高二解析几何难点微专题：角度模型

几何性质 (1)锐角，直角，钝角 (2)倍角，半角，平分角 (3)等角(相等或相似) 代数实现 角的余弦(向量数量积)的符号 角平分线性质，定理(夹角、到角公式) 比例线段或斜率 x2y2例1. (2016年天津)设椭圆21(a3)的右焦点为F，右顶点为A，已知

a3113e，其中O 为原点，e为椭圆的离心率． |OF||OA||FA|（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA≤MAO，求直线l的斜率的取值范围． 解析】（Ⅰ）设F(c,0)，由

113c113c，即， |OF||OA||FA|caa(ac)22222可得ac3c，又acb3，所以c1，因此a4，

222x2y21． 所以椭圆的方程为43（Ⅰ）解：设直线l的斜率为k（k0），则直线l的方程为yk(x2).

x2y21设B(xB,yB)，由方程组4，消去y， 3yk(x2)整理得(4k3)x16kx16k120．

22228k268k2612kxy解得x2，或x，由题意得，从而． BB2224k34k34k394k212k,). 由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH(1,yH)，BF(24k34k2394k294k212kyH20，解得yH由BFHF，得BFHF0，所以2.

12k4k34k3194k2因此直线MH的方程为yx．

k12k194k220k29yx设M(xM,yM)，由方程组. k12k消去y，解得xM212(k1)yk(x2)在MAO中，MOAMAO|MA||MO|，即(xM2)yMxMyM，

22226620k29kk化简得xM1，即，解得或． 124412(k1)所以，直线l的斜率的取值范围为(,66][,)． 44y2x2例2.（2015湖南）已知抛物线C1:x4y的焦点F也是椭圆C2:221(ab0)的

ab2一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26。 （1）求C2的方程；

（2）过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且AC与BD同向。 （ⅰ）若|AC||BD|，求直线l的斜率；

（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形。

2解析（Ⅰ）由C1:x4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所

以

a2b21

①

2C1与C2都关于y轴对称，又C1与C2的公共弦的长为26，且C1的方程为x4y，

由此易知C1与C2的公共点的坐标为(6,)，所以

32961 4a2b222 ②

联立①②得a9,b8，故C2的方程为

y2x21 98（Ⅱ）如图f，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

（ⅰ）因AC与BD同向，且|AC||BD|，所以ACBD，从而x3x1x4x2，

即x1x2x3x4，于是

(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4

设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1

③

ykx1,2由2得x4kx40，而x1,x2是这个方程的两根，所以 x4yx1x24k,x1x24

④

ykx1,22由x2y2得(98k)x16kx640，而x3,x4是这个方程的两根，

198所以

x3x416k64,xx 342298k98k2 ⑤

162k464将④⑤代入③，得16(k1)，即

(98k2)298k21629(k21)16(k1)，

(98k2)22所以(98k)169，解得k（ⅱ）由x4y得y22266，即直线l的斜率为 44xx，所以C1在点A处的切线方程为yy11(xx1)，即 22x1xx12y

24令y0得x于是

x1xx，即M(1,0)，所以FM(1,1)，而FA(x1,y11)，222x12x12FAFMy1110，

24因此AFM是锐角，从而MFD180AFM是钝角。 故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形