高一数学第一册上册第二章二次函数的综合问题 人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

二次函数的综合问题

二. 教学重难点：

含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。

【典型例题】

[例1] 求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

a2a2aaa解：函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，

24222a（2）1即2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为（1）a2；

2（3） a2时的草图。 2a2；

由图易知：

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a22

[例2] 已知函数f(x)x(m1)xm(mR)

（1）设A、B是ABC的两个锐角，且tanA、tanB是方程f(x)40的两个实根，求证：m5；

（2）当m3时，函数f(sin)的最大值是8，求m的值。

证明：

（1）方程f(x)40即为x(m1)xm40

2(m1)24(m4)0m3或m5m1依题意，得tanAtanBm10m5

tanAtanBm40m4m12(m1)2)m（2）∵ f(sin)sin(m1)sinm(sin 242m12 ∴ 当sin1时，f(sin)取得最大值2m2 2由题意知2m28 ∴ m3

∵ m3 而

[例3] 已知函数f(x)xbxc（b、cR，c2），F(x)f(x)c，当

2x[2,2]时，恒有f(x)0，且对于任意实数x1、x2，总有F(x1x2)F(x1x2)

2[F(x1)F(x2)]，求函数f(x)的解析式。

解：由F(x)xbx，得F（0）=0

在F(x1x2)F(x1x2)2[F(x1)F(x2)]中，令x10，x2x 得F(x)F(x)2[F(0)F(x)] ∴ F(x)F(x) ∴ F(x)是偶函数

因此b0 ∴ f(x)xc 又f(x)在[2,222]上恒有f(x)0

所以f(2)f(2)0，即2c0，亦即c2 又 c2 ∴ c2，故f(x)x22

[例4] 已知二次函数f(x)满足条件f(0)1及f(x1)f(x)2x

（1）求f(x)；

（2）求f(x)在区间[1,1]上的最大值和最小值 解：

（1）设f(x)axbxc，由f(0)1，可知c1

2∵ f(x1)f(x)[a(x1)b(x1)c](axbxc)2axab 故由f(x2)f(x)2x得2a2，ab0 因而a1，b1 所以f(x)xx1 （2）f(x)x2x1(x)2∵

222123 4113[1,1]，所以当x时，f(x)的最小值为 224当x1时，f(x)的最大值为f(1)3

[例5] 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销售量q（万件）与售价p（元）的关系如图所示。 （1）写出销售q与售价p的函数关系式； （2）当售价p定为多少时，月利润最多？ （3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？ q(万件)321O162025P(元) 解：

1p7,16p204（1）根据函数图象得q

1p6,20p255（2）设月利润为W（万元），则

1(p7)(p16)6.8,16p204W(p16)q6.8

1(p6)(p16)6.8,20p255当16p20时，W1(p22)22.2 4故p20时，Wmax1.2

当20p25时，W(p23)23，故p23时，Wmax3 ∴ 当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。

（3）设最早n个月后还清转让费，则3n58，n20 ∴ 企业乙最早可望20个月后还清转让费。

[例6] 是否存在常数kR，使函数f(x)x(2k)x(2k)在(,1]上是减函数且在[1,0)上是增函数？

解法1：设tx2，则原函数转化为f(x)h(t)t(2k)t(2k)

那么问题就等价于是否存在常数kR，使函数h(t)t(2k)t(2k)在(0,1]上是减函数且在[1,)上是增函数，根据二次函数的性质知，只需解法2：任取x1x21，则

42x14(2k)(x2x12) f(x2)f(x1) x22242152k1，故k4 2 (x2x1)(x2x12k) (x1x2)(x2x1)(x2x12k)

由f(x)在(,1]上是减函数可知，对任意的x1x21（*）0恒成立 所以有x2x12k0恒成立，即kx2x12恒成立 ∵ x1x21 ∴ x2x121124 因此，当k4时，（*）0恒成立

即当k4时，函数f(x)在(,1]上是减函数 仿上可得当k4时，函数f(x)在[1,0)上是增函数

故存在常数k4，使函数f(x)x(2k)x(2k)在(,1]上是减函数，且在[1,0)上是增函数。

42222222222222x22xa[例7] 已知函数f(x)，x[1,)

x（1）当a1时，求函数f(x)的最小值； 2（2）若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围 解：

11时，f(x)x2，先证f(x)在区间[1,)上为增函数（略） 22x7∴ f(x)在区间[1,)上的最小值为f(1)

2（1）当ax22xa0恒成立 （2）解法1：在区间[1,)上，f(x)xx22xa0恒成立，yx22xa(x1)2a1在[1,)上递增

∴ 当x1时，ymin3a

于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法2：f(x)xa2，x[1,)，当a0时，函数f(x)的值恒为正 x当a0时，函数f(x)递增，故当x1时，f(x)min3a 于是当且仅当f(x)min3a0时，函数f(x)0恒成立 故0a3，综上，a的取值范围是a3

[例8] 已知函数f(x)axbxc（abc）的图象上有两点A（m1，f(m1)）、B（m2，f(m2)），且满足f(1)0，a(f(m1)f(m2))af(m1)f(m2)0。

（1）求证：b0

（2）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3) 证明：

（1）a[f(m1)f(m2)]af(m1)f(m2)0

即[af(m1)][af(m2)]0 ∴ f(m1)a或f(m2)a

2∴ m1或m2是f(x)a 即axbxca0的实根

222于是0即b4a(ac) ∵ f(1)0 ∴ abc0将acb代入上

2述不等关系，得b4ab0，即b(b4a)0，又abc

2∴ 必有a0，c0（否则与abc0矛盾） ∴ b4a3ac0 ∴ b0

（2）设f(x)axbxc0两根为x1、x2，则一个根为1（∵ f(1)0），另一根为

2cc，∵ abc且由上知bac0，∴ aac0，∴ 21，aa2|x1x2|3

【模拟试题】（答题时间：70分钟）

一. 选择题：

1. 设二次函数f(x)axbxc（a0），如果f(x1)f(x2)（其中x1x2），则

2f(x1x2)等于（ ） 24acb2bb A.  B.  C. c D.

