2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（在各小题所给出的四个选项中只有一项符合题意，请把正确选项前的字母代号填在下表相应的空格内，每题3分，共24分）

1．（3分）在下列手机缓存的小图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5

B．2，3，4 D．5，12，13

4．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要根据“AAS”说明△ABC≌△DEF，还需要添加下列选项中的（ ） A．AB＝DE

B．∠C＝∠F

C．∠B＝∠E

D．AB＝EF

5．（3分）等腰三角形中一个角是84°，则底角为多少度（ ） A．48° C．48°或84°

B．48°或12° D．12°或48°或84°

6．（3分）如图，OA＝OB，∠A＝∠B，有下列3个结论： ①△AOD≌△BOC，

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②△ACE≌△BDE， ③点E在∠O的平分线上， 其中正确的结论是（ ）

A．只有①

B．只有②

C．只有①②

D．有①②③

7．（3分）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A．36海里

B．48海里

C．60海里

D．84海里

8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（ ）

A．90°

B．120°

C．135°

D．150°

二、填空题（把正确答案直接填在题中的横线上，每小题3分，共30分） 9．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 条．

10．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°，则∠B＝ °． 11．（3分）如图所示，∠1＝∠2要使△ABD≌△ACD，用“SAS”说明理由还需添加的一个条件是 ．

12．（3分）等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是 ．

13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝ cm．

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14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，CD＝8，则DE的长等于 ．

15．（3分）如图，已知等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE交于点P，则∠APE＝ °．

16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 ．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 ．

18．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，

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分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．

三、解答题（本题共9题，满分96分）

19．（12分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）

（3）在直线l上找一点Q，使Q点到B，C路程最短；（要求在直线l上标出点Q的位置） （4）连接PA，PC，计算四边形PABC的面积．

20．（10分）已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．

21．（12分）已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝CD，CE＝AF．

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求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）CE⊥AF．

22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN． （1）求证：∠MDN＝90°．

（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．

24．（12分）（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；

（2）①如图2，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1，再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，的第二条线段A1A2，…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能在画出符合要求的线段，则n为多少？

②按照①思路现在一共可以画6条线段，请你求出∠BOC的度数范围．

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25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度． （1）当t＝2时，CD＝ ，AD＝ ；

（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；

（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．

26．（14分）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．

（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是 三角形； （2）若∠BAC＜60°．

①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

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2019-2020学年江苏省连云港市开发区八年级（上）期中数学试

卷

参与试题解析

一、选择题（在各小题所给出的四个选项中只有一项符合题意，请把正确选项前的字母代号填在下表相应的空格内，每题3分，共24分）

1．（3分）在下列手机缓存的小图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（3分）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B．

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C． D．

【考点】N3：作图—复杂作图．

【分析】利用PA+PC＝AC，PB+PC＝AC得到PA＝PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确． 【解答】解：∵点P在AC上， ∴PA+PC＝AC， 而PB+PC＝AC， ∴PA＝PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上， 所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P． 故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题． 3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 【考点】KT：勾股数．

【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可． 【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项不符合题意； B、22+32≠42，∴不是勾股数，此选项不符合题意；

C、∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，此选项不符合题意； D、∵52+122＝132，∴是勾股数，此选项符合题意； 故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．

4．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要根据“AAS”说明△ABC≌△DEF，还需要添加下列选项中的（ ） A．AB＝DE

B．∠C＝∠F

C．∠B＝∠E

D．AB＝EF

B．2，3，4 D．5，12，13

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【考点】KB：全等三角形的判定．

【分析】根据题目中的条件和AAS可知再增加一对角相等，即可解答本题．

【解答】解：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若∠B＝∠E，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C正确，

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若∠C＝∠F，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符题意，

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若AB＝DE，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符题意，

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，若AB＝EF，无法证明△ABC≌△DEF，故选项D不符题意； 故选：C．

