⩽

π

𝛼2

<4，−4<

ππ𝛽2

⩽4．

π

∴−2< 又 −<

4πππ

π𝛼+𝛽2𝛽2

<2．

π4π

π

⩽， <2．

𝛼−𝛽2π

∴−4⩽−2<4． ∴−2⩽ ∴−2⩽ 即

𝛼+𝛽2π

𝛼−𝛽2𝛼−𝛽2

𝛽

又 ∵𝛼<𝛽，∴<0，

𝛼−𝛽2

<0．

ππ

∈(−2,2)，∈[−2,0)．

π

35. 设 𝑎,𝑏∈𝐑+ 且 𝑎≠𝑏，试比较 𝑎𝑎𝑏𝑏 与 𝑎𝑏𝑏𝑎 的大小．

【解】

𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎=

𝑎𝑎−𝑏𝑏𝑎−𝑏=()

𝑏

𝑎𝑎

𝑎𝑎−𝑏

，∵𝑎,𝑏∈𝐑+，

𝑎𝑎−𝑏

∴（1）当 𝑎>𝑏 时，𝑏>1，𝑎−𝑏>0，(𝑏) （2）𝑎<𝑏 时，0<𝑏<1，𝑎−𝑏<0，(𝑏) 综上所述，𝑎𝑎𝑏𝑏>𝑎𝑏𝑏𝑎．

>1．此时 𝑎𝑎𝑏𝑏>𝑎𝑏𝑏𝑎． >1．此时 𝑎𝑎𝑏𝑏>𝑎𝑏𝑏𝑎．

𝑎𝑎−𝑏

36. 若 𝑥<𝑦<0，试比较 (𝑥2+𝑦2)(𝑥−𝑦) 与 (𝑥2−𝑦2)(𝑥+𝑦) 的大小．

(𝑥2+𝑦2)(𝑥−𝑦)−(𝑥2−𝑦2)(𝑥+𝑦)=(𝑥−𝑦)[(𝑥2+𝑦2)−(𝑥+𝑦)2]

【解】

=(𝑥−𝑦)(−2𝑥𝑦)=−2𝑥𝑦(𝑥−𝑦).

因为 𝑥<𝑦<0，

所以 𝑥𝑦>0，𝑥−𝑦<0， 所以 −2𝑥𝑦(𝑥−𝑦)>0，

所以 (𝑥2+𝑦2)(𝑥−𝑦)>(𝑥2−𝑦2)(𝑥+𝑦)．

37. 已知 1⩽𝑎+𝑏⩽5，−1⩽𝑎−𝑏⩽3，求 3𝑎−2𝑏 的取值范围．

【解】 设 3𝑎−2𝑏=𝛼(𝑎+𝑏)+𝛽(𝑎−𝑏)=(𝛼+𝛽)𝑎+(𝛼−𝛽)𝑏， 𝛼=2,𝛼+𝛽=3,

∴{ 则 {5 𝛼−𝛽=−2,𝛽=2. ∵2⩽2(𝑎+𝑏)⩽2，−2⩽2(𝑎−𝑏)⩽

1

5

1

1

5

5

51

152

，

∴−2⩽2(𝑎+𝑏)+2(𝑎−𝑏)⩽10．即 −2⩽3𝑎−2𝑏⩽10．

38. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h．行驶过程中，同一车道上的车间距 𝑑 不得小于 10m，用不等式表示上述关系．

【解】 设车速为 𝑣 km/h，则 𝑣⩽120(km/h)，又 𝑑⩾10(m)，而上述不等关系同时成立，

𝑣⩽120,故 {

𝑑⩾10.

39. 设 𝑃=𝑎2𝑏2+5，𝑄=2𝑎𝑏−𝑎2−4𝑎，若 𝑃>𝑄，求实数 𝑎，𝑏 应满足的条件．

【解】 ∵𝑃−𝑄=𝑎2𝑏2+5−2𝑎𝑏+𝑎2+4𝑎=(𝑎𝑏−1)2+(𝑎+2)2． ∵𝑃>𝑄，

∴(𝑎𝑏−1)2+(𝑎+2)2>0． ∴𝑎𝑏≠1 或 𝑎≠−2．

故实数 𝑎，𝑏 应满足的条件是 𝑎𝑏≠1 或 𝑎≠−2．

40. 已知 −3<𝑎<−2<𝑏<−1，求 𝑎+𝑏，𝑎−𝑏，𝑏−2𝑎，𝑎𝑏， 各自的取值范围．

𝑏𝑎

【解】 由 得 即

−5<𝑎+𝑏<−3;

