牛顿迭代法 matlab程序(解线性方程组)
作者:佚名 来源:转载 发布时间:2009-3-7 16:55:53
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1.功能
本程序采用牛顿法,求实系数高次代数方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0 (an≠0 ) (1)
的在初始值x0附近的一个根。
2.使用说明
(1)函数语句
Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)
调用M文件newton_1.m。
(2)参数说明
A n+1元素的一维实数组,输入参数,按升幂存放方程系数。
N 整变量,输入参数,方程阶数。
X0 实变量,输入参数,初始迭代值。
NN 整变量,输入参数,允许的最大迭代次数。
EPS1 实变量,输入参数,控制根的精度。
3.方法简介
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数
f(x)=f(x0)+(x-x0)fˊ(x0)+(x-x0)2 +…
取其线性部分,作为非线性方程f(x)=0的近似方程,则有
f(x0)+fˊ(x0)(x-x0)=0
设fˊ(x0)≠0则其解为
x1=x0-f(x0)/fˊ(x0)
再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数,也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0,则得
x2=x1-f(x1)/fˊ(x1)
这样,得到牛顿法的一个迭代序列
xn+1=xn-f(xn)/fˊ(xn)
4.newton_1.m程序
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0;
b=1;
i=1;
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1;
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1));
b=x(i)-x(i-1);
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ);
return;
end
end
y=x(i);
i
程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下:
function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*xˆ(n-i);
end
5.程序附注
(1)程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。
(2)牛顿迭代法的收敛速度:如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商,ξ是f(x)的一个重零点,且初始值x0充分接近于ξ,那么牛顿迭代是收敛的,其收敛速度是二阶的,即平方收敛速度。
6.例题
用牛顿法求下面方程的根
f(x)=x3+2x2+10x-20
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
7.运行结果
>>a=[1,2,10,-20] ;
>>n=3;
>>x0=1;
>>nn=1000;
>>eps1=1e-8;
>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
y=
1.368808107821373e+000
i=
6
function fp = newton_interpolation(x,y,p)
% Script for Newton's Interpolation.
% Muhammad Rafiullah Arain
% Mathematics & Basic Sciences Department
% NED University of Engineering & Technology - Karachi
% Pakistan.
% ---------
% x and y are two Row Matrices and p is point of interpolation
%
% Example
% >> x=[1,2,4,7,8]
% >> y=[-9,-41,-1,9,523]
% >> newton_interpolation(x, y, 5)
% OR
% >> a = newton_interpolation(x, y, 5)
n = length(x);
a(1) = y(1);
for k = 1 : n - 1
d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k));
end
for j = 2 : n - 1
for k = 1 : n - j
d(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k));
end
end
d
for j = 2 : n
a(j) = d(1, j-1);
end
Df(1) = 1;
c(1) = a(1);
for j = 2 : n
Df(j)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1);
c(j) = a(j) .* Df(j);
end
fp=sum(c);
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