2020-2021学年江苏省南京市玄武区七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期末数

学试卷

1. 计算𝑎3⋅𝑎2正确的是( )

A. a B. 𝑎5 C. 𝑎6 D. 𝑎9

2. 氢原子的半径约为0.00000000005𝑚，用科学记数法表示0.00000000005是( )

A. 5×10−9 B. 0.5×10−10 C. 5×10−11 D. 5×10−12

3. 若𝑎>𝑏，则下列不等式不成立的是( )

A. 𝑎+3>𝑏+3 B. 3𝑎>3𝑏

C. 3>3

𝑎𝑏

D. −3𝑎>−3𝑏

4. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，BC平分∠𝐴𝐵𝐷，若∠1=65°，则∠2的

度数是( )

A. 65° B. 60° C. 55° D. 50°

5. 已知𝑀=3𝑥2−𝑥+3，𝑁=2𝑥2+3𝑥−1，则M、N的大小关系是( )

A. 𝑀≥𝑁 B. 𝑀>𝑁 C. 𝑀≤𝑁 D. 𝑀<𝑁

6. 如图，△𝐴𝐵𝐶的中线AD、BE相交于点𝐹.若△𝐴𝐵𝐹的面积

是4，则四边形DCEF的面积是( )

A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5

7. 计算：(−2)0=______；2−1=______．

8. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是______． 9. 分解因式：𝑎2−1=______．

10. 把方程2𝑥+𝑦=3写成用含x的代数式表示y的形式，则𝑦=______． 11. 已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为__． 12. 如图，直线a、b被直线c所截，∠1=50°.当∠2=______°时，𝑎//𝑏．

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2𝑥+𝑦=2𝑚+1

13. 关于x，y的方程组{的解满足𝑥−𝑦=6，则𝑚=______．

𝑥+2𝑦=314. 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交

于点O，∠𝐴=40°，∠𝐶=30°，∠𝐵𝑂𝐷=100°.则∠𝐵=______°.

15. 如图，∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸+∠𝐹=______°.

𝑥−𝑚<0

16. 若关于x的一元一次不等式组{仅有2个整数解，则m的取值范围是

2𝑥+1>3

______． 17. 计算：

(1)(2𝑎2)3÷(𝑎2)2； (2)(𝑎+𝑏)(𝑎−3𝑏)．

18. 分解因式：

(1)2𝑎(𝑥−𝑦)+𝑏(𝑦−𝑥)；

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(2)4𝑎2−16𝑎+16．

19. 先化简，再求值：(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)+(𝑎−2𝑏)2，其中，𝑎=2，𝑏=1．

𝑥−𝑦=3

20. 解方程组{．

3𝑥−8𝑦=14

−3𝑥≤9①

21. 解不等式组{𝑥>−2②．

2(𝑥+1)<𝑥+3③

请结合题意，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式③，得______．

(3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

1

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(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集______．

22. 画图并填空：

如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在方格纸的格点上，将△𝐴𝐵𝐶经过一次平移，使点C移到点𝐶′的位置． (1)请画出△𝐴′𝐵′𝐶′；

(2)连接𝐴𝐴′、𝐵𝐵′，则这两条线段的关系是______； (3)在方格纸中，画出△𝐴𝐵𝐶的中线BD和高CE； (4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积为______．

23. 如图，𝐺𝐹//𝐶𝐷，∠1=∠2.求证：∠𝐶𝐸𝐷+∠𝐴𝐶𝐵=

180°．

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24. 为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5

个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元． (1)求每个足球和篮球各多少元？

(2)如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？

∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的四个外角．25. 如图，用两种方法证明∠1+∠2+∠3+

∠4=360°．

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26. 两条直线相交所形成的较小的角称为这两条直线的夹角．如：直线m、n相交，其