又 1<−𝑏<2，故

−3+1<𝑎−𝑏<−2+2,

即

−2<𝑎−𝑏<0;

因为 4<−2𝑎<6，故

−2+4<𝑏−2𝑎<−1+6,

即

2<𝑏−2𝑎<5;

因为 𝑎<0，𝑏<0，故

−𝑎>0,−𝑏>0,

得

2×1<(−𝑎)(−𝑏)<3×2,

即

2<𝑎𝑏<6;

由 −2<𝑏<−1，故

−1<

得

2×

即

11<−, 𝑏2−3<𝑎−2<𝑏

<−2,

<−1,

−3−2<𝑎+𝑏<−2−1,

1𝑎1

<=(−𝑎)⋅(−)<3×1, 2𝑏𝑏1<

𝑎

<3. 𝑏课后练习

1. 若 𝑎∈𝐑，𝑝=𝑎2−𝑎+1，𝑞=𝑎2+𝑎+1，则 𝑝 、 𝑞 的大小是 ．

2. 已知三个不等式：① 𝑎𝑏>0；② 𝑎>𝑏；③ 𝑏𝑐>𝑎𝑑．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 ．

3. 已知两实数 𝑎=−2𝑥2+2𝑥−10，𝑏=−𝑥2+3𝑥−9，𝑎，𝑏 分别对应数轴上两点 𝐴，𝐵，则点 𝐴 在点 𝐵 的 （填“左边’’或“右边”）．

4. 已知三个不等式：𝑎𝑏>0，𝑏𝑐−𝑎𝑑>0，𝑎−𝑏>0（其中 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑∈𝐑），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确的命题的个数为 个．

5. 已知 𝑎>2，则 log𝑎(𝑎−1) log(𝑎+1)𝑎（用“ > ”“ < ”“ = ”填空）．

6. 若 0<𝑎<𝑏，且 𝑎+𝑏=1，则 𝑏、2𝑎𝑏、𝑎2+𝑏2 的大小关系是 ．（从小到大排列）

7. 已知 𝑎>𝑏 ，且 𝑎𝑏>1 ，则 𝑎 𝑏 (填\" > \"\" < \"\" = \")．

8. 𝑎 、 𝑏 、 𝑐 、 𝑑 均为实数，使不等式 𝑏>𝑑>0 和 𝑎𝑑<𝑏𝑐 都成立的一组值 (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) 是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）

9. 设 𝑎<0，−1<𝑏<0，则 𝑎，𝑎𝑏，𝑎𝑏2 从小到大的顺序为 ．

10. 设 0<𝑎<2 ， 𝑓(𝑥)=2𝑥2−3𝑥 ，则 𝑓(𝑎) 与 𝑓(1−𝑎) 的大小关系是 ． 11. 设 𝑎+𝑏<0，且 𝑏>0，则 𝑎2，𝑏2，−𝑎𝑏 的大小关系是 ． 12. 已知 𝑎>0 ， 𝑏>0 ， 𝑚=lg

√𝑎+√𝑏 ， 𝑛2√𝑎+√𝑏,𝑦√21

𝑎

𝑐

1

1𝑐

𝑑

𝑐

𝑑1

=lg√

𝑎+𝑏2

，则 𝑚 与 𝑛 的关系为 ．

13. 已知 𝑎,𝑏 是不相等的正数，𝑥==√𝑎+𝑏，则 𝑥,𝑦 的大小关系是 ．

14. 已知 𝑥>1，则 𝑓(𝑥)=𝑥3+6𝑥 与 𝑔(𝑥)=𝑥2+6 的大小关系是 ． 15. 已知 12<𝑎<60，15<𝑏<36，则 𝑎−𝑏 的取值范围是 ，𝑏 的取值范围是 ．

16. 一个盒子中红、白、黑三种球分别有 𝑥 个、 𝑦 个、 𝑧 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 3，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．

17. 若 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 均为实数，则使不等式 𝑎𝑑<𝑏𝑐 和 >

𝑏𝑎

𝑐𝑑

1

𝑎

>0 都成立的一组值 (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

是 ．（只要写出适合条件的一组值即可．）

18. 设 𝑥=𝑎2𝑏2+5，𝑦=2𝑎𝑏−𝑎2−4𝑎，若 𝑥>𝑦，则实数 𝑎，𝑏 应满足的条件是 ． 19. 若 𝑎<𝑏<0 ，则

1𝑎−𝑏

与 的大小关系为 ．

𝑎

1

20. 设 𝑚=𝑥2+𝑦2−2𝑥+2𝑦，𝑛=−5，则 𝑚 𝑛（填“ > ”或“ < ”）． 21. 已知实数 𝑥 满足 𝑥2+𝑥<0，试比较 𝑥2，𝑥，−𝑥 的大小．

