云安区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 在ABC中，b3，c3，B30，则等于（ ）

A．3 B．123 C．3或23 D．2 2． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A．232 3． f（）=A．3

B．1

B．252

，则f（2）=（ ） C．2

D．

C．472

D．484

4． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）

5． 已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t+（1﹣t），若∠ACD=60°，则t的值为（ ） A．

B．

﹣

C．

﹣1

D．

6． 一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）

A．i≤5？B．i≤4？ C．i≥4？ D．i≥5？

7． （文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 8．

=（ ）

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i

9． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）

A．64 B．32 C．

6432 D． 33第 1 页，共 17 页

10．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ ） A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅

11．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）

A．20种 B．22种 C．24种 D．36种

12．若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（ ） A．￢p为假命题 B．￢q为假命题 C．p∨q为假命题 D．p∧q真命题

二、填空题

13．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交； ④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2； ⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

14．设不等式组

的概率是 ．

15．①下列函数中，⑥

②y=；

③y=log2x+logx2④y=3x+3﹣x；⑤；（x＞0且x≠1）；

；

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

2

；⑦y=log2x+2最小值为2的函数是 （只填序号）

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

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①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC的最小值为3 ③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数 ④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当

tanB﹣1=

2

时，则sinC≥sinA•sinB．

17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

，则sin（α+

）= ．

18．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=

三、解答题

19．已知cos（

n120．本小题满分12分 已知数列an中，a13,a25，其前n项和Sn满足SnSn22Sn12(n3).

+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．

Ⅰ求数列an的通项公式an; Ⅱ 若bnlog2(

256)nN*，设数列bn的前n的和为Sn，当n为何值时，Sn有最大值，并求最大值. a2n1第 3 页，共 17 页

21．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列． （2）若{bn}前3项的和等于

22．已知函数f（x）=

sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象

0 0 ，

]上的值域； ）=1，b+c=4，a=

，求△ABC的面

，求{an}的首项a1和公差d．

时，列表并填入的部分数据如下表： x ① π f（x） 0 1 π ﹣1 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣

（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+积．

23．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？

（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？

24．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式

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（2）当d＞1时，记cn=

，求数列{cn}的前n项和Tn．

25．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的值域．

26．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面

ABC．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．

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云安区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

考

点：余弦定理．

2． 【答案】 C

【解析】【专题】排列组合． 【分析】不考虑特殊情况，共有

种取法，由此可得结论．

【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有色卡片，共有故所求的取法共有故选C． 3． 【答案】A

【解析】解：∵f（）=∴f（2）=f（

）=

， =3． 种取法， ﹣

﹣

=560﹣16﹣72=472

种取法，两种红色卡片，共有

种取法，两种红

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．

故选：A．

4． 【答案】D

2

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x+1，有两个零点，不满足条件． 2

若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax﹣6x=6ax（x﹣），

若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．

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若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（）， 若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

32

则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2

（）＜1，即﹣1＜＜0，

解得a＜﹣1， 故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．

5． 【答案】A

【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由

根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°； ∴即解得

．

；

；

得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；

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故选：A． 【点评】考查当满足

平面向量基本定理，余弦函数的定义．

6． 【答案】 B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，sum=0，s=0

满足条件，i=2，sum=1，s=满足条件，i=3，sum=2，s=满足条件，i=4，sum=3，s=满足条件，i=5，sum=4，s=

+++

++

+

=1﹣+﹣+﹣+﹣=．

A，B三点共线，时，便说明D，以及向量加法的平行四边形法则，

由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4． 故选：B．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

7． 【答案】C 【解析】

试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位. 考点：图象平移．

8． 【答案】 B 【解析】解：故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:

=

=

=i．

144432，故选B. 2考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.

【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题

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时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 10．【答案】B ∴A∩B={3，4}，

【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}， 故选B．

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价 转化．

11．【答案】C

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论： 共有共有

=12种推荐方法； =12种推荐方法；

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选， 故共有12+12=24种推荐方法； 故选：C．

12．【答案】A 【解析】解：∴∃x0∈R，sinx0=1； ∴命题p是真命题；

22

由x+1＜0得x＜﹣1，显然不成立；

时，sinx0=1；

∴命题q是假命题；

∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题； ∴A正确． 故选A．

2

【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和

命题p，q真假的关系．

二、填空题

13．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

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对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

14．【答案】

【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外 区域D：

表示正方形OABC，（如图） ．

其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）． 因此在区域D内随机取一个点P，

则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内， 且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分