【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．

5．（3分）等腰三角形中一个角是84°，则底角为多少度（ ） A．48° C．48°或84°

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【分析】已知给出的84°角无法确定是顶角和底角，要分两种情况进行讨论作答． 【解答】解：（1）当84°是顶角时，底角＝（180°﹣84°）÷2＝48°； （2）84°是底角时． 故底角为48°或84°． 故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 6．（3分）如图，OA＝OB，∠A＝∠B，有下列3个结论： ①△AOD≌△BOC， ②△ACE≌△BDE， ③点E在∠O的平分线上， 其中正确的结论是（ ）

B．48°或12° D．12°或48°或84°

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A．只有①

B．只有②

C．只有①②

D．有①②③

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】根据全等三角形的判定得出△AOD≌△BOC（ASA），则OD＝CO，从而证出△ACE≌△BDE，连接OE，可证明△AOE≌△BOE，则得出点E在∠O的平分线上． 【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝∠B，∠O＝∠O， ∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确； ∴OD＝CO， ∴BD＝AC，

∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确； ∴AE＝BE，

连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AOE＝∠BOE，

∴点E在∠O的平分线上，故③正确， 故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．

7．（3分）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A．36海里

B．48海里

C．60海里

D．84海里

【考点】KU：勾股定理的应用．

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了48，36海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC＝90°，

3小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36海里， 根据勾股定理得：

＝60（海里）．

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故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．

8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（ ）

A．90°

B．120°

C．135°

D．150°

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】如图所示，延长CO到F，由翻折的性质可知：∠A′CF＝

，

，∠CA′O＝∠DA′O＝∠A＝45°，∠OB′C＝∠CB′E＝∠ECB

＝45°，最后利用三角形外角的性质可求得∠A′OB′的度数． 【解答】解：如图所示：延长CO到F．

∵AB＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°．

由翻折的性质可知：∠A′CF＝

，

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，∠CA′O＝∠DA′O＝

∠A＝45°，∠OB′C＝∠CB′E＝∠ECB＝45°． ∴∠A′CB′＝∠A′CF+∠B′CF＝

＝30°．

∴∠A′OB′＝∠A′CB′+∠CA′O+∠OB′C＝30°+45°+45°＝120°． 故选：B．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质，利用翻折的性质求得∠A′CB′＝30°，∠CA′O＝45°，∠OB′C＝45°是解题的关键．

二、填空题（把正确答案直接填在题中的横线上，每小题3分，共30分） 9．（3分）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 3 条． 【考点】KK：等边三角形的性质；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念作答． 【解答】解：等边三角形的对称轴是三条高所在的直线． 故它的对称轴共有3条． 故填3．

【点评】考查了轴对称图形的对称轴的概念及等边三角形的性质；本题比较简单，属于基础题．

10．（3分）已知△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°，则∠B＝ 40 °． 【考点】KA：全等三角形的性质．

【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且∠A＝80°，∠F＝60°， ∴∠C＝∠F＝60°，

则∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 故答案为：40．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 11．（3分）如图所示，∠1＝∠2要使△ABD≌△ACD，用“SAS”说明理由还需添加的一个条件是 BD＝CD ．

【考点】KB：全等三角形的判定．

【分析】添加BD＝CD，由条件∠1＝∠2可得∠ADC＝∠ADB，然后再利用SAS判定△

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ABD≌△ACD即可． 【解答】解：添加BD＝CD， ∵∠1＝∠2， ∴∠ADC＝∠ADB， 在△ADC和△ADB中∴△ABD≌△ACD（SAS）． 故答案为：BD＝CD．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

12．（3分）等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是 10或7 ． 【考点】KH：等腰三角形的性质．

【分析】由于已知的长为10的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．

【解答】解：当腰长为10时，底长为：24﹣10×2＝4；10﹣4＜10＜10+4，能构成三角形；

当底长为10时，腰长为：（24﹣10）÷2＝7；10﹣7＜7＜10+7，能构成三角形； 故此等腰三角形的腰长为10或7． 故填10或7．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝ 4 cm．

