圆锥曲线复习学案

圆锥曲线复习学案（一）

一、基础知识

解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、 三种圆锥曲线的研究

（1）统一定义，（这种说法不作要求）三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：P|如图：

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当01时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>2a>0，F1，F2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

② 定量：

|PF|e,e0，其中F为定点，d为P到定直线的距离，F，d 焦 距 长轴长 实轴长 短轴长 椭 圆 2c 2a —— 2b 双 曲 线 抛 物 线 —— —— 2a —— —— —— 1

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通径长 离心率 基本量关系 a2=b2+c2 b22· a2p 1 C2=a2+b2 —— ec a （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）， 举焦点在x轴上的方程如下：

标准方程 椭 圆 x2a2双 曲 线 x2a2抛 物 线 y=2px（p>0） 2y2b21 y2b21 （a>b>0） 顶 点 焦 点 中 心 范 围 焦半径 |x|≤a |y|≤b —— （±a，0） （0，±b） （a>0，b>0） （±a，0） （0，0） （，0） |x|≥a —— （±c，0） （0，0） p2x≥0 |PF|=x0+ p2总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

二、常见结论：

x2y2x2y221 1、（1）与双曲线221共同的焦点的双曲线2akbkabx2y2（2）与双曲线221(a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为

abx2y2(a>0,b>0，λ≠0), a2b2当 λ>0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ<0 时,所求双曲线的焦点与已知的不在同一坐标轴上 （3）等轴双曲线的性质：

离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x2-y2=λ≠0 2、焦点弦的性质

2焦点弦 过y2pxp0的焦点弦ＡＢ ，Ａ（x1，y1）Ｂ（x2，y2）

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p22p2（1）ABx1x2p， ,（2）y1y2p，x1x224sin（3）以AB为直径的圆与准线相切

（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p,通径是过焦点最短的弦.

三、典例剖析

题型一:圆锥曲线的定义及方程

例1（1）椭圆的两焦点为F1(－4, 0), F2(4, 0)，点P在椭圆上，已知△PF1F2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程.

（2）根据下列条件，求双曲线方程：

x2y21有共同渐近线，且过点(3,23)；  与双曲线916x2y21有公共焦点，且过点(32,2).  与双曲线1(3) 求焦点在直线x2y40上的抛物线的标准方程.并求其对应的准线方程.

x2y21上一点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，例2（1）椭圆259则ON的长度 。

x2y21上， （2）设点P在双曲线若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|916＝1∶3，求△F1PF2的周长。

（3）在抛物线y24x上找一点M，使MAMF最小，其中A3,2，F1,0，求M点

的坐标及此时的最小值

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题型二：圆锥曲线的性质

例3（1）椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60角的菱形的四个顶点，求椭圆的离心率

x2y2 （2）设a1，求双曲线21的离心率e的取值范围 2a(a1)x2y21的两条渐近线所围成的三角形面积 （3）求抛物线y12x的准线与双曲线932

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四、强化训练

x2y21的焦点坐标为（ ) 1、双曲线4A．(3,0) B．(0,3) C．(5,0) D．(0,5) 2抛物线y4x2的准线方程是( )

11 A.y1 B.y1 C.y D. y

1616x2y21表示双曲线的（ ）条件 3、若kR，则k3是方程

k33A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要

x2y24、双曲线221的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）

ba3A．2 B．3 C．2 D．

25、过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，如果x1x26， 则PQ ( ) A．9

B．8

C．7

D．6

x2y21的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( ) 6、以椭圆2449x2y2x2y2y2x2y2x21 B. 1 C. 1 D. 1 A.2524242525242425

7、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的

长轴的长，给出下列式子：

①a1c1a2c2;②a1c1a2c2;③c1a2a1c2;④c1c2. a1a2其中正确式子的序号是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8、已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn

能是

y o

y o

y o

y o 所表示曲线可 （ ）

x x x x A B C D 信心、兴趣、方法、习惯、心态、毅力

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9、设△ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）

