人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系测试题

人教版九年级数学

考试题

测试题

人教版 初中数学

一元二次方程的根与系数的关系

1已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( B ) A．0 B．2 C．－2 D．4 2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1·x2＝( D ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( C ) A．无实数根

B．两根之和为－2 C．两根之积为－1

D．有一根为－1＋2

4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8

5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D ) A．－7 B．－3 C．7 D．3

【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3. 6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( A )

A．－3 B．3 C．－6 D．6

【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3. x2x1

7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B )

x1x2

A．5 B．－5 C．1 D．－1

8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x12＋x22＝__3__． 【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2－2×(－1)＝3. 1159．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则＋＝__－__．

mn3【解析】 ∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根， －55311m＋n

∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝

222mnmn

5

＝－. 33－252

x2

10．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x12＋x22；(2)＋

x1x1； x2

(3)(x1＋1)(x2＋1)．

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.

(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3 ＝36－6＝30；

x2x1x22＋x1230(2)＋＝＝＝10； x1x2x1x23(3)(x1＋1)(x2＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 ＝3－6＋1＝－2.

11．已知2－5是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－5＝4，得x1＝2＋5.

12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值． 解： ∵x1＋x2＝2，∴m＝2.

∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0， 解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.

13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是( C ) A．1 B．12 C．13 D．25

【解析】 由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2， ∴m2－4m＋2＝7， ∴m2－4m－5＝0， 解得m＝5或m＝－1.

当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根． 当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根， ∴当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.

14．设a，b是方程x2＋x－2 012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( A ) A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014

【解析】 ∵a是方程x2＋x－2 012＝0的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A. 15．已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn的值为( C ) A．9 B．4 C．3 D．5

16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，则m＝__－2__．

－444

【解析】 ∵x1＋x2＝－＝，∴－2＝，∴m＝－2.

mmm

17．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．

【解析】 因为α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.

18．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2. (1)求m的取值范围；

(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． 解：(1)∵原方程有两个实数根， 13

∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤.

4

(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1， ∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．

19．已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k的值． 解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0， 所以无论k为何实数，方程总有实数根；

3k－12（k－1）

(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，

kk∵│x1－x2│＝2，

∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，

3k－128（k－1）故()－＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.

kk1解得k1＝1，k2＝－. 3

1

经检验，k1＝1，k2＝－都是原分式方程的解，

31

∴k1＝1，k2＝－.

3

附赠材料：

以学生为第一要务 目标

我们教育工作的最终目标只有一个:学生。因此,我们所做的每一个决定都应该紧紧围绕这个问题:它是否对我们的学生最好?我相信,如果每个教育工作者都能时刻考虑这个问题,那么我们的教育环境一

定会比现在所呈现出来的样子要好得多。那现实究竟是怎样的?我们平时在学校是如何做决定的呢?教师都是普通人,难免会犯错误,于是有的时候大家会不自觉地选择那些对自己最好或是最简单的决定。很多教师做一个决定后整个学年都不会修改。他们做决定时,不是因为持续50分钟测验要比20分钟的测验更有效而是因为考虑到进行一次50分钟的测试可以让自己少做一次教学计划,并且还能腾出50分钟的休息时间,我们总会有意无意地犯这样的错误。我们之所以这样做的最深层原因是我们并没有以帮助学生为第一要务,而是选择那些对自己好或是简单易行的方法。甚至有时候我们自己都没有意识到这一点。比如,大家设计考试测验时都倾向于一次占用一整堂课的时间,因为一直以来都是这么做的,大家都默认这是正确的选择

无论出于怎样的原因,教师总会难免做出一些没有以学生为第要务的决定。今天的课程有以下两个目标:(1)让你反思自己做决定时究竟是出于怎样的目的;(2)让你将考虑的重心转移到学生身上。

课程

首先,我想和你分享下面这个场景，一天,有个小孩想比平时晚睡一个小时,于是向父母提出了这个要求。他的父母考虑到他第二天还要按时上学,就没有同意。小孩生气地大喊大叫,但父母依然坚持。他还不罢休,又哭又闹,终于父母让步了。

是否见过类似的场景?你是否曾这么做过?为什么最终父母会让

步?因为满足小孩的要求要比继续听他吵闹要容易得多。最开始,父母的决定是为孩子好,但小孩并不这么父母屈服小孩如愿以偿。一旦事态发展到令父母难以忍受,他们就会匆匆做出最容易的决定,因为他们觉得放任小孩自由行动比坚持自己的意见更加简便易行,仅此而已。 再次提醒各位教师,我们都是普通人,做决定的时候偶尔也会用那些简便易行的方法去替代真正对学生有益的方法。我们当父母时会这样做,我们当老师的时候也同样会这么做。

现在,让我们看下面这几个场景示例,仔细想想哪些是对学生好的做法,哪些仅仅是做起来更容易些的做法

场景1:距离下课还有8分钟,教师已经把当天课堂的内容讲完了。接下来的这段时间要怎么度过才算对学生好

A.她跟学生说:“如果你们能安安静静地自习到下课,我就不再给大家布置额外的作业了。”

B.她立刻开始讲新的东西,因为她知道在课堂上的每分每秒对 学生来说都是宝贵的。

场景2:教师正在准备一份新的测验卷,考虑要添加一些内容 到考卷里,下面哪种方法对学生更好?

A.全部选择那些有标准答案的客观题,这样批改起来会比较快选择那些需要学生充分思考、讨论和分析的客观题。

场景3:教师正准备开始新的一堂课。练习册里有十个新单词下面哪种方法对学生来说更好

A.让学生用词典查出释义,然后抄写到笔记本上,再用这些单词造

句。

B.让学生分小组讨论这些单词,通过上下文或拆词法等推断出词义,最终以小组为单位得出自己对单词意思的认识,并把结果在班级展示板上展示出来。然后,大家以口头讲述的方式活学活用刚刚所学的新单词

场景4:现在是周五,忙了一周的教师感到很疲惫。学生正在计算机教室学习一些新的课程内容,老师的手里还有一沓上次测验的试卷没有批改,这时哪种做法对学生更好?

A.教师让学生自习,然后自己坐在讲桌前批改试卷。

教师在计算机教室里不断巡视,给予那些需要帮助的学生及时的指导。

场景5:课堂上讲到了有关第二次世界大战的某一章,这时哪种教学法对学生更好?

A.教师布置任务让学生阅读课文,然后回答课后问题。

B.教师在开始上课时,首先让学生分享自己对于这场战争的认识,然后让大家通过阅读课本并借助网络来回答一些教师事先准备好的问题(这一环节可以分小组完成)。然后,在课堂讨论环节中,每个小组上台讲解本组得出的结论。

你还可以自行添加更多的场景示例 实践

最后,我想再次提醒你,无论做什么决定,不管其他的方式实行起来多么具有诱惑力,都一定要以学生为第一要务。请记住:每次做出有益

学生的决定时,即使操作起来十分不易,你也一定要对自己有信心,要相信自己的做法是正确的。尽管对教师来说,那些十分容易实行的做法有时看起来“更主流”,你也一定要坚持选择对学生有益的方式。