22

∵S正方形OABC=2=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•2=4﹣π

∴所求概率为P=故答案为：

=

【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．

15．【答案】 ①③④⑥

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【解析】解：①∵x与同号，故∴②y=∴y=

=|x|+||≥2=+

+≥2

=|x|+||，由|x|＞0，||＞0

＞0，

=≥2，故正确； ，由

＞0，=2，故正确；

③当＜x＜1时，log2x＜0时，y=log2x+logx2≤﹣2，故错误； ④由3x＞0，3﹣x＞0，

xx

∴y=3+3﹣≥2

=2，故正确； ≤﹣6，故错误；

=2，故正确；

⑤当x＜0时，⑥∵则

＞0，

＞0， ≥

⑦∵x2＞0，故y=log2x2∈（﹣∞，+∞），故y=log2x2+2∈（﹣∞，+∞），故错误； 故答案为：①③④⑥

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断

16．【答案】 ①④⑤

【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA•sinB=sinA•sin=sinA•（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

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2

则sinC≥sinA•sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

17．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

18．【答案】：

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+

）

=

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值， ，

．

）＞0，

=

．

故答案为：

．

===

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：∵∵cos（∴sin（

＜θ＜，∴ +θ∈（，），

+θ）=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos

，① cosθ﹣sin，②

+θ）=﹣

=

=﹣，

（cosθ+sinθ）=﹣，

+cosθsin

∴sinθ+cosθ=﹣cos（

+θ）=cos

sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，

∴cosθ﹣sinθ=﹣

联立①②，得cosθ=﹣∴

=

，sinθ=﹣，

=

==．

【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．

20．【答案】

【解析】Ⅰ由题意知SnSn1Sn1Sn22n1n3, 即anan12n1n3

an(anan1)(anan1)......(a3a2)a2

检验知n=1, 2时，结论也成立，故an=2n+1．

2n12n2...2252n12n2...222122n1n3

25628Ⅱ 由bnlog2()log22nlog2282n82n nN*

a2n12法一: 当1n3时，bn82n0；当n4时，bn82n0； 当n5时，bn82n0 故n3或n4时，Sn达最大值，

S3S412.

法二：可利用等差数列的求和公式求解

21．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d． ∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，

2

∴a2=a1a4．

2

即（a1+d）=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．

当d=0时，an=a1，bn=

=，∴ =1，∴{bn}为等比数列；

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当d=a1时，an=na1，bn=综上可知{bn}为等比数列． （2）解：当d=0时，S3=当d=a1时，S3=

=

=，∴ =，∴{bn}为等比数列．

=，所以a1=；

，故a1=3=d．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）①处应填入

．

=∵T=∴即∵

，∴

．

， ，

．

=（b+c）2﹣3bc，

，

，

．

，∴

，

，

．

从而得到f（x）的值域为（Ⅱ）∵又0＜A＜π，∴得

，

222

由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=

即

∴△ABC的面积

，∴bc=3．

．

【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．

23．【答案】

22

【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C4×C5=6×10=60种；

（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，

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132231

故选人种数为C4×C5+C4×C5+C4×C5=40+60+20=120．

男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，

2112

故总的选法有C3+C4×C3+C4=21，

故有120﹣21=99．

24．【答案】

【解析】解：（1）设a1=a，由题意可得解得当当

，或

，

，

n1

时，an=2n﹣1，bn=2﹣；

时，an=（2n+79），bn=9•

；

n1

（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2﹣，

∴cn=

=， +7•+5•+．

+

+9•+7•+…+

+…+（2n﹣1）•+…+（2n﹣3）•

﹣（2n﹣1）•

，

+（2n﹣1）•=3﹣

，

，

∴Tn=1+3•+5•∴Tn=1•+3•∴Tn=2++∴Tn=6﹣

25．【答案】

【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段， 设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3 ∵a+b=2，2a+b=3，

解得a=1，b=1，f（x）=x+1，

当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分， 且顶点为（3，1），

2

设f（x）=a（x﹣3）+1，又f（2）=3， 2

所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）+1．

（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3， 当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3， 所以1≤f（x）≤3．

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故f（x）的值域为[1，3]．

26．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，

∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC， PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直， 故以O为原点，以的边长为2， ∴

，

设平面PBC的法向量∴∴

（Ⅲ）法一：

设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴又PO⊥平面ABC，∴（∴

），

，

=

，

，取x=1，则

，直线AB与平面PBC成角为θ，

，于是

，

．

，

y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，方向分别为x，菱形ABCD

，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为

，

∴

，当且仅当

．

，即

时取等号，

∴四面体PABC体积的最大值为

法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π）， ∴∴设∴∴当

，则

，

时，V'PABC＞0，当

时，V'PABC＜0，

，且0＜t＜1，

，

，又PO⊥平面ABC， =

（

），

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∴当时，VPABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为

，（0＜x＜2）

．

法三：设PO=x，则BO=x，又PO⊥平面ABC， ∴∵

22

当且仅当x=8﹣2x，即

，

，

时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．

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