夹角为60°，特别的，如果𝑚⊥𝑛，那么其夹角为90°．

(1)如图①，𝑀𝑁//𝑃𝑄，含45°的直角三角形ABC的三边和两条平行线有4个交点D、E、F、G，若AB和PQ的夹角为65°，求∠𝐶𝐹𝑄与∠𝐶𝐸𝑁的度数．

(2)如图②，𝑀𝑁//𝑃𝑄，将一块含45°的直角三角板ABC任意摆放在两条平行线上(三角板足够大)，使三角板的三边和两条平行线始终有4个交点．设斜边AB所在直线与𝑀𝑁(或𝑃𝑄)的夹角为𝛼(0°<𝛼≤90°)，直接写出4个交点处的夹角之和．(结果可以用含𝛼的代数式表示)

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：𝑎3⋅𝑎2=𝑎3+2=𝑎5． 故选：B．

根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案． 本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

2.【答案】C

【解析】解：0.00000000005=5×10−11， 故选：C．

n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

3.【答案】D

【解析】解：𝐴.因为𝑎>𝑏，

所以𝑎+3>𝑏+3，故本选项不合题意； B.因为𝑎>𝑏，

所以3𝑎>3𝑏，故本选项不合题意； C.因为𝑎>𝑏，

所以3>3，故本选项不合题意； D.因为𝑎>𝑏，

所以−3𝑎<−3𝑏，故本选项符合题意； 故选：D．

根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(

𝑎

𝑏

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或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．

4.【答案】D

【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠1=65°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠1=65°，∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐵𝐷𝐶=180°， ∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，

∴∠𝐴𝐵𝐷=2∠𝐴𝐵𝐶=130°， ∴∠𝐵𝐷𝐶=180°−∠𝐴𝐵𝐷=50°， ∴∠2=∠𝐵𝐷𝐶=50°． 故选：D．

由平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝐶=∠1=65°，∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐵𝐷𝐶=180°，由BC平分∠𝐴𝐵𝐷，得到∠𝐴𝐵𝐷=2∠𝐴𝐵𝐶=130°，于是得到结论．

本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠𝐴𝐵𝐷的度数，题目较好，难度不大．

5.【答案】A

【解析】解：𝑀=3𝑥2−𝑥+3，𝑁=2𝑥2+3𝑥−1，

∵𝑀−𝑁=(3𝑥2−𝑥+3)−(2𝑥2+3𝑥−1)=3𝑥2−𝑥+3−2𝑥2−3𝑥+1=𝑥2−4𝑥+4=(𝑥−2)2≥0， ∴𝑀≥𝑁． 故选：A．

用M与N作差，然后进行判断即可．

本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶的中线AD、BE相交于点F， ∴𝐹点为△𝐴𝐵𝐶的重心，

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∴𝐴𝐹=2𝐷𝐹，𝐵𝐹=2𝐸𝐹，

∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐹=×4=2，𝑆△𝐴𝐸𝐹=𝑆△𝐴𝐵𝐹=×4=2，

2

2

2

2

1

1

1

1

∵𝐵𝐸为中线，

∴𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐸=4+2=6，

∴四边形DCEF的面积=𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝐷𝐹=6−2=4． 故选：B．

𝐵𝐹=2𝐸𝐹，利用F点为△𝐴𝐵𝐶的重心得到𝐴𝐹=2𝐷𝐹，根据三角形面积公式得到𝑆△𝐵𝐷𝐹=2，𝑆△𝐴𝐸𝐹=2，再利用E点为AC的中点得到𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐸=6，然后利用四边形DCEF的面积=𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝐷𝐹进行计算．

本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了三角形面积公式．

7.【答案】1 2

【解析】解：(−2)0=1； 2−1=2． 故答案为：1，2．

直接利用零指数幂和负整数指数幂的性质化简得出答案．

此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．

1

1

1

8.【答案】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．

将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个

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命题称为另一个命题的逆命题．

9.【答案】(𝑎+1)(𝑎−1)