22. 𝑎 、 𝑏 、 𝑐 、 𝑑 均为正实数，且 𝑎>𝑏，将 𝑎 、 𝑏 、 𝑎+𝑐 与 𝑏+𝑑 按从小到大的顺序进行排列．

23. 证明：对任意实数 𝑥，𝑓(𝑥)=3𝑥2−𝑥+1 总大于 𝑔(𝑥)=2𝑥2+𝑥−1． 24. 已知 𝑎>𝑏>𝑐>0．比较 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 与 (𝑎𝑏𝑐)

𝑎+𝑏+𝑐3𝑏𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑑

的大小．

25. 实数 𝑎，𝑏 满足 2⩽𝑎+𝑏⩽4，0⩽𝑎−𝑏⩽2，求 𝑎𝑏 的范围．

26. 船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等？并说明理由．

27. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑐 满足 −4⩽𝑓(1)⩽−1，−1⩽𝑓(2)⩽5． 求证：−1⩽𝑓(3)⩽20．

28. 𝑥,𝑦∈𝐑+，且 𝑥≠𝑦，若 𝑎,𝑥,𝑦,𝑏 依次成等差数列，𝑐,𝑎+𝑏 与 𝑐+𝑑 的大小． 29. 比较下列代数式的大小： (1) 𝑥4−𝑥3𝑦 与 𝑥𝑦3−𝑦4；

3

(2) √𝑥−3√𝑦 与 √𝑥−𝑦（其中 𝑥𝑦>0，且 𝑥>𝑦）

3

𝑥2𝑦2𝑦

,

𝑥

,𝑑 依次成等差数列，试比较

(3) 𝑥𝑥𝑦𝑦 与 𝑥𝑦𝑦𝑥（其中 𝑥>0,𝑦>0,𝑥≠𝑦）． 30. 适当增加不等式条件，使下列命题成立： (1)若 𝑎>𝑏，则 𝑎𝑐⩽𝑏𝑐； (2)若 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则 𝑎2>𝑏2； (3)若 𝑎>𝑏，则 lg(𝑎+1)>lg(𝑏+1)； (4)若 𝑎>𝑏，𝑐>𝑑，则 𝑑>𝑐．

31. 若 𝑎>𝑏>0，𝑐<𝑑<0，𝑒<0，求证：(𝑎−𝑐)2>(𝑏−𝑑)2． 32. 已知 𝑎，𝑏 为正实数，试比较 𝑎√𝑒

𝑒

𝑎

𝑏

+𝑏𝑏√𝑎 与 √𝑎+√𝑏 的大小．

33. 已知 𝑥 为实数，试比较 𝑥3+1 与 𝑥2−𝑥+2 的大小．

34. 设 24<𝑎⩽25，5<𝑏⩽12．求 𝑎+𝑏，𝑎−𝑏，𝑎𝑏， 的取值范围．

𝑏𝑎

35. 已知 𝑎⩾𝑏>0，求证：2𝑎3−𝑏3⩾2𝑎𝑏2−𝑎2𝑏．

36. 𝑥∈𝐑，比较 (𝑥+1)(𝑥2++1) 与 (𝑥+)(𝑥2+𝑥+1) 的大小．

22

37. 当 𝑎≠0 时，对 (𝑎2+√2𝑎+1)(𝑎2−√2𝑎+1) 与 (𝑎2+𝑎+1)⋅(𝑎2−𝑎+1) 比较大小． 38. 已知 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 满足 𝑓(1)=0，且 𝑎>𝑏>𝑐，求 𝑎 的取值范围． 39. 比较 𝑥2+𝑦2 与 𝑥𝑦+𝑥+𝑦−1 的大小．

40. 若 −1<𝑎<𝑏<0，试比较 𝑎，𝑏，𝑎2，𝑏2 的大小关系．

1

1

𝑐

𝑥1

不等式的性质-出门考

姓名 成绩

1. 设正数 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 满足 𝑎+𝑑=𝑏+𝑐，且 ∣𝑎−𝑑∣<∣𝑏−𝑐∣，则 𝑎𝑑 与 𝑏𝑐 的大小关系是 ．

