弹簧问题

在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异,大小不同,但是从弹簧秤,机动车的减震装置,各种复位按钮和机械钟表内的动力装置等,弹簧处处在为我们服务.因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类试题多年来深受物理命题专家的青睐。

在解决弹簧类问题时，应注意以下几点：（1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。（2） 弹簧弹力不能突变，弹力变化需要形变量变化，需要时间的积累。（3）弹力变化：F = kx或△F=k△x，其中F为弹力（△F为弹力变化），k为劲度系数，x为形变量（△x为形变变化量）。（4）弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W为弹簧弹力做功，△EP为弹性势能变化。另外， 弹性势能计算公式暂不做要求。 一、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数

1、如图1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧的左端固定在墙上 ⑵弹簧的左端受到大小也为F的拉力作用 ⑶弹簧的左端拴一小物块m，物块在光滑的水平面上滑动

⑷弹簧的左端拴一个小物块m，物块在粗糙的水平面上滑动

以l1、l2、l3、l4依次表示四条弹簧的伸长量，则有 A、l1l2 B、l4l3 C、l1l3 D、l2=l4

解析：当弹簧处于静止（或匀速运动）时，弹簧两端受力大小相等，产生的弹力也相等，用其中任意一端产生的弹力代入胡克定律即可求形变。当弹簧处于加速运动状态时，以弹簧为研究对象，由于其质量为零，无论加速度a为多少，仍然可以得到弹簧两端受力大小相等。由于弹簧弹力F弹与施加在弹簧上的外力F是作用力与反作用的关系，因此，弹簧的弹力也处处相等，与静止情况没有区别。在题目所述四种情况中，由于弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用，且弹簧质量都为零，根据作用力与反作用力关系，弹簧产生的弹力大小皆为F，又由四个弹簧完全相同，根据胡克定律，它们的伸长量皆相等，所以正确选项为D。

2、如图2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧秤的左端固定在墙上 ⑵弹簧秤的左端受到大小也为F的拉力作用

⑶弹簧秤的左端拴一小物块m1，物块在光滑的水平面上滑动

⑷弹簧秤的左端拴一个小物块m1，物块

图2 在粗糙的水平面上滑动

以l1、l2、l3、l4依次表示四条弹簧的伸长量，则有 A、l1=l2 B、l4=l3 C、l1l3 D、l2=l4

1

图1

解析：弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等于F，则读数不同。对⑶设弹簧秤自身质量也为m2，则有弹簧秤的读数为F'm1am1F 对⑷

m1m2设物块所受的滑动摩擦力为f ，弹簧秤自身质量为m2,弹簧秤的拉力为F’,物块与弹簧秤的共同加速度为aFm1fm2Ff，则弹簧秤的读数为F'm1af,因此，应选A、C

m1m2m1m2【点评】轻弹簧的伸长量或弹簧秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比，而当弹簧

秤自身有质量时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。

二、弹簧弹力变化的特点（与绳模型、杆模型相比）

例1．如图3所示，物体的质量为m，L2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，L1为一水平绳，现将L1剪断，求剪断瞬间物体的加速度。

解析：设L1的拉力为T1，弹簧的拉力为T2，重力为mg，物体在三个力的作用下保持平衡，则

T2cosmg，T2sinT1T1mgtan

剪断线的瞬间，T1消失，而弹簧的长度L2未及发生变化，T2的大小和方向都不变，物体即在T1反方向获得加速度。

因为mgtanma，所以agtan，方向在T1的反方向。

图3

【点评】弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。 M 三、弹簧弹力方向的特点

例2.如图4所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉M的

2，

瞬间，小球加速度的大小为12m/s若不拔除销钉M而拔除销钉N瞬间，小球的加速

2

度可能是（g=10 m/s） N 22

A．22 m/s,方向竖直向上 B．22 m/s,方向竖直向下 图4 22

C．2 m/s,方向竖直向上 D．2 m/s,方向竖直向下

【点评】弹簧所处的状态不同如拉伸、压缩时，弹力的方向也不相同. 此题要明白弹簧可能所处的不同的状态就容易得出答案：B、C 四、静态平衡涉及到的弹簧问题

例3.一个重为G 的小圆环套在一个竖直放置的半径为R的光滑圆环上,小圆环由一根劲度系数为K,自然长度为L(L<2R)的轻弹簧系着,轻弹簧的另一端固定在大圆环的最高点,如图5所示,当小圆环静止时,轻弹簧与竖直方向的夹角为多少?

解析：选小环为研究对象,它受到重力G，弹簧拉力T和大环支持力N，由于小环处于平衡状态，所以T、N、G组成一个封闭的三角形，根据数学知识可以看出三角形AOB跟力三角形TNG相似，得

GR T2RcossL) Tkxk(2Rco cos图5

kL2kR2G

2

轻弹簧与竖直方向的夹角为cso1kL

2(KRG)【点评】这类问题一般形式比较单一，通常用胡克定律f=kx和数学知识求解. 五、动态平衡涉及到的弹簧问题

例4．如图6所示，两个木块质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离

A．

m2 K1 m1 K2 图6 mgm1g B. 2

k2k1

C.

mgm1g D.2k2k2解析：对弹簧2分析：△F=m2g， 所以△x=

Fm2g=，故选D KK【点评】因“缓慢”上提木块，故整个装置在上提过程中是处于一种动态平衡过程中，同静态

平衡一样，涉及到的知识是胡克定律，一般用f=kx或△f=k•△x来求解。 六、临界状态中涉及到的弹簧问题

例5．一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图7所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

解析：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时x因为xm(ga) ka 图7

12at，所以t22m(ga)

ka【点评】相互接触的物体间可能存在弹力的相互作用，对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。

七、简谐运动涉及到的弹簧问题

例6．两块质量分别为m1和m2的木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，现在m1上施加压力F，如图8所示．为了使撤去F后m1跳起时能带起m2，则所加压力F应多大？ 解：m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2，且kx2=m2g和速度为零．

根据简谐振动的对称性求解：m2不离开地面，m1做简谐振动，

则振幅：Ax1x0x2x0 x1x22x0m1

m2g2m1g kk加压力F时 Fm1gkx1 所以人 Fkx1m1g(m1m2)g 【点评】物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性求解，

3

图8 B A P L2

图9

L1

会简单的多。

八、弹簧做功与动量、能量的综合问题

例7.如图9中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止。滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，求A从P出发时的初速度υ0。

解析：设A、B质量均为m，A刚接触B时速度为v1（碰前），由功能关系，有

1212mv0mv1mgL1 ① 22 A、B碰撞过程中动量守恒，设碰后A、B共同运动的速度为v2.有

mv12mv2 ②

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这过程中，弹簧弹性势能始末两态都为零，利用功能关系，有

1122(2m)v2(2m)v3(2m)g(2L2) ③ 22此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

12mv3mgL1 ④ 2由以上各式，解得 v0g(10L116L2) ⑤

【点评】弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系。它有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起，能力要求较高，分析这类问题时，要耐心细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。

总之，轻弹簧类问题是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及动量守恒定律和能的转化与守恒定律，是每年高考的一个必考的知识点，因此，在高三复习过程中一定要加强这方面的练习，要能够举一反三，做到稳妥得分。

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