【解析】解：𝑎2−1=(𝑎+1)(𝑎−1)． 故答案为：(𝑎+1)(𝑎−1)．

符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)．

本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．

10.【答案】−2𝑥+3

【解析】解：方程2𝑥+𝑦=3， 解得：𝑦=−2𝑥+3． 故答案为：−2𝑥+3． 把x看作已知数求出y即可．

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．

11.【答案】5

【解析】 【分析】

此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．

根据三角形的三边关系“任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解． 【解答】

解：根据三角形的三边关系，得4<第三边<6． 又第三条边长为整数，则第三边是5． 故答案为5．

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12.【答案】130

【解析】解：当∠1=∠3时，𝑎//𝑏， ∵∠1=50°， ∴∠3=50°， ∵∠2+∠3=180°，

∴∠2=180°−∠3=180°−50°=130°， 即当∠2=130°时，𝑎//𝑏． 故答案为130．

由两平行直线a、b被直线c所截，∠1=50°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．

此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．

13.【答案】4

【解析】解：{

2𝑥+𝑦=2𝑚+1①

，

𝑥+2𝑦=3②

①−②，得：𝑥−𝑦=2𝑚−2， ∴2𝑚−2=6， ∴𝑚=4． 故答案为：4．

将两个方程相减，得到𝑥−𝑦=2𝑚−2，再求m的值．

本题考查了二元一次方程组的解，要求学生在求出方程组的解进行解题的方法外，还能掌握整体思想快速求解．所以要求学生在解题时要先注意观察题目，再求解．

14.【答案】10

【解析】解：∵∠𝐴=40°，∠𝐶=30°， ∴∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐴+∠𝐶=70°； ∵∠𝐵𝑂𝐷=100°，

∴∠𝐵=180°−∠𝐵𝐷𝑂−∠𝐵𝑂𝐷=10°． 故答案为：10．

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先利用三角形的外角的性质求出∠𝐵𝐷𝑂=70°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，用三角形外角的性质解决问题是解本题的关键．

15.【答案】360

【解析】解：如图，延长DE交AB于点G，

由三角形外角性质可知：

∠1=∠𝐹+∠𝐷𝐸𝐹，∠2=∠1+∠𝐴， ∴∠2=∠𝐹+∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐴，

∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知： ∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠2=360°，

∴∠𝐴+∠𝐹+∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷=360°． 故答案为：360．

根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可． 本题考查了多边形内角与外角、三角形外角性质，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理、三角形外角性质．

16.【答案】3<𝑚≤4

【解析】解：{

𝑥−𝑚<0①

，

2𝑥+1>3②

解不等式①得：𝑥<𝑚， 解不等式②得：𝑥>1， ∴不等式组的解集为1<𝑥<𝑚， ∵不等式组仅有2个整数解， ∴3<𝑚≤4，

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故答案为3<𝑚≤4．

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．

17.【答案】解：(1)(2𝑎2)3÷(𝑎2)2

=8𝑎6÷𝑎4 =8𝑎2；

(2)(𝑎+𝑏)(𝑎−3𝑏) =𝑎2−3𝑎𝑏+𝑎𝑏−3𝑏2 =𝑎2−2𝑎𝑏−3𝑏2．

【解析】(1)根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法可以解答本题； (2)根据多项式乘多项式可以解答本题．

本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

18.【答案】解：(1)原式=2𝑎(𝑥−𝑦)−𝑏(𝑥−𝑦)

=(𝑥−𝑦)(2𝑎−𝑏)； (2)原式=4(𝑎2−4𝑎+4) =4(𝑎−2)2．

【解析】(1)原式变形后，提取公因式(𝑥−𝑦)即可； (2)原式提取公因式4，再利用完全平方公式分解即可．

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19.【答案】解：原式=𝑎2−4𝑏2+𝑎2−4𝑎𝑏+4𝑏2

=2𝑎2−4𝑎𝑏，

把𝑎=2，𝑏=1代入得，原式=2×(2)2−4×2×1=2−2=−2．

1

1

1

1

3

【解析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

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此题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：{

𝑥−𝑦=3 ①

，

3𝑥−8𝑦=14 ②

由①得：𝑥=3+𝑦③，

把③代入②得：3(3+𝑦)−8𝑦=14， 所以𝑦=−1．

把𝑦=−1代入③得：𝑥=2， 𝑥=2

∴原方程组的解为{．

𝑦=−1

【解析】观察本题中方程的特点本题用代入法较简单． 这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的代入消元法．

