云安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知△ABC中，a=1，b=，B=45°，则角A等于（ ）

A．150°

B．90°

C．60°

D．30°

2． 下列结论正确的是（ ）

A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β． B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β． C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α

3． 已知函数fx12x1x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ）

A．1 B．1 C．2 D．24． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

5． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

6． 过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

7． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

8． 已知的终边过点2,3，则tan74等于（ ） A．15 B．15 C．-5 D．5

第 1 页，共 18 页

）9． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）

A．y=x+2

B．y= C．y=3x D．y=3x3

10．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知A．0

B．2

C．4

，则f{f[f（﹣2）]}的值为（ ） D．8

12．执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ ）

A．2015 B．2016 C．2116 D．2048

第 2 页，共 18 页

二、填空题

法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

13．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交； ④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2； ⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

14．函数的值域是 ． 的取值范围为 ．

【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．

16．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆

）=，则cos2α= ．

恒有公共点，则m的取值范围是 ．

15．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN

17．设α为锐角，若sin（α﹣

三、解答题

18．（本小题满分12分）已知圆C:x1y225,直线

22第 3 页，共 18 页

L:2m1xm1y7m40mR.

（1）证明: 无论m取什么实数,L与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程.

19．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点

（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．

，M为BC的中

20．（本小题满分12分）已知f(x)2x（Ⅰ）当a3时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)f(x)x2alnx，且g(x)有两个极值点，其中x1[0,1]，求g(x1)g(x2)的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．

1alnx(aR)． x第 4 页，共 18 页

21．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图 是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． （1）求该几何体的体积V；111] （2）求该几何体的表面积S．

22． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EF//AB，

AD2,ABAF2EF1，点P在棱DF上.

（1）求证：ADBF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP1FD，求二面角DAPC的余弦值. 3第 5 页，共 18 页

23．已知函数f（x）=1+

（﹣2＜x≤2）．

（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．

2x2y224．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,2，直线PF1 ab交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率 分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

第 6 页，共 18 页

第 7 页，共 18 页

云安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D 【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30° 故选D．

=

，B=45°

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．

2． 【答案】B

B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；

C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确； D中选项也可能相交． 故选：B．

【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；

【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

3． 【答案】A 【解析】

2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 试题分析：由已知得fx4． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

5． 【答案】A

第 8 页，共 18 页

【解析】解：几何体如图所示，则V=，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．

6． 【答案】A

【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2， 即kx﹣y﹣2=0，

若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2

=1有公共点，

则圆心到直线的距离d≤1， 即≤1，即k2﹣3≥0， 解得k≤﹣或k≥， 即

≤α≤

且α≠， 综上所述，

≤α≤

，

故选：A．

7． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12

=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

8． 【答案】B 【

解

析

第 9 页，共 18 页

】

考点：三角恒等变换． 9． 【答案】 C

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对

（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；

x

这组数对对应的点在函数y=3的图象上．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．

10．【答案】B 【解析】111]

试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．

考点：几何体的结构特征． 11．【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f（﹣2）=0

∴f（f（﹣2））=f（0） ∵0=0

∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2 ∵2＞0

2∴f（2）=2=4

即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4 故选C．

12．【答案】D 【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图．

第 10 页，共 18 页

二、填空题

13．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

14．【答案】 [0，3] ．

2

【解析】解：令t=5+4x﹣x，由二次函数的图象与性质可得：该函数的最大值为9 要使函数的解析式有意义，t≥0

2

故0≤5+4x﹣x≤9，

故0≤故函数

故答案为：[0，3]

≤3

的值域是[0，3]

15．【答案】[2,2]

（0＃x2，0＃y2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值

范围为[2,2]．

第 11 页，共 18 页

yD2NCMAB2x

16．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．

【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，

∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可， 由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称， 故只需要令x=0有 5y2=5m

2

得到y=m

要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是 y2≥1

得到m≥1

∵椭圆方程中，m≠5

m的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．

17．【答案】 ﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

2

∴cos2α=1﹣2sinα=﹣

．

）=，

）=，

=

．

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

第 12 页，共 18 页

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

三、解答题

18．【答案】（1）证明见解析；（2）2xy50． 【解析】

试题分析：（1）L的方程整理为xy4m2xy70，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可

证明；（2）由圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.

（2）圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM, 由kAM1111]

1得L的方程y12x3即2xy50. 2考点：直线方程；直线与圆的位置关系. 19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形， 所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM， 在△AME中，AE=

=3，ME=

=

，AM=

=

，

，

，M为BC的中点

第 13 页，共 18 页

222

所以AE=AM+ME，

所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．

20．【答案】

【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域(0,)，

132x23x11'当a3时，f(x)2x3lnx，f(x)22

xxxx211''令f(x)0得，0x或x1；令f(x)0得，x1，

221故f(x)的递增区间是(0,)和(1,)；

21f(x)的递减区间是(,1)．

21（Ⅱ）由已知得g(x)xalnx，定义域为(0,)，

x1ax2ax12，令得xax10，其两根为x1,x2， g(x)12g(x)02xxxa240且x1x2a0， xx1012第 14 页，共 18 页

21．【答案】（1）3；（2）623． 【解析】

（2）由三视图可知，

该平行六面体中A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1， ∴AA12，侧面ABB1C1均为矩形， 1A1，CDDS2(111312)623．1

第 15 页，共 18 页

考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键． 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

第 16 页，共 18 页

（3）因为AB平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1(1,0,0).由FP且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP(0,,)，AC(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2(2,1,1).……………………10分

所以|cosn1,n2||n1n2||n1||n2|6，又因为二面角DAPC的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 323．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=1+（2）函数的图象如图：

=

，

．

（3）函数值域为：[1，3）．

x2y21；（2）证明见解析. 24．【答案】（1）2【解析】

第 17 页，共 18 页

试

题解析：

c1， （1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴

11222221,abcb1， 22ab∴b21,a22，

x2y21； 即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

2kb1222xx,xAxB，kx2kbxb10AB12k22y1y1y1yB1，∴kMAkMBAkMAA,kMBBxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

xAxB2，

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

第 18 页，共 18 页