维普资讯 http://www.cqvip.com 振动与冲击 第２６卷第１１期 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ 基于现代时频分析技术的地震波时变谱估计 樊剑，刘铁，胡亮 （华中科技大学土木工程与力学学院，武汉４３００７４） 摘要：利用短时傅里叶变换（ｓＴＦＴ）、Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布、连续小波变换、Ｓ变换以及变复窗口的Ｓ变换等现代时 频分析技术对地震波进行时变谱估计。推导了基于连续小波变换的小波能量谱的具体表达式，并把近年来提出的变复窗 口Ｓ变换应用到地震波的时频分析。通过研究表明对于均匀调制非平稳地震波，通过适当选择窗口的长度，利用ｓＴＦＴ估 计时变谱可得到较好的效果，小波变换与Ｓ变换以及变复窗口Ｓ变换的估计值在高频段存在能量泄漏现象；各方法估计 的时变谱时间边缘函数与目标函数均符合较好；而频率边缘函数，Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布与目标函数符合得最好，ｓＴＦＴ次之， 小波变换、Ｓ变换以及复窗Ｓ变换在高频段存在一定误差。对于频率非平稳性较强的地震波，通过适当地调节窗口参数， 利用变复窗口Ｓ变换可得到地震波在时频域内有较好分辨率的时变谱；连续小波变换虽然在高频段存在能量泄漏现象， 但其在时间域内有较好的分辨率。 关键词：时变谱；地震波；现代时频分析技术 中图分类号：ＴＵ３５２．１ ２ 文献标识码：Ａ 地震波不但具有强度非平稳特性，还具有频率非 及适应范围。 平稳特性。传统基于傅里叶分析的全局功率谱方法无 法表征时频局域性质这个非平稳信号最根本的特征。 １时频分析方法对比 因此，应使用时变谱来刻画其时频非平稳特性。国内 对非平稳地震波进行时频分析的基本任务是建立 外已有些学者利用信号时频分析工具对地震动的时变 一个函数，要求这个函数不仅同时用时间和频率描述 谱参数进行了估计，Ｉｙａｍａ和Ｋｕｗａｍｕｒａ 以及Ｂａｓｕ和 信号的能量密度，还同时能满足频率和时间边缘条 Ｇｕｐｔａ＿２ 分别利用在各尺度下能量无泄漏的正交小波 件 ｊ。这个函数通常称为时变谱密度函数Ｐ（ｔ ）。设 基对地震波作小波变换，根据Ｐａｒｓｅｖａｌ原理，得到时变 非平稳地震波的时程为ｓ（ｔ），则Ｐ（ｔ，ｆ）应满足如下 谱与地震波小波变换系数的均方值之间的简单数学关 条件： 系。以上作者利用的是连续小波变换，为了克服连续 ｒ∞ｒ＋∞ 小波变换存在冗余性和不能利用快速算法计算的缺 Ｅ Ｊ０ Ｊ一 Ｐ（ｆ，ｆ）ｄｆｄｔ＝ 点，Ｇｕｒｌｅｙ＿５ 还推导了离散小波系数的均方值与时变谱 之间的关系式。Ｓｐａｎｏｓ＿６ 从演变谱（时变谱的一种）的 ｌ ｌ ５（ｆ）ｌ ｄｔ＝ｆ ｌ ５（ Ｊ ｄｆ （１） 一＋∞ 基本概念出发，推导出具有演变特点的非平稳随机地 ｌ Ｐ（ｆ， ＝Ｊ ５（ｆ）Ｊ （２） 震波的小波变换系数也是演变非平稳随机过程，并得 到小波系数的瞬时均方值与地震波演变谱之间的积分 Ｉ Ｐ（ｔ， ｄｔ＝ｌ ５（ ｌ （３） 关系。曹晖、赖明 等对各种时变谱估计方法作了 上面各式中：Ｅ为地震波的总能量，Ｓ（ｆ）为ｓ（ｔ）的傅里 综述。 本文利用现代时频分析技术短时傅里叶变换 叶幅值谱。 （ＳＴ兀１）、Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布、连续小波变换、Ｓ变换以及 以下介绍几种计算Ｐ（ｔ， 的方法，并分析它们的 变复窗口的Ｓ变换对地震波进行时变谱估计。推导了 特点。 基于连续小波变换的小波能量谱的具体表达式，并把 （１）基于ＳＴ兀１的谱图 近年来提出的变复窗口Ｓ变换应用到地震波的时频分 非平稳地震波Ｓ（ｔ）的ＳＴＦＴ为 。 