二次函数培优提高训练(二)

二次函数培优提高训练

【关于二次函数的最值问题】

21、二次函数yaxbxc（a0）中，当a>0时，有最小值4acb，当a<0时，有最大值的4acb。

4a4a222b4acb2、二次函数yaxbxc（a0）最大（小）值的坐标，即抛物线的顶点坐标为（,）。 2a4a【例题精讲】

2例题1、（2012•）判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数y=ax+bx+c-5x-3x+7在坐标平面上的图形有最低点？（ ）

A． a=0，b=4，c=8 B．a=2，b=4，c=-8 C．a=4，b=-4，c=8 D．a=6，b=-4，c=-8 【变式练习】（2012•呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx+（a+b）x（ ）

2

22

1 上，点N在直线2x99 B、有最大值，最大值为

2299C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为

22A．有最大值，最大值为例题2、（2010•自贡）y=x+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时

取得最大值，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤-5 B．a≥5 C．a=3 D．a≥3

2

【变式练习】（2012•兰州）已知二次函数y=a（x+1）-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定

例题3、（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）

2

A、5 B、45 C、3 D、4 32

【变式练习】（2012•贵阳）已知二次函数y=ax+bx+c（a＜0）的图象如图所示， 当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）

A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 B．C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 【课堂练习】

1、（2007•聊城）如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为 一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）。 A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D C．当为AB的三等分点时，S最大

2、（2012•扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为 斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是（ ） 3、（2010•扬州）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y． （1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围） ②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；

（3）若F在直角边BC上（点F与B、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

【关于二次函数的抛物线与x轴的交点问题】

1、二次函数yax2bxc（a0）中，若抛物线与x轴有两个交点，则b4ac0，若抛物线与x轴有一个交点，则b4ac0，若抛物线与x轴没有交点，则b4ac0。

2、设二次函数yax2bxc（a0）的若抛物线与x轴有两个交点，A（x1，0），B（x2，0），

222b24acABx1x2。

a例题精讲

2

例题1、（2012•宜昌）已知抛物线y=ax-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【变式练习】（2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞1- ；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，40）和（3，0）．其中，正确结论的是（ ）

22

例题2、（2012•梅州）（1）已知一元二次方程x+px+q=0（p-4q≥0）的两根为x1、x2； （1）求证：x1+x2=-p，x1•x2=q．

2

（2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值

2

时，d取得最小值，并求出最小值．

【变式练习】（2011•潍坊）已知一元二次方程ax+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，

2

那么二次函数ax+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）

2

例题3（2011•大庆）二次函数：y=ax-bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于2

b． 2（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．

2

【变式练习】（2010•镇江）已知二次函数y=x+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点． （1）求C1的顶点坐标；

（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．

【课堂练习】

2

1、．（2011•襄阳）已知函数y=（k-3）x+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

2

2、（2011•菏泽）如图为抛物线y=ax+bx+c的图象，A、B、C为

抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ） A．a+b=-1 B．a-b=-1 C．b＜2a D．ac＜0 3、（2011•常州）已知二次函数yxx21，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取5m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ）

A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0

【根据实际问题列二次函数】 例题1、（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是_______________________。

【变式练习】（2009•庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是______________。

例题2、、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）

2

【变式练习】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC、BC的长恰好为方程x-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点． （1）求a的值． （2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

【课堂练习】

1、某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（ ）

22

A．y=-10x-560x+7350 B．y=-10x+560x-7350

22

C．y=-10x+350x D．y=-10x+350x-7350 2、（2009•泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为__________。

3、（2005•南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米． （1）求y与x之间的关系式．

（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【二次函数的应用】 例题1、（2011•株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建

2

立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）

【变式练习】、（2011•聊城）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） 例题2、．（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）

【变式练习】（2007•巴中）巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大高度为3米，此时喷水水平距离为

1 米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是2（ ）

2

例题3．（2010•定西）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒 【变式练习】（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2、（2012•锦州）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？