２０１１年第１１期 福建中学数学 ２３ 若 ≤圭，则 （ ） ｂ ｃ ‘ ｃ （ （＿ （ ３ｃ ＝ ． ） 若Ｓ≥１，则由幂平均不等式有 若Ｓ≥１，则 （ ） ） ３． 证明若 圭，则由幂平均不等式有 ≥（ 二 鱼 ，Ｉ二 ） ． 由命题２知 唾筮唾 ： 由定理２知 唾鎏从而有（ ） ＋（ ） ＋（ ． ） ≥ ３． 盎从而有 圆锥曲线的阿基米德三角形性质新探 邹生书 宋村 湖北省阳新县高级中学（４３５２００） 题目过点Ｐ（ａ，ｂ）任作一直线与椭圆Ｃ： ＋告 ＝问题中的△ Ｂ恰为该椭圆的一个特殊的阿基米德 三角形，那么对于椭圆的任意一个阿基米德三角形 是否还有此性质呢？笔者在问题的驱动下借助几何 画板研究发现，椭圆的阿基米德三角形仍有此性质． ｖ１交于点 ，Ⅳ，再过点 作一条斜率为一 的直 线与椭圆Ｃ相交于另一点Ｑ．求证直线ⅣＱ过定点 ｃ ． ２ １，２ 性质已知椭圆Ｃ： ＋ ＝１在弦ＡＢ两端点处 Ｄ 这是 数学教学》２０１ １年第２期数学问题与解 答的８１７号题．笔者通过画图发现，点（ ， ）恰好是 以椭圆右顶点Ａ和上顶点Ｂ为端点的线段ＡＢ之中 点，又ＰＡ，ＰＢ恰为椭圆的两条切线，由笔者文［１］ 知点Ｐ与直线ＡＢ恰好是椭圆的一对极点与极线．又 直线ＡＢ的斜率恰为一 ，直线ＭＱ的斜率也为一 ， 的切线相交于点Ｐ，过点Ｐ任作一条直线与曲线ｃ 交于 ，Ⅳ两点，再过点 作ＡＢ的平行线与曲线ｃ 相交于另一点Ｑ，则直线 Ｖ 尸 ⅣＱ过弦ＡＢ的中点 ． 那么怎样对这个性质 进行理性证明呢？直接证 明由于字母多运算复杂难 以驾驭，笔者无功而返， ｌ ／ ＼ Ｊ １ 故直线ａ４Ｑ与极线ＡＢ平行．直线ＮＱ过定点（ ａ， ｂ） 即直线Ｊ７ｖＱ过ＡＢ的中点．笔者从数学杂志上得知： 若圆锥曲线Ｃ在弦ＡＢ两端点处的切线相交于点Ｐ， 则称＆ＰＡＢ为圆锥曲线Ｃ的阿基米德三角形．由此知 应另辟蹊径．考虑到仿射 图１ 变换下的几何图形具有平行不变性、直线共点不变 性和同一直线或两平行上的线段比值不变性等性 质．故可作仿射变换将椭圆变成圆，因此只要该命 题对于圆成立即可．为了进一步降低运算量简化运 ２４ 福建中学数学 ２０１１年第１１期 算过程，一方面将椭圆变成单位圆，另一方面，可 将点Ｐ放在坐标轴上而不失一般性，于是只需证明 如下问题即可． 个方程的两个根，由根与系数关系得Ｘ１＋ ，＝ １ ２ Ｉ，，（十．１ 们 ２ １ Ｘｌ ＝ 命题过点Ｐ（Ｏ， ）（ ＞１）作圆Ｘ ＋Ｙ ＝１的两条 切线 ，朋，其中 ，Ｂ为切点，过点Ｐ任作一 条直线与圆相交于 ，ＪＶ两点，再过点 作ＡＢ的 平行线与圆相交于另一点Ｑ，则直线』ｖＱ过弦ＡＢ的 邙点Ｈ． ｋ ＋Ｊ ．将其代入上式得： ‘ （Ｙｌ－－ ＋Ｘｔ ， ｍ ＋ ＋Ｉ ｍ， ＿０， 十ｌ 于是命题得证． 那么对于双曲线和抛物线是否有此性质呢？