一＋∞ 析，通过用不同方法对目标的均匀调制非平稳地震波 ｓ Ｆ （ｔ， ＝Ｊ ５（ ）・ｈ（ 一ｔ）ｅｘｐ（一 Ｔ ）ｄ 和实际地震波时变谱的估计，研究这些方法的优缺点 （４） 式中：ｈ（ｔ）为窗函数，则谱图定义为 基金项目：湖北省自然科学基金资助项目（编号：２００６ＡＢＡ０６７）；国家自然 Ｐ（ｔ， ＝Ｊ ｓ （ｔ， Ｊ （５） 科学基金项目（５０７７８０７９） 当用谱图描述地震波的时变谱密度函数时，如果 收稿日期：２００７一Ｏｌ—ｌ５ 窗的能量为１，则谱图的能量等于信号的能量。但其边 第一作者樊剑男，博士，副教授，１９６８年ｌＯ月生 缘一般不满足正确的边缘条件，而且由于窗函数是固 维普资讯 http://www.cqvip.com ８０ 振动与冲击 ２００７年第２６卷 定的，其时频域为单一的分辨率。 （２）Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布 Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布的定义为 小波能量谱的边缘特性在下一节讨论。 （４）基于Ｓ变换的时变谱。 （ ，，）＝ ｓ（ ＋号）ｓ（ —ｅｘｐ（一ｊ２￣ｒｆｒ）ｄｒ） （６） 文［１０—１ １］中提出的ｓ变换吸收并发展了短时傅 里叶变换和连续小波变换的特点，采用尺度可以变化 的局部高斯窗函数，其时频分辨率随着频率发生变化， 它的正反变换可通过ＦＦｖｒ实现，Ｓ变换的定义如下 Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布的能量等于信号的能量，且能满 足正确的边缘条件，但其存在负能量，不能作物理 解释。 （３）基于连续小波变换的小波能量谱 Ｓ（ｆ，ｒ）＝ｆ ｓ（ｔ）・ ｛ ｘｐ［ ］ｅｘｐ ｃ一 ）ｄ （１５ 由Ｍｏｙａｌ公式可引出连续小波变换中类似于 Ｐａｒｓｅｖａｌ定理的公式，即小波变换幅度平方的积分和信 号的能量成正比： （０，ｒ）１ ２ｄｒ （７） 式中：ｏ为尺度， （ｏ，ｒ）表示Ｓ（ｔ）的连续小波变换 系数，Ｃ 为一常数，它与小波函数有关。 （ｏ，ｒ）和 Ｃ 的具体表达式见文献［９］。 由文献［９］可知，频率－厂与尺度。之间存在如下 关系： 厂： （８） 式中 为Ｓ（ｔ）的采样频率， 为小波函数的频率中心。 本文选用Ｍａｒｒ（墨西哥帽）小波，其 为０．２５ＨＺ。 由周期Ｔ＝ １，并令 ・ ＝ 代入式（８）得 ０＝ｋＴ （９） ｄａ＝ｋｄＴ （１０） 把式（１０）代入式（７）得： ｆｒ （１１） 由Ｔ＝÷可得如下关系 ｄｆ＝ ｄ （１２） 把式（１２）代入式（１）可得 一Ｉ ｓ（ｔ）ｌ ａｄｔ＝ Ｉ （１３） 对比式（ｉ）和式（１２），本文定义连续小波能量谱来描述 Ｓ（ｔ）的能量随时间和频率的变化，小波能量谱的具体表 达式为 ∽： 式中 为频率，ｒ为时窗函数的中心点。 为提高ｓ变换的灵活性和适应能为，文［１１］中提 出了时频分辨率可调的复窗口广义ｓ变换，其定义为： ｓｃ（厂，ｒ，０）＝ｆ ｓ（ｔ）・ ｛ ｃＧ（厂，ｒ—ｔ，ｏｒ）ｅｘｐ（一 １１ ）｝ｄ 其中， 。（厂，ｒ—ｔ，ｏｒ）为窗口大小可调的窗口函数，具 体的表达式为 Ｇ（ｒ—ｔ，ｆ， ）＝ ｅＸｐ【一 】・ｅｘｐ｛一Ｊ２ ＿ｆ）＋ １ ・ｓｉｇｎ（ｆ）・ｔｒｌｏｇ［ｏｒ＋ｌ厂ｌ（ｒ—ｔ）］，ｔ＜ｒ＋ ／ｌ厂ｌ 【０． ｒ＋ ／ｉｆｌ （１６） 式中，Ｐ为常数，ｏｒ为控制窗口大小的可调参数。 与谱图定义相似，基于Ｓ变换和窗口可调的复Ｓ 变换能量谱定义为 Ｐ （ｆ，ｒ）＝ｌ Ｓ（ｆ，ｒ）ｌ （１７） Ｐｓｃ（ｆ，ｒ）＝ｌ Ｓｃ（厂，ｒ，ｏｒ）ｌ （１８） ２ 均匀调制非平稳地震波的时变谱估计 以均匀调制非平稳地震波的时变谱为目标谱，用 以上不同的时频分析方法对其进行时变谱估计，研究 不同方法的优缺点。