，

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【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】根据平行线的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，BD的长，那么CF的长就不难求出． 【解答】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF，

在△ADE与△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF，

∵AB＝7cm，BD＝3cm， ∴AD＝AB﹣BD＝7﹣3＝4cm， ∴CF＝AD＝4cm， 故答案为4．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE． 14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，CD＝8，则DE的长等于 5 ．

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理．

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【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵CD⊥AB，AD＝6，CD＝8， ∴AC＝

＝

＝10，

∵E是AC的中点， ∴DE＝AC＝×10＝5． 故答案为：5．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．

15．（3分）如图，已知等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE交于点P，则∠APE＝ 60 °．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠APE＝∠ABC，从而得解． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中， ∵

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE，

在△ABP中，∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°， 即∠APE＝60°． 故答案为：60．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也

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是关键．

16．（3分）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 123 ．

【考点】KQ：勾股定理．

【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝52+82＝，

同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝32+52＝34， ∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝+34＝123， 故答案为：123．

【点评】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 5 ．

【考点】KF：角平分线的性质．

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【分析】根据勾股定理求CD，根据角平分线性质得出DE＝CD，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，

过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝5，

即点D到AB的距离为5， 故答案为：5．

【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等．

18．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ 三角形．

或

s时，△PBQ为直角

【考点】KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．

【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ．

∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，

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∴6﹣2x＝2x， 解得x＝；

当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴x＝2（6﹣2x）， 解得x＝答：或

．

秒时，△BPQ是直角三角形．

．

故答案为或

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共9题，满分96分）

19．（12分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）

（3）在直线l上找一点Q，使Q点到B，C路程最短；（要求在直线l上标出点Q的位置） （4）连接PA，PC，计算四边形PABC的面积．

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【考点】K3：三角形的面积；KG：线段垂直平分线的性质；P7：作图﹣轴对称变换． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，使得PB＝PC； （3）根据轴对称的性质解答即可；

（4）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC，代入数据求解即可 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：

（2）如图所示，点P即为所求； （3）如图所示，点Q即为所求； （4）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC＝

．

【点评】本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接．

20．（10分）已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．

【考点】KB：全等三角形的判定．

【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，

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即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（AAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．

21．（12分）已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝CD，CE＝AF．

求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）CE⊥AF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由条件利用HL即可证得结论；

（2）由全等三角形的性质可求得∠BAF＝∠DCE，再利用直角三角形的性质可求得∠AEG＝90°，即可证得结论． 【解答】证明：

（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中

．

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；

（2）∵△ABF≌△CDE（已证）， ∴∠BAF＝∠DCE， ∵∠BAF+∠CGB＝90°， ∴∠BAF+∠AGE＝90°，

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∴∠AEG＝90°， 即CE⊥AF．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．

【考点】K3：三角形的面积；KU：勾股定理的应用．

【分析】连接AC，根据直角△ACD可以求得斜边AC的长度，根据AC，BC，AB可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可． 【解答】解：连接AC，

已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m， 根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m， 在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m， ∴存在AC2+CB2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，

要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可， S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣CD•AD，

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＝×15×36﹣×9×12， ＝270﹣， ＝216m2，

答：这块地的面积为216m2．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC是直角三角形是解题的关键．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN． （1）求证：∠MDN＝90°．

（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）由折叠的性质可得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，由余角的性质可得结论； （2）构造直角三角形根据勾股定理即可求解．

【解答】解：（1）由折叠的性质得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠MDA+∠NDB＝90°， ∴∠MDN＝90°；

（2）由折叠的性质得AM＝DM，NB＝ND，∠MDA＝∠A，∠NDF＝∠B， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠MDA+∠NDF＝90°， ∴∠MDN＝90°．

