小学奥数 进制的计算.教师版

5-8-1.进制的计算

教学目标

1. 了解进制；

2. 会将十进制数转换成多进制； 3. 会将多进制转换成十进制； 4. 会多进制的混合计算； 5. 能够判断进制.

知识点拨

一、数的进制

1.十进制：

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制：

在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进

123

制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、2、2、2、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：

543210

(100110)2=1×2+0×2+0×2+1×2+1×2+0×2。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

0

注意：对于任意自然数n,我们有n=1。 3.k进制：

一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数（k1）码组成，且“逢k进一”．（进位制计数单位是k0，k1，k2，．如二kk1）进位制的计数单位是20，21，22，，八进位制的计数单位是80，81，82，．

4.k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式

nn1（anan1a1a0）a1ka0 kankan1k

十进制表示形式：Nan10nan110n1a0100； 二进制表示形式：Nan2nan12n1a020；

为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数 如：（352）（1010）（3145）8，2，12,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．

5.k进制的四则混合运算和十进制一样

先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：

一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:

八进制 十进制 二进制 十六进制 例题精讲

【例 1】 把

模块一、十进制化成多进制

9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。 【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来

(9865)10(10011010001001)2 (9865)10(303430)5 (9865)10(23211)8

【答案】(9865)10(10011010001001)2,(9865)10(303430)5,(9865)10(23211)8

【巩固】 567(　　　）8(　　　）5(　　　）2；

【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题是进制的直接转化：567(1067）））8(42325(10001101112； 【答案】567(1067）））8(42325(10001101112

模块二、多进制转化成十进制

【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，

(11010.11)2

=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

【答案】26.75

【例 3】 同学们请将(11010101)2,(4203)5,(7236)8化为十进制数，看谁算的又快又准。 【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答

(11010101)2127126025124023122021120 【解析】

128641641213

(4203)5453252051350500503553

(7236)878328238168035841282463742 【答案】213,553,3742

模块三、多进制转化成多进制

【例 4】 二进制数

10101011110011010101101转化为8进制数是多少？ 【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表： 八进制0 1 2 3 4 5 6 7 数 二进制000 001 010 011 100 101 110 111 数 从后往前取三合一进行求解，可以得知101010111100110101011012253632558 【答案】253632558

【例 5】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代

表10、B代表11、C代表12、D代表13……。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。 【答案】E9.B

【例 6】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其

从左向右数第1位数字是几?

【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的

取，取至最前边为12，用位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5. 【答案】5

模块四、多进制混合计算

【例 7】 ① (101)2(1011)2(11011)2________；

））② (11000111）2(101012(112(　　　）2；

③(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8________；

【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将

结果转化成相应的进制：

(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10； ② 可转化成十进制来计算： (11000111））））2(101012(112(199)10(21)10(3)10(192)10(110000002；

如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101））2(112进行除法计算，只是每次借位都是2，可得(11000111））））））2(101012(112(110001112(1112(110000002；

③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方

法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n． 原式(63121)8[(1247)8(26531)8][(16034)8(1744)8] (63121)8(30000)8(20000)8(13121)8； 【答案】(1)、(11100)10，（2）、(11000000）（3）、(13121)8 2，

【巩固】 ①在八进制中，1234456322________；

②在九进制中，1443831237120117705766________． 【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ①原式1234(456322)12341000234；

②原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438． 【答案】（1）、234，（2）、4438

【例 8】 计算(3021)4(605)7(　 　　)10； 【解析】 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制

比较适宜：

(3021)4(605)7(343241)10(6725)10(500)10 【答案】(500)10

模块五、多进制的判断

【例 9】 若(1030)n140，则n________．

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 若(1030)n140，则n33n140，经试验可得n5． 【答案】5

【例 10】 在几进制中有413100？

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：

由于(4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．

所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n要比4大，不可能是4，3，2进制．

另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道n10，那么n不能是12． 所以，n只能是6． 【答案】6

【例 11】 在几进制中有12512516324？

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意(125)10(125)10(15625)10，因为1562516324，所以一定是不到10就已经

进位，才能得到16324，所以n10．

再注意尾数分析，(5)10(5)10(25)10，而16324的末位为4，于是25421进到上一位．

所以说进位制n为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n只能是7． 【答案】7

【巩固】 算式15342543214是几进制数的乘法？

【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是

现在为4，说明进走20416，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有

所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，1534253835043214，

于是原式为8进制． 【答案】8