目标时变谱的具体表达式为 Ｐ（ｆ，ｔ）＝Ｓ（ ・ｇ（ｔ） （１９） 式中：ｓ（／）取为Ｋａｎａｉ—Ｔ￣ｉｍｉ谱；ｇ（ｔ）取为分段时间包 络函数。它们的具体表达式为 １—４ 《古） ｓ∽ 丽 式中：Ｓｏ 、 分别取为７４．４ ｃｍ ／ｍ 、２．３ Ｈｚ、０．６。 ｒ（∥ ） ０ ＜ｔ１ ｇ（ｔ）＝｛１ ｔｌ ＜ｔ２ （２１） 【ｅｘｐ［一ｃ・（ｔ—ｆ２）］ｔ２ ３ 式中：Ｃ为衰减系数，本文取为０．３５５，ｔ 取为３．０２５ｓ，ｔ 取为８．４５ｓ，ｔ３取为２０ｓ。 以式（１８）为目标时变谱，利用三角级数法合成３００ 维普资讯 http://www.cqvip.com
第１１期 樊剑等：基于现代时频分析技术的地震波时变谱估计 ８ｌ 条非平稳地震波，利用以上的时频分析方法对它们进 面比较粗糙，且存在负能量的现象。图２（ａ），图２（ｂ） 行时变谱估计，并对这３００条地震波的时变谱进行平 为不同方法时变谱的时间边缘函数和频率边缘函数与 均。不同时频分析方法计算的时变谱与目标谱的云图 目标函数的对比图。各方法估计的时变谱时间边缘函 对比见图Ｉ（ａ）～图Ｉ（ｆ）。从图可见，各种时频分析方 数与目标函数均符合较好，但Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布的时间 法均能反映调制均匀非平稳地震波能量时频两域内的 边缘函数波动最大。而频率边缘函数，Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分 分布特点，由于均匀调制非平稳地震波的频率是平稳 布与目标函数符合得最好，ＳＴＦＴ次之，小波变换、Ｓ变 的，使得ｓＴＦＴ对它的时变谱估计效果最好；小波变换 换以及变复窗口Ｓ变换的频率边缘函数相近，在高频 与Ｓ变换以及变复窗Ｓ变换的估计效果相差不大，但 段均存在能量泄漏现象。 在高频段均存在能量泄漏现象；Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布的表 ｓ１ （ａ） 目标时变谱 （ｂ）ＳＴＦ 变换 （ｅ） Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布 玎ｓ） 玎ｓ１ （ｄ） 小波变换 （ｅ）Ｓ变换 （ｆ） 变复窗口Ｓ变换 图１ 目标时变谱及各方法估计的时变谱云图 ｇ 圜 得 （ａ） 时间边缘函数对比 （ｂ） 频率边缘函数对比 图３ ｋｏｂｅ地震波时程图 图２边缘特性对比 ３实际地震波的时变谱估计 ３所示。图４（ａ）给出了ｋｏｂｅ波的功率谱，其最大峰值 对应的频率为１．４６５Ｈｚ，在频率较高的２．８８１Ｈｚ也存在 利用以上所提的时频分析方法对ｋｏｂｅ地震波的时 较大峰值，从功率谱图中无法知道这些频率发生的时 变谱进行估计，ｋｏｂｅ波的峰值调为１ｍ／ｓ。，其时程如图 间。图４（ｂ）～图（ｆ）分别为不同的时频分析方法估计 维普资讯 http://www.cqvip.com ８２ 振动与冲击 ２００７年第２６卷 的时变谱云图，从图４（ｆ）用变复窗口Ｓ变换（控制窗口 大小的可调参数 值取为４的时变谱图中可清晰地发 现地震波在时频域中的四个峰值，最大峰值所对应的 频率为１．４６Ｈｚ，发生的时间为４．５ｓ左右，第二大峰值 的频率为２．８Ｈｚ，发生的时间为６．３ｓ左右，其次是７．８ｓ 左右发生的频率为１．６Ｈｚ的分量和３．８ｓ左右发生的 的识别不如变复窗口Ｓ变换清晰；图４（ｂ）、图４（ｄ）用 ｓＴ 和小波变换估计的时变谱，对１．４６Ｈｚ的主频率 有较清晰的识别，但对频率较高的２．８Ｈｚ分量识别不 大清晰，而对７．８ｓ左右发生的１．６５Ｈｚ分量没有识别出 来，但小波变换有较高的时间分辨率；图４（ｃ）用Ｗｉｇｎ— ｅｌ＂一Ｖｉｌｌｅ分布估计的时变谱中不能清晰地分辨出地震波 能量在时频空间中的分布规律。 频率为２．