笔 证明如图２，因为点Ｊｐ和 直线ＡＢ是圆Ｘ。＋Ｙ ＝１的一 ｙ Ｉ 者借助几何画板，通过实验操作动态演示观察发现， 对于双曲线和抛物线的阿基米德三角形均有此性 质，不仅如此，改变问题条件还得到另外两个性质， 归纳总结可得圆锥曲线阿基米德三角形性质如下： 性质１已知圆锥曲线ｃ在弦ＡＢ两端点处的切 线相交于点Ｐ，过点Ｐ任作一直线与曲线ｃ相交于 Ｍ，Ｊｖ两点，再过点 作ＡＢ的平行线与曲线ｃ相 交于另一点Ｑ，则直线Ｊ７ｖＱ过弦ＡＢ的中点Ⅳ． 对极点与极线，由点Ｐ的坐标 知直线ＡＢ的方程为 １ ０· ＋ｍｙ＝１，即Ｙ＝ ，所以 ｍ ｛ 网２ ７ ＡＢ与Ｘ轴平行且ＡＢ中点 １ ＼／ ＼／－ 的坐标为（０，二）．设Ｍ（ｘｔ，Ｙｔ）， 性质２已知圆锥曲线ｃ在弦ＡＢ两端处的切线 相交于点Ｐ，过点Ｐ任作一直线与曲线ｃ相交于 ， ＪⅣ两点，经过ＡＢ的中点Ｈ作弦ⅣＱ，则ｉＯ ｌ ｌＡＢ． 性质３已知圆锥曲线Ｃ在弦ＡＢ两端处的切线 相交于点Ｐ，过曲线Ｃ上异于 ，日的任意一点 作弦ＭＱ【 ｌＡＢ，则弦｜ⅣＱ过ＡＢ的中点． Ｎ（ｘ ，Ｙ２），因为ＱＭ ｌ＿ＡＢ，所以点Ｍ，Ｑ关于Ｙ轴 对称，于是点Ｑ的坐标为（一Ｘｌ，Ｙ ）．要证直线ＪｖＱ过 点 ，则只要证Ｑ，Ⅳ， 三点共线，只要证ＨＮＩＩ ＨＱ 即可．因为ＨＮ＝（ ，Ｙ 一 ），ＨＱ＝（－ＸＩ，Ｙｌ一 ），故 ｍ ｍ 只需证 一二）＋ 一 ）＝０．因为Ｙ１＝ ．＋ｍ，Ｙ：＝ 几何画板是数学的实验田，借助几何画板既可 进行课堂辅助教学也可进行数学研究，通过实验操 作动态演示，可发现新性质、验证新猜想研究新问 题，充分体现信息技术在数学教学和数学研究中的 重要地位和辅助作用． 参考文献 ［１］邹生书．圆锥曲线极点与极线的一组性质．中学数学教学，２０１０ （４）：２２—２３ ｋｘ ＋ ，所以Ｘ２（ 一 ）＋ （Ｊ，２一 ）： （ ＋ ｆｆｌ ｍ ｍ ）＋ （ ＋ ｆｎ ）：２ ． ＋塑ｍ （ ＋ ）． 设直线Ｐ 的方程为Ｙ＝ｋｘ＋ｍ，将其代入圆的 方程得（ｋ ＋１） ＋２ｍｋｘ＋ｍ 一ｌ＝０．因为Ｘ．，Ｘ２是这 椭圆的内接多边形的性质 陈鸿斌 甘肃省兰州市第五十七中学（７３００７０） 变． 文［１］讨论了以椭圆的任意直径为边的一类内接 多边形的性质，笔者读后很受启发，那么椭圆的内 接任意多边形会有怎样的性质呢？为解决这一问 题，笔者利用仿射变换将椭圆的内接任意多边形转 化为圆的内接任意多边形，从而得到了椭圆的内接 多边形的一些性质． 仿射变换的性质变换后对应图形的面积比不 性质１ ６３０：Ｘ ＋Ｙ ＝ｒ２（，．＞０）的内接ｎ（ｎ≥３）边 形的最大面积为１ ｒ２ｎｓｉｎ ． 证明如图１所示，ｎ（ｌＥ ３）边形 。 … 为６３０ 的内接 边形，设各边Ａ，Ａ：，Ａ２Ａ３，…， 一 ， ４ 所对的圆心角分别为 ，ｏ２，…， ，， ， 边形的面积