1213A． B． C． 12 D．13

2210、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

（ ）

11A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2）

4411、已知方程x2siny2sin2表示焦点在y轴上的双曲线，则点Pcos,sin在 （ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

x2y21的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上，12、.椭圆如果线段PF1的中点在y轴上，123则|PF2|的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 1|是|PFx2y2x2y21（m＞n＞0）和双曲线221（a＞0,b＞0）有共同的焦点F1、F2,P是两条13、mnab曲线的一个交点，则PF1PF2等于（ ）

1（A）m2a2 （B）mn （C）(ma2) （D）(ma2)

2x2y21的两个焦点，点P在双曲线上，F1PF2=900，直角F1PF2的面积14、F1、F2是双曲线

4aa是1，则a的值是（ ） （A）

1 （B）

5 （C）2 （D）5 2x2y21的两条渐近线的夹角为15、曲线2,则双曲线的方程为

3a2_____________________________

16、斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________

x2y21 17、直角坐标系xoy中，已知三角形ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆

259上，则

sinAsinC____________

sinBx2y21的离心率e(1,2)，则k的取值范围是 18、4k19过点（1，6）且与渐近线方程是y2x的双曲线方程是____________ 26

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x2y21有相同的焦点，求此双曲线的标准方程． 20双曲线的离心率等于2，且与椭圆259

y2x221、P是椭圆1上的一点，F1、F2是焦点，且F1PF2=300，求F1PF2的面积。

22、双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，-10）；（1）求双曲线的方程；（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证MF1MF2；（3）求F1MF2的面积.

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圆锥曲线复习学案（二）

一、知识与方法

（一）直线和圆锥曲线位置关系

1、位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

将直线方程与圆锥曲线方程联立消去y（或消去x）得：ax2bxc0或ay2byc0

（1）0相交；（2）0相切；（3）0相离

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

（2）直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、张角问题、最值问题等

（二）圆锥曲线的定值、最值问题

（1）圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关。

（2）圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题 二、例题讲解 题型一：弦长问题

y21截得的弦长； 例1、（1）求直线yx1被双曲线x42 （2）已知过抛物线焦点的直线l与抛物线y24x相交于点A、B，如果线段AB的长等于5，求直 线方程。（注意技巧）

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题型二：轨迹问题

y21截得的弦中点轨迹方程。 例2、求过定点(0,1)的直线被双曲线x42

题型三：最值、定值问题

例3、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为23，离心率为其左焦点F1的直线l交椭圆C于P、Q两点. （I）求椭圆C的方程；

3，经过3（II）在x轴上是否存在一点M，使得MPMQ恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

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题型四：直线与圆锥曲线位置关系

x2y21，当k为何值时，此直线与椭圆： 例4、已知直线y=kx+2和椭圆32 （1）相交 （2）相切 （3）相离？？

题型五：探索性问题

y21，过点（1,1）能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1,Q2两 例5、已知双曲线x22点，且A是线段Q1Q2的中点，这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

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三、强化训练

x2y21有且仅有一个公共点的直线的条数是________． 1、过P(3,4)点与双曲线

916y221的右焦点F2作直线l交双曲线于A、B两点，若AB2，则这样的直2、过双曲线x2线l有( )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D.不存在

3、抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是（ ）

478A． B． C． D．3

35、一抛物线拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m时，则水面宽为（ ）

A.6m B. 26m C.4.5m D.9m

5、AB是过抛物线x2y的焦点的弦，且|AB|=4，则AB中点到直线y+1=0的距离是（ ） A.

511 B.2 C. D.3 24x2y21相交，则k的取值范围为（ ） 6、若直线y=kx与双曲线9422223333 A.(,) B.(,)(,) C. (,) D. (,)(,)

33332222x2y21内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） 7、以椭圆

1 A.4x-y-3=0 B.x-4y+3=0 C.4x+y-5=0 D.x+4y-5=0 8、椭圆的两焦点为F1(3,0),F2(3,0)，离心率e3 2 （1）求此椭圆的方程；

（2）设直线l：y=x+m,若l与此椭圆相交于P、Q两点且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值

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y21上两点A、B，AB中点M（1，2）9、双曲线x，求直线AB方程； 22

10、已知ABC的两个顶点A、B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A、

1B、C满足关系式sinBsinAsinC.

2(1)求线段AB的长度； （2）求顶点C的轨迹方程.

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