连接MN，在Rt△MDN和Rt△CMN中，设DN＝DM＝x，则CN＝8﹣x， AM＝MD＝2，则MC＝6﹣2＝4，

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根据勾股定理，得CM2+CN2＝MN2，DM2+DN2＝MN2． 即42+（8﹣x）2＝22+x2，解得x＝答：线段DN的长为

．

．

【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理解决． 24．（12分）（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；

（2）①如图2，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1，再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，的第二条线段A1A2，…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能在画出符合要求的线段，则n为多少？

②按照①思路现在一共可以画6条线段，请你求出∠BOC的度数范围．

【考点】KH：等腰三角形的性质；N3：作图—复杂作图．

【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A为x°，列方程即可求解； （2）①由特殊到一般，找到各三角形底角的度数的规律，根据规律及三角形的内角和定理列不等式可得结论； ②同理可列不等式组：

，解出即可．

【解答】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE，

∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，

根据三角形的外角性质，可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，

设∠A＝x°，则∠CBD＝∠CDB＝2x°，∠DCE＝∠CED＝3x°，∠EDM＝4x° 又∵∠EDM＝84°，

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∴4x＝84， x＝21

即∠A＝21°；

（2）①由题意可知，△OAA1，△AA1A2，△A1A2A3都是等腰三角形，第一个等腰三角形△OAA1的底角为9°，

由三角形外角的性质可以得到，第二个等腰三角形△AA1A2的底角为18°，第三个等腰三角形△A1A2A3的底角为27°，

于是可得，第n个等腰三角形的底角为（9n）°，而等腰三角形的底角小于90°， 所以当n＝9时，底角为81°；当n＝10时，底角为90°， 所以n＝9以后就不能再画出符合要求的线段了， 故n＝9；

②设∠BOC＝n°，

同理可知：第一个等腰三角形的底角为n°，

第二个等腰三角形的底角为2n°，第三个等腰三角形的底角为3n°，

于是可得，第6个等腰三角形的底角为6n°，第7个等腰三角形的底角为7n°，而等腰三角形的底角小于90°， 则

，

∴≤n＜15，

≤n＜15．

即∠MAN的度数范围是：

【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质和图形类规律问题，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．

25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度． （1）当t＝2时，CD＝ 2 ，AD＝ 8 ；

（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；

（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．

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【考点】KI：等腰三角形的判定；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．

【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；

（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；

（3）分①CD＝BC时，CD＝6；②BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答． 【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2， ∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝

＝

＝10，

AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8； 故答案是：2；8．

（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC， 即×10•BD＝×8×6， 解得BD＝4.8， ∴CD＝

t＝3.6÷1＝3.6秒；

②∠CBD＝90°时，点D和点A重合， t＝10÷1＝10秒，

综上所述，t＝3.6或10秒；

故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；

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＝＝3.6，

②BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F， 则CF＝3.6，

CD＝2CF＝3.6×2＝7.2， ∴t＝7.2÷1＝7.2，

综上所述，t＝6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．

26．（14分）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．

（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是 等边 三角形； （2）若∠BAC＜60°．

①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KY：三角形综合题．

【分析】（1）根据题意推出∠ACB＝∠ABC＝60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；

（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，

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然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．

【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠EAC＝∠DAB， ∴△DAB≌△EAC， ∴∠ECA＝∠B＝60°， ∵EF∥BC，

∴∠EFC＝∠ACB＝60°，

∵在△EFC中，∠EFC＝∠ECF＝60°＝∠CEF， ∴△EFC为等边三角形， 故答案为：等边；

（2）①△CEF为等腰三角形，

证明：如图2，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB， ∴△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠B， ∴∠ACE＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ACE， ∴CE＝FE，

∴△EFC为等腰三角形；

②如图③，△EFC为等腰三角形．

当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE． 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB， ∴△EAC≌△DAB，

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∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECF＝∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ACB， 又∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠AFE＝∠ECF， ∴EC＝EF，

∴△EFC为等腰三角形．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合应用，解题的关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，根据等量代换推出结论．

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