4a2aac为ABC2. 二次函数yx2(ab)xc2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、

的三边长，则ABC为（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3. 已知函数f(x)4xmx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的范围是（ ） A. f(1)25 B. f(1)25 C. f(1)25 D. f(1)25

4. 如图所示，是二次函数yaxbxc的图象，则|OA||OB|等于（ ） A. 2222ccc B.  C.  D. 无法确定 aaayAOBx 5. yaxbx与yaxb（ab0）的图象只可能是（ ） 2

2

6. 若f(x)(m1)x2mx3为偶函数，则f(x)在区间（5，2）上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 增减性随m的变化而改变 D. 无单调性

二. 填空：

1. 已知函数f(x)|x2axb|(xR)，给出下列命题： ① f(x)必为偶函数

② 当f(0)f(2)时，f(x)的图象必关于直线x1对称 ③ 若a2b0，则f(x)在区间[a,)上是增函数 ④ f(x)有最大值a2b 其中正确命题的序号是 。

2. 若yx(a2)x3，x[a,b]的图象关于直线x1对称，则b 。 3. 函数yx4x3（x(,2]）的反函数的定义域是 。

4. 函数f(x)2xmx3，当x(,1]时是减函数，当x(1,)时是增函数，则f(2) 。

三. 解答题：

22221. 已知二次函数f(x)axbxc的图象与直线y25有公共点，且不等式

2ax2bxc0的解是211x，求a、b、c的取值范围。 2322. 已知函数f(x)4x4axa2a2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值。 3. 已知函数f(x)axax2ba

（1）当x(2,6)时，f(x)0；当x(,2)(6,)时f(x)0，求a、

223b的值及f(x)的表达式；

（2）设F(x)值？

4. 设函数f(x)x2bxc（cb1），f(1)0，且方程f(x)10有实根。 （1）证明：3c1，b0

（2）若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明。 5. 已知函数f(x)ax4xb（a0，a、bR），设关于x的方程f(x)0的两根为x1、x2，f(x)x的两实根为、。

（1）若||1，求a、b关系式；

（2）若a、b均为负整数，且||1，求f(x)解析式； （3）若12，求证：(x11)(x21)7

22kf(x)4(k1)x2(6k1)，k取何值时，函数F(x)的值恒为负4

【试题答案】

一.

1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A 二.

1. ③ 2. 6 3. [1,) 4. 19 三.

1. 解：依题意ax2bxc250有解，故b4a(c25)0，又不等式

2ax2bxc0的解是11b1c11x，∴ a0且有，，∴ ba，23a6a661ca，∴ bc，代入0得c224c(c25)0，∴ c24，故得a、b、c6的取值范围为a144，b24，c24

2. 解：

∵ f(x)4(x① 当

a2)2a2 2a0时，即a0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数 22∴ f(x)minf(0)a2a2，由a22a23，得a1∵ a0 ∴ a1② 当02

2

aa2，即0a4时，f(x)minf()2a2 221由2a23，得a(0,4)，舍去

2a

③ 当2，即a4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，

2f(x)minf(2)a210a18

由a210a183，得a510 ∵ a4 ∴ a510 综上所述，a13. 解：

234a2a2ba0（1）由题意知f(2)0，f(6)0，即

2336a6a2ba02或a510

两式相减并注意到a0，解得a4，∴ b8，∴ f(x)4x16x48

2（2）要使F(x)k(4x216x48)4(k1)x2(6k1) 4 kx24x2恒小于零

k0必须k2 ∴ k2时，F(x)恒为负数 248k04. 证明：

c1 2c11又1bc，故1c3c

23（1）f(1)012bc0b方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根，故4b4(c1)0 即(c1)4(c1)0c3或c1 ∴ 3c1，由b222c1知b0 22（2）f(x)x2bxcx(c1)xc(xc)(x1) ∵ f(m)10 ∴ cm1（如图） ∴ c4m43c ∴ f(m4)(m4c)(m41)0 ∴ f(m4)的符号为正 cm1x 5. 解：

（1）由条件，ax23xb0（a0，a、bR）有两实根为、 则94ab0，∵ ||1 ∴ ||3b， aa()2494b1 2aa22∴ 94aba ∴ a4ab9（a0，a、bR）

（2）由（1）得a(4ba)9，因a、b均为负整数

则a1a9a3或或 ∴

4ba94ba14ba32a1 b2∴ f(x)x4x2 （3）由已知易得x1x2由且4b，x1x2 aa3131 aab2，故(x11)(x21)x1x2x1x21 ab4 12417

aa