2. 若 𝑎>𝑏，那么不等式：① 𝑎3>𝑏3，② 𝑎<𝑏，③ 3𝑎>3𝑏，④ lg𝑎>lg𝑏，恒成立的是 ．

3. 如果 𝑎，𝑏，𝑐 满足 𝑎>𝑏>𝑐，且 𝑎𝑐<0，那么下列不等式① 𝑎𝑏>𝑎𝑐；② 𝑐(𝑏−𝑎)>0；③ 𝑐𝑏2<𝑎𝑏2；④ 𝑎𝑐(𝑎−𝑐)<0 中一定成立的不等式的序号为 ． 4. 已知 𝑎⩾0，𝑏⩾0，𝑎+𝑏=1，则 √𝑎+2+√𝑏+2 的取值范围是 ． 5. 已知 1<𝑎<3，2<𝑏<4，那么 2𝑎−𝑏 的取值范围是 ， 的取值范围

𝑏𝑎

1

1

1

1

是 ．

6. 已知 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑，给出四个论断：① 𝑎>𝑏；② 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2；③ >；④ 𝑎−𝑐>𝑏−𝑐．以

𝑐

𝑐𝑎

𝑏

其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题

是 ⇒ ； ⇒ ．（在“ ⇒ ”的两侧填上论断序号） 7. 若 0<𝑥<1，则 √𝑥，𝑥，𝑥，𝑥2 从小到大的排列顺序是 ．

8. 如图，在一个面积 350 m2 的矩形地基上建造—个仓库，四周是绿地，仓库的长 𝐿 大于宽 𝑊 的 4 倍，则 𝐿 与 𝑊 的关系是 ．

1

9. 下面四个条件中，选择正确序号填空，① 𝑎>𝑏+1；② 𝑎>𝑏−1；③ 𝑎2>𝑏2；④ 𝑎3>𝑏3．

10. 已知 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐑，有以下命题： ①若 𝑎>𝑏，则 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2； ②若 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则 𝑎>𝑏； ③若 𝑎>𝑏，则 𝑎⋅2𝑐>𝑏⋅2𝑐．

以上命题中正确的是 （请把正确命题的序号都填上）．

11. 已知三个不等式：① 𝑎𝑏>0；② −𝑎<−𝑏；③ 𝑏𝑐>𝑎𝑑．以其中两个做条件，余下一个做结论，可以组成 个正确的命题．

12. 写出一个大小介于 𝑏 和 𝑑（𝑏≠𝑑 且 𝑏𝑑>0）之间的代数式： （只要写出一个即可）．

13. 若 𝑓(𝑛)=√𝑛2+1−𝑛，𝑔(𝑛)=𝑛−√𝑛2−1，ℎ(𝑛)=为 ．

14. 若 𝑎，𝑏 为正实数，则 √𝑎3+𝑏3 与 √𝑎2+𝑏2 的大小关系为 ．

15. 已知点 𝐴(−4,𝑎)，𝐵(−2,𝑏) 都在直线 𝑦=2𝑥+𝑘（𝑘 为常数）上，则 𝑎 与 𝑏 的大小关系是 𝑎 𝑏．（填“ > ”、“ < ”或“ = ”）

16. 已知实数 𝑎，𝑏 满足条件：和非负，且积不大于 1．用不等式表示上述不等关系为 ． 17. 已知 60<𝑎<84，28<𝑏<33，则 𝑎−𝑏 的取值范围是 ；𝑏 的取值范围是 ．