２５Ｈｚ的分量；图４（ｅ）中用Ｓ变换估计的时变 谱虽然也有四个峰值，但对低频的１．４６Ｈｚ主频率分量 Ｈｚ） … ｆ（ｓ） （ａ）ｋｏｂｅ地震波功率谱图 （ｂ）ｓＴＦＴ变换 （Ｃ） Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布 …－ １ 醚 ● Ｊ’ ●…． 量Ｉ１ｌ Ｉ ｌ ＿… 一 豳 … ， － ｆ（ｓ） ｆ（ｓ） （ｄ）小波变换 （ｅ）Ｓ变换 （ｆ）变复窗ＬＩ Ｓ变换 图４ ｋｏｂｅ波的功率谱以及不同方法估计的时变谱图 ４ 结 论 利用现代时频分析技术ｓＴ 、Ｗｉｇｎｅｒ—Ｖｉｌｌｅ分布、 连续小波变换、Ｓ变换以及变复窗口的Ｓ变换对地震波 较好的效果。 ２）对于频率非平稳性较强的地震波，通过适当地 调节窗口参数，选择恰当的窗口大小，利用变复窗口Ｓ 变换可得到地震波在时频域内有较好分辨率的时变 谱；连续小波变换虽然在高频段存在能量泄漏现象，但 其在时间域内有较好的分辨率；利用Ｓ变换以及单分 辨率的ｓＴ 较变复窗口Ｓ变换以及小波变换方法的 对时频非平稳性较强的地震波时频分析效果差；而 进行时频分析，用这些时频分析工具估计反映地震波 能量在时频域内分布特征的时变谱，通过实例分析得 到如下结论。 １）对于均匀调制非平稳地震波，用ｓＴ 估计的时 变谱效果最好，小波变换与Ｓ变换以及变复窗口变换 的估计效果相差不大，在高频段存在能量泄漏；各方法 估计的时变谱时间边缘函数与目标函数均符合较好； 而频率边缘函数，Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布与目标函数符合得 最好，ｓＴ 次之，小波变换、Ｓ变换以及复窗Ｓ变换的 频率边缘函数相近，在高频段存在较大误差。从以上 Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｌｌｅ分布不能清晰地分辨地震波能量在时频空 间中的变化规律，具存在负能量。 参考文献 ［１］Ｊｕｎ Ｉｙａｍａ，Ｈｉｔｏｓｈｉ Ｋｕｗａｍｕｒａ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔｓ ｔｏ ａ－ ｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ ｍｏｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９９，２８：２５５—２７２． 分析可知，对于频率非平稳特性不是很强的地震波，通 过适当选择窗口的长度，利用ＳＴ 估计时变谱可得到 （下转第９８页） 维普资讯 http://www.cqvip.com
９８ 振动与冲击 ２００７年第２６卷 １）罕遇水平地震作用下，板柱节点发生冲切破坏 Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｒｉ叫ｓ ａｂ－ｃ。 ｕｍ“ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］・ＡｓｃＥ Ｊ。ｗ。 要破坏的滞回曲 篓 篓 堂力线 速 堡： 堡垫板 夏皇、冲 ［６］中ｎａ华ｌ。ｆ人 Ｓｔ民ｒｕ共ｃｔｕ和ｒａ国ｌ Ｅ行ｎｇ业ｉｎｅ标ｅｒ准ｉｎ １ ２—５２（。９。） ：，建９９７筑－抗１０震０８设．计 在ＩＤＡＲＣ程序的基础上增加了考虑 规筢［ｓ］， ： 磊 业出版社，２ｏ０ ：…～…一 ，２）探讨了罕遇水平地震作用下，板柱一剪力墙结 构顶层有梁和顶层无梁两种情况下抗震性能的差异， ［９］ 。 啪 ｎｎｅｃ ｉ。眠Ａｃ ｓ ｍ “ 。“ｍａ ， ９ ，８５ ’强，程文濠，水平力作用下板柱结构等代梁计算宽度 ，前者相对于后者而言，并没有显示出很大的优势。 的研究［Ｊ］＿工业建筑２００４，３４（３）：７７＿７９．
