圆锥曲线复习学案

《圆锥曲线与方程》复习学案

一、知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 平面内到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1MF22a 定 义 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线. 即 当2a﹤2c时，轨迹 当2a＝2c时，轨迹 当2a﹥2c时，轨迹 当2a﹥2c时，轨迹 当2a＝2c时，轨迹 当2a﹤2c时，轨迹 焦点在x轴上时： 焦点在x轴上时： 标准焦点在y轴上时： 方 程 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一焦点在y轴上时： 坐标轴上 常数a,b,c a2c2b2，ab0， 的关 a最大，cb,cb,cb 系 渐近 线 c2a2b2，ca0 c最大，ab,ab,ab 焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时： x2y2椭圆的性质：椭圆方程221(ab0)

ab （1）范围： ，椭圆落在xa，yb组成的矩形中。

（2）对称性： （3）顶点： A1A2叫椭圆的长轴，长为2a，B1B2叫椭圆的短轴，长为2b。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ebc（0e1）e可以刻画e1()2。

aa椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.

(5)点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmax ，PF(6)点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值. 2、直线与椭圆位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法

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位置关系 相交 相切 相离 公共点 有两个公共点 有且只有一个公共点 无公共点 判定方法 直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式 （2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2) 则|PP12| (k0) 12| ，或|PP3、双曲线的几何性质： （1）顶点

顶点： ，特殊点：

实轴：A1A2长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （2）渐近线

x2y2 双曲线221的渐近线

ab （3）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 2aa （4）等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：yx；b、渐近线互相垂直；c、离心率e 4.抛物线： 2。

图象 方程焦 点准 线 抛物线的几何性质 （1）顶点：抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点。

（2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

（3）p的几何意义：p表示焦点到准线的距离. 2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.

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（4）若点M(x0,y0)是抛物线y22px(p0)上任意一点，则MFx0p 2(5)若过焦点的直线交抛物线y22px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦

ABx1x2p

二．重点题型

1.圆锥曲线的定义：

（1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ） A．PF B．PF 1PF241PF26 C．PF D．PF11PF2102PF2212

（2）方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的

方程）：

x2y2（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为____

3k2k（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，x2y2的最小值是

x2y25（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆则该双曲线的方程_______ 1有公共焦点，

942（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点

P(4,10)，则C的方程为_______

3.圆锥曲线的几何性质：

x2y210（1）若椭圆，则m的值是_ _ 1的离心率e5m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小

值为__

（3）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离心率等于______ 4．直线与圆锥曲线的位置关系：

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（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______

x2y21恒有公共点，则m的取值范围是_______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆

5mx2y21的右焦点直线交双曲线于A,B两点，若│AB︱＝4，则这样的（3）过双曲线12直线有_ _条

5、焦半径

（1）已知抛物线方程为y8x，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦

点的距离等于____；

（2）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____

（3）抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______ 6、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解。

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2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B3两点，则ABF2的周长为________

（2）设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若

（1）短轴长为5，离心率ePF2F1F20，|PF1|=6，则该双曲线的方程为

7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

（2）过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

x2y21弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （1）如果椭圆

369x2y2（2）试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对

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4x2y29. 离心率的求法 (1)已知双曲线221的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心

3ab率为（ ）

5435 B C D 3324x2y2 (2)已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正

ab三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A

A. 423 B.

31 C.

31 D. 231

(3)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

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