21.【答案】𝑥≥−3 𝑥<1 −2<𝑥<1

【解析】解：(1)解不等式①，得𝑥≥−3，依据是：不等式的基本性质． (2)解不等式③，得𝑥<1．

(3)把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．

(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：−3≤𝑥<1， 故答案为：(1)𝑥≥−3；(2)𝑥<1；(4)−2<𝑥<1．

分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

22.【答案】𝐴𝐴′//𝐵𝐵′且𝐴𝐴′=𝐵𝐵′ 12

【解析】解：(1)如图．△𝐴′𝐵′𝐶′为所作； (2)𝐴𝐴′//𝐵𝐵′且𝐴𝐴′=𝐵𝐵′．

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(3)如图，BD和CE为所作；

(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积为=3×4=12． 故答案为12．

(1)利用C点和𝐶′点的位置确定平移的方向与距离，𝐵′的位然后根据此平移规律确定𝐴′、置；

(2)根据平移的性质进行判断；

(3)根据网格特点和三角形中线、高的定义作图； (4)利用平行四边形的面积进行计算．

本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

23.【答案】证明：∵𝐺𝐹//𝐶𝐷，

∴∠2=∠𝐷𝐶𝐵， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠𝐷𝐶𝐵， ∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，

∴∠𝐶𝐸𝐷+∠𝐴𝐶𝐵=180°．

【解析】由平行线的性质得到∠2=∠𝐷𝐶𝐵，等量代换得∠1=∠𝐷𝐶𝐵，即可判定𝐷𝐸//𝐵𝐶，根据平行线的性质即可得解．

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及判定定理是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，

7𝑥=5𝑦根据题意得：{，

40𝑥+20𝑦=3400

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𝑥=50

解得：{．

𝑦=70

答：每个足球为50元，每个篮球为70元；

(2)设买篮球m个，则买足球(80−𝑚)个，根据题意得： 70𝑚+50(80−𝑚)≤4800， 解得：𝑚≤40． ∵𝑚为整数， ∴𝑚最大取40，

答：最多能买40个篮球．

【解析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．

(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得出方程组，解方程组即可； (2)设买篮球m个，则买足球(80−𝑚)个，根据购买足球和篮球的总费用不超过4800元建立不等式求出其解即可．

25.【答案】证法1：

∵∠1+∠𝐵𝐴𝐷=180°，∠2+∠𝐴𝐵𝐶=180°，∠3+∠𝐵𝐶𝐷=180°，∠4+∠𝐶𝐷𝐴=180°， ∴∠1+∠𝐵𝐴𝐷+∠2+∠𝐴𝐵𝐶+∠3+∠𝐵𝐶𝐷+∠4+∠𝐶𝐷𝐴=180°×4=720°． ∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐶𝐷𝐴=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 证法2：连接BD，

∵∠1=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐷𝐵，∠3=∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐶𝐷𝐵，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐷𝐵+∠2+∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐶𝐷𝐵+∠4=180°×2=360°．

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【解析】证法1由四边形内角和为360°及相邻内角外角互补求解． 证法2连接BD，由三角形内角和定理与外角定理求解．

本题考查多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和及外角和的计算及三角形内角和与外角定理．

26.【答案】解：(1)如图①中，过C作𝐶𝐻//𝑃𝑄，∴𝐶𝐻//𝑀𝑁，

∵∠𝐵𝐺𝑄=∠𝐴+∠𝐴𝐹𝐺，

∴∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐵𝐺𝑄−∠𝐴=65°−45°=20°， ∴∠𝐶𝐹𝑄=∠𝐴𝐹𝐺=20°，

∴∠𝐻𝐶𝐹=∠𝐶𝐹𝑄=20°，∠𝑁𝐸𝐶=∠𝐸𝐶𝐻， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝑁𝐸𝐶=∠𝐸𝐶𝐻=70°．

4个交点处的夹角之和分别为：(2)共有6种情形，90°+2𝛼或4𝛼−90°或270°如图所示，或4𝛼+90°或135°+2𝛼或180°．

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【解析】(1)如图①中，过C作𝐶𝐻//𝑃𝑄，则𝐶𝐻//𝑀𝑁，利用平行线的性质解决问题即可．

(2)分6种情形，分别画出图形求解即可．

本题考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

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