18. 已知两个实数 𝑚=−2𝑡2+2𝑡−1，𝑛=−𝑡2+3𝑡，且 𝑚，𝑛 分别对应数轴上的两点 𝑀，𝑁，则点 𝑀 在点 𝑁 得 （填“左边”或“右边”）．

19. 已知 0<𝑎<2，𝐴=1−𝑎2，𝐵=1+𝑎2，𝐶=1−𝑎，𝐷=1+𝑎，则 𝐴，𝐵，𝐶，𝐷 的大小关系是 ．

20. 已知 −2⩽𝛼<𝛽⩽2，则

π

π

𝛼−𝛽2

1

1

1

𝑎

1

3

𝑐𝑑

𝑎𝑐𝑎𝑐

12𝑛

(𝑛∈𝐍∗)，则它们的大小关系

的范围是 ．

21. 设 𝑎∈𝐑，且 𝑎≠−1，试比较 1−𝑎 与

1

1+𝑎

的大小．

22. 若 0<𝑏<𝑎<1，𝑐>0，试比较 𝑎𝑏𝑐 与 𝑏𝑎𝑐 的大小． 23. 已知 𝛼∈(0,)，𝛽∈(,π)，求 𝛼−2𝛽 的范围．

2224. 已知 𝑎>𝑏>0，𝑐<𝑑<0，比较 𝑎−𝑐 与 𝑏−𝑑 的大小． 25. 已知 𝑎>𝑏，𝑎>𝑏，求证：𝑎>0，𝑏<0．

26. 已知 𝐴=𝑎2+𝑏2，𝐵=𝑎𝑏−1，𝑎，𝑏∈𝐑，试比较 𝐴 与 𝐵 的大小． 27. 已知 𝑎>𝑏>𝑐>1，设 𝑀=𝑎−√𝑐，𝑁=𝑎−√𝑏，𝑃=2(的大小．

28. 判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则 𝑎>𝑏； （2）若 𝑎>𝑏，则 𝑎<𝑏；

（3）若 𝑎>𝑏，𝑐>𝑑，则 𝑎−𝑐>𝑏−𝑑； （4）若 𝑎>𝑏，𝑚∈𝐍+，则 𝑎𝑚>𝑏𝑚． 29. 对下列问题进行解答：

(1) 𝑎>𝑏 是 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2 的什么条件？ (2)

𝑎𝑐2

1

1

𝑎+𝑏2

1

1

−1

−1

π

π

−√𝑎𝑏)．试比较 𝑀，𝑁，𝑃

>

𝑏𝑐2

是 𝑎>𝑏，𝑐≠0 的什么条件？

(3) 𝑎>𝑏>1 是 𝑎𝑛>𝑏𝑛>1（𝑎>0，𝑏>0，𝑛∈𝐍+）的什么条件？ (4) 𝑎<𝑏<0 是 −𝑎>−𝑏 的什么条件？

𝑎

𝑏

1

1

(5) 𝑎+𝑐<𝑏+𝑑 是 𝑎<𝑏，𝑐<𝑑 的什么条件？ 30. 已知 2<𝑚<4，3<𝑛<5，求下列各式的取值范围： (1)𝑚+2𝑛； (2)𝑚−𝑛； (3)𝑚𝑛； (4)𝑛．

31. 已知 𝑥>𝑦，且 𝑦≠0，比较 𝑦 与 1 的大小．

32. 已知 12<𝑎<60，15<𝑏<36，求 𝑎−𝑏，𝑏 的取值范围．

33. 已知 2<𝑎⩽3 且 −2⩽𝑏⩽−1，试求 𝑎+𝑏，𝑎−𝑏，𝑎𝑏 的取值范围．

34. 设函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，𝑔(𝑥)=𝑐∣𝑥∣+𝑏𝑥+𝑎，对任意的 𝑥∈[−1,1] 都有 ∣𝑓(𝑥)∣⩽2． (1)求 ∣𝑓(2)∣ 的最大值；

1

𝑎

𝑥

𝑚

(2)求证：对任意的 𝑥∈[−1,1]，都有 ∣𝑔(𝑥)∣⩽1．

35. 设 𝑎>0，𝑏>0，𝑎≠𝑏，𝑛∈𝐍，𝑛⩾2．比较 𝑎𝑛+𝑏𝑛 与 𝑎𝑛−1𝑏+𝑎𝑏𝑛−1 的大小． 36. 已知 ∣𝑎∣<1，∣𝑏∣<1，试比较：∣𝑎+𝑏∣+∣𝑎−𝑏∣ 与 2 的大小． 37. 设不等式 ∣2𝑥−1∣<1 的解集为 𝑀 ． (1)求集合 𝑀 ；

(2)若 𝑎,𝑏∈𝑀 ，试比较 𝑎𝑏+1 与 𝑎+𝑏 的大小．

38. 甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购粮方式也不同，其中，甲每次买 1000 kg，乙每次买 1000 元． (1)求两人购粮均价分别是多少？ (2)谁的购粮方式更合算？

𝑥∣2

39. 已知正数 𝑥，𝑦 满足 ∣lg∣∣𝑦∣∣⩽1，且 ∣lg(𝑥𝑦)∣⩽1，求 𝑥𝑦 的取值范围．

40. 家具厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该厂木工每星期最多有 8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一小时漆一张书桌，该厂漆工每星期最多有 1300 个工作时．试表示出题中所有的不等关系．